Neste trabalho, apresentamos uma solução analítica para a aproximação SN da equação de transporte dependente do tempo com fonte, tanto para uma placa homogênea quanto heterogênea, assumindo modelo de multigrupo. A ideia principal envolve os seguintes passos: construção da solução para a equação mencionada em uma placa homogênea pela aplicação da técnica da dupla transformada de Laplace. Para tal, inicialmente aplicamos a transformada de Laplace na variável tempo, resolvendo, na sequência, a equação resultante pelo método LTSN. Finalmente determinamos a solução procurada para o fluxo angular usando o teorema de inversão da transformada de Laplace. Por este procedimento a solução é escrita em termos de uma integral de linha na variável tempo, a qual aqui é avaliada pelos seguintes esquemas numéricos: quadratura Gaussiana, Série de Fourier, Gaver-Stehfest e Gaver Wynn-Rho. Uma vez que a solução para o problema homogêneo é conhecida, determinamos a solução para a placa de multi-camadas usando a solução encontrada para uma placa genérica, o que nos possibilita obtermos a solução global para uma placa heterogênea aplicando a condição de contorno e também impondo a condição de continuidade para o fluxo angular nas interfaces. Concluímos apresentando comparações entre os resultados numéricos obtidos pela inversão numérica da transformada de Laplace considerada, bem como o comportamento assintótico desta solução quando o tempo vai para o infinito. / In this dissertation is presented an analytical solution for the approximation SN transport equation with the time dependent power, to homogeneous plates as to heterogeneous, assuming a multigroup model with isotropic scattering. The main idea involves the following steps, in this order: construction of a solution to the equation mentioned in a homogeneous plate by applying the technique of the double Laplace transform. In order to do this, is applied the Laplace transform in time variable, solving the resulting equation by the LTSN method. Finally is determined he solution sought for the angular flux using the theorem of inverted Laplace transform. By this procedure the solution is written in terms of a line integral in the time variable, which here is measured by the following numerical schemes: Gauss quadrature, Fourier series, Gaver-Stehfest and Gaver-Wynn-Rho. Once the solution for the homogeneous problem is known, is determined the solution for the multilayered slab assigning this homogeneous solution for a generic slab, which allow us to obtain the global solution for the one that is heterogeneous applying the boundary condition, and also imposing the continuity condition for the angular flux at interface. Finally is concluded, reporting numerical comparisons among the results attained by the Laplace transform inversion approaches considered, as well the assymptotic behavior of this solution when time goes to infinity.

Neste trabalho, apresentamos uma solução analítica para a aproximação SN da equação de transporte dependente do tempo com fonte, tanto para uma placa homogênea quanto heterogênea, assumindo modelo de multigrupo. A ideia principal envolve os seguintes passos: construção da solução para a equação mencionada em uma placa homogênea pela aplicação da técnica da dupla transformada de Laplace. Para tal, inicialmente aplicamos a transformada de Laplace na variável tempo, resolvendo, na sequência, a equação resultante pelo método LTSN. Finalmente determinamos a solução procurada para o fluxo angular usando o teorema de inversão da transformada de Laplace. Por este procedimento a solução é escrita em termos de uma integral de linha na variável tempo, a qual aqui é avaliada pelos seguintes esquemas numéricos: quadratura Gaussiana, Série de Fourier, Gaver-Stehfest e Gaver Wynn-Rho. Uma vez que a solução para o problema homogêneo é conhecida, determinamos a solução para a placa de multi-camadas usando a solução encontrada para uma placa genérica, o que nos possibilita obtermos a solução global para uma placa heterogênea aplicando a condição de contorno e também impondo a condição de continuidade para o fluxo angular nas interfaces. Concluímos apresentando comparações entre os resultados numéricos obtidos pela inversão numérica da transformada de Laplace considerada, bem como o comportamento assintótico desta solução quando o tempo vai para o infinito. / In this dissertation is presented an analytical solution for the approximation SN transport equation with the time dependent power, to homogeneous plates as to heterogeneous, assuming a multigroup model with isotropic scattering. The main idea involves the following steps, in this order: construction of a solution to the equation mentioned in a homogeneous plate by applying the technique of the double Laplace transform. In order to do this, is applied the Laplace transform in time variable, solving the resulting equation by the LTSN method. Finally is determined he solution sought for the angular flux using the theorem of inverted Laplace transform. By this procedure the solution is written in terms of a line integral in the time variable, which here is measured by the following numerical schemes: Gauss quadrature, Fourier series, Gaver-Stehfest and Gaver-Wynn-Rho. Once the solution for the homogeneous problem is known, is determined the solution for the multilayered slab assigning this homogeneous solution for a generic slab, which allow us to obtain the global solution for the one that is heterogeneous applying the boundary condition, and also imposing the continuity condition for the angular flux at interface. Finally is concluded, reporting numerical comparisons among the results attained by the Laplace transform inversion approaches considered, as well the assymptotic behavior of this solution when time goes to infinity.

Neste trabalho, apresentamos uma solução analítica para a aproximação SN da equação de transporte dependente do tempo com fonte, tanto para uma placa homogênea quanto heterogênea, assumindo modelo de multigrupo. A ideia principal envolve os seguintes passos: construção da solução para a equação mencionada em uma placa homogênea pela aplicação da técnica da dupla transformada de Laplace. Para tal, inicialmente aplicamos a transformada de Laplace na variável tempo, resolvendo, na sequência, a equação resultante pelo método LTSN. Finalmente determinamos a solução procurada para o fluxo angular usando o teorema de inversão da transformada de Laplace. Por este procedimento a solução é escrita em termos de uma integral de linha na variável tempo, a qual aqui é avaliada pelos seguintes esquemas numéricos: quadratura Gaussiana, Série de Fourier, Gaver-Stehfest e Gaver Wynn-Rho. Uma vez que a solução para o problema homogêneo é conhecida, determinamos a solução para a placa de multi-camadas usando a solução encontrada para uma placa genérica, o que nos possibilita obtermos a solução global para uma placa heterogênea aplicando a condição de contorno e também impondo a condição de continuidade para o fluxo angular nas interfaces. Concluímos apresentando comparações entre os resultados numéricos obtidos pela inversão numérica da transformada de Laplace considerada, bem como o comportamento assintótico desta solução quando o tempo vai para o infinito. / In this dissertation is presented an analytical solution for the approximation SN transport equation with the time dependent power, to homogeneous plates as to heterogeneous, assuming a multigroup model with isotropic scattering. The main idea involves the following steps, in this order: construction of a solution to the equation mentioned in a homogeneous plate by applying the technique of the double Laplace transform. In order to do this, is applied the Laplace transform in time variable, solving the resulting equation by the LTSN method. Finally is determined he solution sought for the angular flux using the theorem of inverted Laplace transform. By this procedure the solution is written in terms of a line integral in the time variable, which here is measured by the following numerical schemes: Gauss quadrature, Fourier series, Gaver-Stehfest and Gaver-Wynn-Rho. Once the solution for the homogeneous problem is known, is determined the solution for the multilayered slab assigning this homogeneous solution for a generic slab, which allow us to obtain the global solution for the one that is heterogeneous applying the boundary condition, and also imposing the continuity condition for the angular flux at interface. Finally is concluded, reporting numerical comparisons among the results attained by the Laplace transform inversion approaches considered, as well the assymptotic behavior of this solution when time goes to infinity.

Os modelos multiníveis são uma classe de modelos úteis na análise de bases de dados com estrutura hierárquica. No presente trabalho propõem-se os modelos multiníveis com resposta Weibull, nos quais são considerados interceptos aleatórios na modelagem dos dois parâmetros da distribuição da variável resposta. Os modelos aqui propostos são flexíveis devido a que a distribuição dos interceptos aleatórios pode der escolhida entre uma das seguintes quatro distribuições: normal, log--gama, logística e Cauchy. Uma extensão dos modelos é apresentada na qual é possível incluir na parte sistemática dos dois parâmetros da distribuição da variável resposta interceptos e inclinações aleatórias com distribuição normal bivariada. A estimação dos parâmetros é realizada pelo método de máxima verossimilhança usando a quadratura de Gauss--Hermite para aproximar a função de verossimilhança. Um pacote em linguagem R foi desenvolvido especialmente para a estimação dos parâmetros, predição dos efeitos aleatórios e para a obtenção dos resíduos nos modelos propostos. Adicionalmente, por meio de um estudo de simulação foi avaliado o impacto nas estimativas dos parâmetros do modelo ao assumir incorretamente a distribuição dos interceptos aleatórios. / Multilevel models are a class of models useful in the analysis of datasets with hierarchical structure. In the present work we propose multilevel Weibull models in which random intercepts are considered to model the two parameters of the Weibull distribution. The proposed models are flexible due to random intercepts distribution can be chosen from one of the four following distributions: normal, log-gamma, logistics and Cauchy. An extension of the models is presented in which we can include, in the systematic part of the two parameters of the distribution, random intercepts and slopes with a bivariate normal distribution. The parameter estimation is performed by maximum likelihood method using the Gauss Hermite quadrature to approximate the likelihood function. A package in R language was especially developed to obtain parameter estimation, random effects predictions and residuals for the proposed models. Additionally, through a simulation study we investigated the misspecification random effect distribution on estimated parameter for the proposed model

Os modelos multiníveis são uma classe de modelos úteis na análise de bases de dados com estrutura hierárquica. No presente trabalho propõem-se os modelos multiníveis com resposta Weibull, nos quais são considerados interceptos aleatórios na modelagem dos dois parâmetros da distribuição da variável resposta. Os modelos aqui propostos são flexíveis devido a que a distribuição dos interceptos aleatórios pode der escolhida entre uma das seguintes quatro distribuições: normal, log--gama, logística e Cauchy. Uma extensão dos modelos é apresentada na qual é possível incluir na parte sistemática dos dois parâmetros da distribuição da variável resposta interceptos e inclinações aleatórias com distribuição normal bivariada. A estimação dos parâmetros é realizada pelo método de máxima verossimilhança usando a quadratura de Gauss--Hermite para aproximar a função de verossimilhança. Um pacote em linguagem R foi desenvolvido especialmente para a estimação dos parâmetros, predição dos efeitos aleatórios e para a obtenção dos resíduos nos modelos propostos. Adicionalmente, por meio de um estudo de simulação foi avaliado o impacto nas estimativas dos parâmetros do modelo ao assumir incorretamente a distribuição dos interceptos aleatórios. / Multilevel models are a class of models useful in the analysis of datasets with hierarchical structure. In the present work we propose multilevel Weibull models in which random intercepts are considered to model the two parameters of the Weibull distribution. The proposed models are flexible due to random intercepts distribution can be chosen from one of the four following distributions: normal, log-gamma, logistics and Cauchy. An extension of the models is presented in which we can include, in the systematic part of the two parameters of the distribution, random intercepts and slopes with a bivariate normal distribution. The parameter estimation is performed by maximum likelihood method using the Gauss Hermite quadrature to approximate the likelihood function. A package in R language was especially developed to obtain parameter estimation, random effects predictions and residuals for the proposed models. Additionally, through a simulation study we investigated the misspecification random effect distribution on estimated parameter for the proposed model

Seguindo as ideias de s. smale, estudamos a eficiencia probabilistica de algoritmos numericos para equacoes diferenciais ordinarias. especial atencao e dada a dois exemplos classicos: os algoritmos de runge-kutta de dois e de quatro estagios, sendo a sua eficiencia estimada em termos de medidas gaussianas. em ambos os casos, sao obtidas estimativas detalhadas que levam a uma expressao para a media do erro global. / Following the ideas of S. Smale, we study the probabilistic efficiency of numerical algorithms in ordinary differential equations. Special attention is directed to two classical examples: the algorithms of Runge-Kutta of two and four stages with their efficiency estimated in terms of gaussian measures. In both these cases detailed estimates are given. leading to an expression for the mean global error.

Neste trabalho propomos uma solução para a equação de transporte multigrupo com núcleo de espalhamento de Klein-Nishina. A idéia básica consiste na aproximação do termo integral em energia, resultando em uma solução final para valores discretos de energia. Resolvemos o sistema resultante, em termos da variável espacial e angular, usando o métodoLTSN, que fornece uma solução analítica para o problema de ordenadas discretas. Aplicamos essa formulação ao cálculo de dose c apresentamos resultados numéricos para quatro e cinco valores de energia. / In this work we propose a solution to the multigroup transport equation with Klein-Nishina scattering kernel. The main ielea is the approximation of the integral energy term such that we obtain the final solution for eliscrete energy values. We solve the resulting system, in terrns of the spacial anel angular variable, using the LTSN methoel, that provieles an analytical solution to the cliscrete ordinates problem. vVe applieel the formulation on the calculation of the elosis anel we present numerical results for four anel five energy values.

Seguindo as ideias de s. smale, estudamos a eficiencia probabilistica de algoritmos numericos para equacoes diferenciais ordinarias. especial atencao e dada a dois exemplos classicos: os algoritmos de runge-kutta de dois e de quatro estagios, sendo a sua eficiencia estimada em termos de medidas gaussianas. em ambos os casos, sao obtidas estimativas detalhadas que levam a uma expressao para a media do erro global. / Following the ideas of S. Smale, we study the probabilistic efficiency of numerical algorithms in ordinary differential equations. Special attention is directed to two classical examples: the algorithms of Runge-Kutta of two and four stages with their efficiency estimated in terms of gaussian measures. In both these cases detailed estimates are given. leading to an expression for the mean global error.

Neste trabalho propomos uma solução para a equação de transporte multigrupo com núcleo de espalhamento de Klein-Nishina. A idéia básica consiste na aproximação do termo integral em energia, resultando em uma solução final para valores discretos de energia. Resolvemos o sistema resultante, em termos da variável espacial e angular, usando o métodoLTSN, que fornece uma solução analítica para o problema de ordenadas discretas. Aplicamos essa formulação ao cálculo de dose c apresentamos resultados numéricos para quatro e cinco valores de energia. / In this work we propose a solution to the multigroup transport equation with Klein-Nishina scattering kernel. The main ielea is the approximation of the integral energy term such that we obtain the final solution for eliscrete energy values. We solve the resulting system, in terrns of the spacial anel angular variable, using the LTSN methoel, that provieles an analytical solution to the cliscrete ordinates problem. vVe applieel the formulation on the calculation of the elosis anel we present numerical results for four anel five energy values.

Seguindo as ideias de s. smale, estudamos a eficiencia probabilistica de algoritmos numericos para equacoes diferenciais ordinarias. especial atencao e dada a dois exemplos classicos: os algoritmos de runge-kutta de dois e de quatro estagios, sendo a sua eficiencia estimada em termos de medidas gaussianas. em ambos os casos, sao obtidas estimativas detalhadas que levam a uma expressao para a media do erro global. / Following the ideas of S. Smale, we study the probabilistic efficiency of numerical algorithms in ordinary differential equations. Special attention is directed to two classical examples: the algorithms of Runge-Kutta of two and four stages with their efficiency estimated in terms of gaussian measures. In both these cases detailed estimates are given. leading to an expression for the mean global error.