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Sobre a geometria de imersÃes isomÃtricas em variedades de Lorentz conformemente estacionÃrias / On the geometry of varieties of isometric immersions in Lorents stationary conformallyMarco Antonio LÃzaro VelÃsquez 03 December 2010 (has links)
CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Nesta tese estudamos vÃrios aspectos da geometria de variedades de Lorentz conformemente estacionÃrias e, particularmente, de espaÃos generalizados
de Robertson-Walker, sob a presenÃa de um campo vetorial conforme fechado. Inicialmente, nÃs desenvolvemos um estudo sobre a r-estabilidade e a r-estabilidade forte de hipersuperfÃcies tipo-espaÃo fechadas em ambientes
conformemente estacionÃrios de curvatura seccional constante; mais precisamente,nÃs obtemos uma caracterizaÃÃo das hipersuperfÃcies r-estÃveis pelo
primeiro autovalor de um certo operador elÃptico naturalmente associado à sua r-Ãsima curvatura, bem como classificamos as hipersuperfÃcies fortemente r-estÃveis por meio de uma condiÃÃo adequada sobre o fator conforme do
campo conforme do ambiente. Em seguida, estabelecemos teoremas gerais tipo-Bernstein para hipersuperfÃcies tipo-espaÃo em variedades de Lorentz conformemente estacionÃrias, um dos quais nÃo exige que a hipersuperfÃcie
possua curvatura mÃdia constante. Finalmente, estendemos para variedades de Lorentz conformemente estacionÃrias um resultado de J. Simons sobre a minimalidade de certos cones em espaÃos Euclidianos, e aplicamos este resultado para construir subvariedades mÃnimas completas e nÃo-compactas no espaÃo de de Sitter e no espaÃo anti-de Sitter. / In this thesis we study several aspects of the geometry of conformally stationary Lorentz manifolds and, more particularly, of generalized Robertson-Walker spaces, under the presence of a closed conformal vector field. We
initiate by focusing our study on the r-stability and on the strong r-stability of closed spacelike hypersurfaces of conformally stationary ambient spaces of constant sectional curvature; more precisely, we obtain a characterization of the r-stable ones by means of the first eigenvalue of a suitable elliptic operator naturally associated to its r-th mean curvature, as well classify the
strongly r-stable ones by means of an appropriate condition on the conformal factor of the conformal vector field on the ambient space. Following,we establish general Bernstein-type theorems for spacelike hypersurfaces of
conformally stationary Lorentz manifolds, one of which does not require the hypersurface to be of constant mean curvature. We end by extending, to conformally stationary Lorentz manifolds, a result of J. Simons on the minimality
of certain cones in Euclidean spaces, and apply this result to build complete, non-compact minimal submanifolds in the de Sitter space and in the anti-de Sitter space.
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Estabilidade de variações que preservam áreas em formas espaciais. / Stability of área-preserving variations in space forms.Nascimento, Arlyson Alves do 23 April 2009 (has links)
In this dissertation, we deal with compact hypersurfaces without boundary immersed in space forms such that Sr+1/S1 is constant. They are critical points for an area-preserving variational problem. We show that they are r-stable if and only if they are totally umbilical hypersurfaces. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / O objetivo desta dissertação é estudar as hipersuperfícies compactas sem bordo e imersas em formas espaciais com Sr+1 / S1 constante, onde Sr+1 é a (r + 1)-ésima função simétrica das curvaturas principais. Tais hipersuperfícies são os pontos críticos de um problema variacional que preserva área. Demonstraremos que tais imersões são r-estáveis se, e somente se, elas forem hipersuperfícies totalmente umbílicas.
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