El objetivo de este proyecto de tesis doctoral es el desarrollo de técnicas analítico-numéricas para resolver, en media cuadrática problemas, de valores iniciales de ecuaciones y sistemas de ecuaciones en diferencias y diferenciales aleatorias de tipo lineal. Respecto del estudio aportado sobre ecuaciones en diferencias (véase Capítulo 3), se extienden al contexto aleatorio algunos de los principales resultados que en el caso determinista se conocen para resolver este tipo de ecuaciones así como para estudiar el comportamiento asintótico de su solución. En lo que se refiere a las ecuaciones diferenciales hay que señalar que el elemento unificador del estudio realizado en esta memoria es la extensión al escenario aleatorio del método de Fröbenius para la búsqueda de soluciones de ecuaciones diferenciales en forma de desarrollos en serie de potencias. A largo de los Capítulos 4-7 se abordan problemas tanto de tipo escalar como de tipo matricial tanto de primer como de segundo orden, donde la aleatoriedad se introduce en los modelos a través de las condiciones iniciales y los coeficientes, siendo además la incertidumbre en este último caso, considerada tanto de forma aditiva como multiplicativa. Los problemas basados en ecuaciones diferenciales aleatorias tratados permiten introducir procesos estocásticos importantes como son el proceso exponencial (véase Capítulo 5), los procesos trigonométricos seno y coseno y algunas de sus propiedades algebraicas básicas (véase Capítulo 6). En el último capítulo se estudia la ecuación diferencial de Hermite con coeficientes aleatorios y, bajo ciertas condiciones, se obtienen soluciones en forma de serie aleatoria finita que definen los polinomios de Hermite aleatorios. Además de obtener las soluciones en forma de serie aleatoria convergente en el sentido estocástico de la media cuadrática, para cada uno de los problemas tratados se calculan aproximaciones de las principales propiedades estadísticas del proceso solución. / Calbo Sanjuán, G. (2010). Mean Square Analytic Solutions of Random Linear Models [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/8721

[EN] This thesis concerns the analysis of differential equations with uncertain input parameters, in the form of random variables or stochastic processes with any type of probability distributions. In modeling, the input coefficients are set from experimental data, which often involve uncertainties from measurement errors. Moreover, the behavior of the physical phenomenon under study does not follow strict deterministic laws. It is thus more realistic to consider mathematical models with randomness in their formulation. The solution, considered in the sample-path or the mean square sense, is a smooth stochastic process, whose uncertainty has to be quantified. Uncertainty quantification is usually performed by computing the main statistics (expectation and variance) and, if possible, the probability density function. In this dissertation, we study random linear models, based on ordinary differential equations with and without delay and on partial differential equations. The linear structure of the models makes it possible to seek for certain probabilistic solutions and even approximate their probability density functions, which is a difficult goal in general. A very important part of the dissertation is devoted to random second-order linear differential equations, where the coefficients of the equation are stochastic processes and the initial conditions are random variables. The study of this class of differential equations in the random setting is mainly motivated because of their important role in Mathematical Physics. We start by solving the randomized Legendre differential equation in the mean square sense, which allows the approximation of the expectation and the variance of the stochastic solution. The methodology is extended to general random second-order linear differential equations with analytic (expressible as random power series) coefficients, by means of the so-called Fröbenius method. A comparative case study is performed with spectral methods based on polynomial chaos expansions. On the other hand, the Fröbenius method together with Monte Carlo simulation are used to approximate the probability density function of the solution. Several variance reduction methods based on quadrature rules and multilevel strategies are proposed to speed up the Monte Carlo procedure. The last part on random second-order linear differential equations is devoted to a random diffusion-reaction Poisson-type problem, where the probability density function is approximated using a finite difference numerical scheme. The thesis also studies random ordinary differential equations with discrete constant delay. We study the linear autonomous case, when the coefficient of the non-delay component and the parameter of the delay term are both random variables while the initial condition is a stochastic process. It is proved that the deterministic solution constructed with the method of steps that involves the delayed exponential function is a probabilistic solution in the Lebesgue sense. Finally, the last chapter is devoted to the linear advection partial differential equation, subject to stochastic velocity field and initial condition. We solve the equation in the mean square sense and provide new expressions for the probability density function of the solution, even in the non-Gaussian velocity case. / [ES] Esta tesis trata el análisis de ecuaciones diferenciales con parámetros de entrada aleatorios, en la forma de variables aleatorias o procesos estocásticos con cualquier tipo de distribución de probabilidad. En modelización, los coeficientes de entrada se fijan a partir de datos experimentales, los cuales suelen acarrear incertidumbre por los errores de medición. Además, el comportamiento del fenómeno físico bajo estudio no sigue patrones estrictamente deterministas. Es por tanto más realista trabajar con modelos matemáticos con aleatoriedad en su formulación. La solución, considerada en el sentido de caminos aleatorios o en el sentido de media cuadrática, es un proceso estocástico suave, cuya incertidumbre se tiene que cuantificar. La cuantificación de la incertidumbre es a menudo llevada a cabo calculando los principales estadísticos (esperanza y varianza) y, si es posible, la función de densidad de probabilidad. En este trabajo, estudiamos modelos aleatorios lineales, basados en ecuaciones diferenciales ordinarias con y sin retardo, y en ecuaciones en derivadas parciales. La estructura lineal de los modelos nos permite buscar ciertas soluciones probabilísticas e incluso aproximar su función de densidad de probabilidad, lo cual es un objetivo complicado en general. Una parte muy importante de la disertación se dedica a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aleatorias, donde los coeficientes de la ecuación son procesos estocásticos y las condiciones iniciales son variables aleatorias. El estudio de esta clase de ecuaciones diferenciales en el contexto aleatorio está motivado principalmente por su importante papel en la Física Matemática. Empezamos resolviendo la ecuación diferencial de Legendre aleatorizada en el sentido de media cuadrática, lo que permite la aproximación de la esperanza y la varianza de la solución estocástica. La metodología se extiende al caso general de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aleatorias con coeficientes analíticos (expresables como series de potencias), mediante el conocido método de Fröbenius. Se lleva a cabo un estudio comparativo con métodos espectrales basados en expansiones de caos polinomial. Por otro lado, el método de Fröbenius junto con la simulación de Monte Carlo se utilizan para aproximar la función de densidad de probabilidad de la solución. Para acelerar el procedimiento de Monte Carlo, se proponen varios métodos de reducción de la varianza basados en reglas de cuadratura y estrategias multinivel. La última parte sobre ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden aleatorias estudia un problema aleatorio de tipo Poisson de difusión-reacción, en el que la función de densidad de probabilidad es aproximada mediante un esquema numérico de diferencias finitas. En la tesis también se tratan ecuaciones diferenciales ordinarias aleatorias con retardo discreto y constante. Estudiamos el caso lineal y autónomo, cuando el coeficiente de la componente no retardada i el parámetro del término retardado son ambos variables aleatorias mientras que la condición inicial es un proceso estocástico. Se demuestra que la solución determinista construida con el método de los pasos y que involucra la función exponencial retardada es una solución probabilística en el sentido de Lebesgue. Finalmente, el último capítulo lo dedicamos a la ecuación en derivadas parciales lineal de advección, sujeta a velocidad y condición inicial estocásticas. Resolvemos la ecuación en el sentido de media cuadrática y damos nuevas expresiones para la función de densidad de probabilidad de la solución, incluso en el caso de velocidad no Gaussiana. / [CA] Aquesta tesi tracta l'anàlisi d'equacions diferencials amb paràmetres d'entrada aleatoris, en la forma de variables aleatòries o processos estocàstics amb qualsevol mena de distribució de probabilitat. En modelització, els coeficients d'entrada són fixats a partir de dades experimentals, les quals solen comportar incertesa pels errors de mesurament. A més a més, el comportament del fenomen físic sota estudi no segueix patrons estrictament deterministes. És per tant més realista treballar amb models matemàtics amb aleatorietat en la seua formulació. La solució, considerada en el sentit de camins aleatoris o en el sentit de mitjana quadràtica, és un procés estocàstic suau, la incertesa del qual s'ha de quantificar. La quantificació de la incertesa és sovint duta a terme calculant els principals estadístics (esperança i variància) i, si es pot, la funció de densitat de probabilitat. En aquest treball, estudiem models aleatoris lineals, basats en equacions diferencials ordinàries amb retard i sense, i en equacions en derivades parcials. L'estructura lineal dels models ens fa possible cercar certes solucions probabilístiques i inclús aproximar la seua funció de densitat de probabilitat, el qual és un objectiu complicat en general. Una part molt important de la dissertació es dedica a les equacions diferencials lineals de segon ordre aleatòries, on els coeficients de l'equació són processos estocàstics i les condicions inicials són variables aleatòries. L'estudi d'aquesta classe d'equacions diferencials en el context aleatori està motivat principalment pel seu important paper en Física Matemàtica. Comencem resolent l'equació diferencial de Legendre aleatoritzada en el sentit de mitjana quadràtica, el que permet l'aproximació de l'esperança i la variància de la solució estocàstica. La metodologia s'estén al cas general d'equacions diferencials lineals de segon ordre aleatòries amb coeficients analítics (expressables com a sèries de potències), per mitjà del conegut mètode de Fröbenius. Es duu a terme un estudi comparatiu amb mètodes espectrals basats en expansions de caos polinomial. Per altra banda, el mètode de Fröbenius juntament amb la simulació de Monte Carlo són emprats per a aproximar la funció de densitat de probabilitat de la solució. Per a accelerar el procediment de Monte Carlo, es proposen diversos mètodes de reducció de la variància basats en regles de quadratura i estratègies multinivell. L'última part sobre equacions diferencials lineals de segon ordre aleatòries estudia un problema aleatori de tipus Poisson de difusió-reacció, en què la funció de densitat de probabilitat és aproximada mitjançant un esquema numèric de diferències finites. En la tesi també es tracten equacions diferencials ordinàries aleatòries amb retard discret i constant. Estudiem el cas lineal i autònom, quan el coeficient del component no retardat i el paràmetre del terme retardat són ambdós variables aleatòries mentre que la condició inicial és un procés estocàstic. Es prova que la solució determinista construïda amb el mètode dels passos i que involucra la funció exponencial retardada és una solució probabilística en el sentit de Lebesgue. Finalment, el darrer capítol el dediquem a l'equació en derivades parcials lineal d'advecció, subjecta a velocitat i condició inicial estocàstiques. Resolem l'equació en el sentit de mitjana quadràtica i donem noves expressions per a la funció de densitat de probabilitat de la solució, inclús en el cas de velocitat no Gaussiana. / This work has been supported by the Spanish Ministerio de Economía y Competitividad grant MTM2017–89664–P. I acknowledge the doctorate scholarship granted by Programa de Ayudas de Investigación y Desarrollo (PAID), Universitat Politècnica de València. / Jornet Sanz, M. (2020). Mean square solutions of random linear models and computation of their probability density function [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/138394

[ES] Las ecuaciones diferenciales son herramientas fundamentales para modelizar y analizar sistemas dinámicos en Ingeniería. Las ecuaciones diferenciales permiten a los ingenieros describir cómo cambian en el tiempo y/o en el espacio las magnitudes físicas como, por ejemplo, la posición de un sistema vibratorio (como puede ser un muelle), la deflexión de un estructura mecánica (como puede ser una viga), etc. Por otra parte, muchos sistemas del mundo real están afectados por incertidumbres. Por ejemplo, los errores de medición, la comprensión incompleta de fenómenos físicos complejos, el ruido termal en los circuitos electrónicos o las variaciones en las propiedades de los materiales debido a su heterogeneidad son factores que involucran cierto nivel de aleatoriedad que debe tenerse en cuenta en la modelización. Esta modelización suele realizarse en muchos casos mediante ecuaciones diferenciales que, por tanto, contienen en su formulación magnitudes con incertidumbre, dando lugar a ecuaciones diferenciales aleatorias/estocásticas. Proporcionar métodos rigurosos para estudiar dichas ecuaciones es fundamental para desarrollar soluciones robustas y fiables de problemas de Ingeniería. Esta tesis presenta un análisis probabilístico de tres clases de problemas de Ingeniería Mecánica, como son los sistemas vibratorios (osciladores), las estructuras mecánicas (deflexión de vigas) y un problema mecánico modelado por una ecuación diferencial fraccionaria aleatoria. A lo largo del trabajo se han aplicado diferentes técnicas probabilísticas para lograr una comprensión más profunda del comportamiento de estos sistemas bajo excitaciones aleatorias. Además, en esta tesis nos hemos centrado en construir aproximaciones, no sólo de los momentos estadísticos principales (media, varianza, etc.), sino también la función de densidad de probabilidad de la respuesta (solución) de los distintos modelos estudiados. Proporcionar una descripción probabilística completa de este tipo de modelos mecánicos es un tema que ha atraído un notable interés tanto de matemáticos como de ingenieros durante las últimas décadas. En primer lugar, se estudian dos osciladores aleatorios no lineales en los que el término de restauración depende de la posición, en el primer caso, y de la posición y la velocidad, en el segundo. El término no lineal está afectado por un pequeño parámetro de perturbación. Como en ambos casos no podemos obtener la solución explícitamente, utilizaremos el método de perturbación estocástica para construir aproximaciones de la solución estocástica y sus primeros momentos estadísticos. Esto, en combinación con el principio de máxima entropía, nos permitirá obtener aproximaciones de la función de densidad de probabilidad estacionaria de la solución. En segundo lugar, se aborda el estudio de dos modelos estáticos aleatorios que describen la deflexión de una viga en voladizo. Se distinguen dos escenarios con respecto al tipo de procesos estocásticos que modelan la distribución de la carga que soporta la viga, y suponiendo que algunos parámetros del modelo, como el módulo de Young o el parámetro de rigidez flexural, pueden ser aleatorios. Adaptamos convenientemente distintas técnicas estocásticas para calcular de forma exacta o aproximada la función de densidad de probabilidad de la deflexión de la viga en voladizo en cada uno de los dos modelos antes mencionados. Por último, se revisita un modelo sencillo propuesto recientemente para estudiar una clase de osciladores aleatorios formulados mediante la derivada fraccionaria de Caputo. Concretamente se construyen aproximaciones de la función de densidad de probabilidad de la respuesta estocástica aprovechando el método de transformación de variables aleatorias adaptado a procesos estocásticos. En este estudio se dan condiciones suficientes sobre los parámetros (que son variables aleatorias) del modelo para garantizar la convergencia de estas aproximaciones. / [CA] Les equacions diferencials són ferramentes fonamentals per a modelitzar i analitzar sistemes dinàmics en Enginyeria. Les equacions diferencials permeten als enginyers descriure com canvien en el temps i/o l'espai les magnituds físiques com, per exemple, la posició d'un sistema vibratori (com pot ser un moll), la deflexió d'una estructura mecànica (com pot ser una viga), etc. Per altra banda, molts sistemes del món real estan afectats per incerteses. Per exemple, els errors de mesurament, la comprensió incompleta de fenòmens físics complexos, el soroll termal en els circuits electrònics i les variacions en les propietats dels materials a causa de la seua heterogeneïtat són factors que involucren cert nivell d'aleatorietat que ha de tindre's en compte en la modelització. Esta modelització sol realitzar-se en molts casos mitjançant equacions diferencials que, per tant, contindrà en la seua formulació incertesa, donant lloc a equacions diferencials aleatòries/estocàstiques. Proporcionar mètodes rigorosos per a estudiar estes equacions és fonamental per a desenvolupar solucions robustes i fiables de problemes d'Enginyeria. Esta tesi presenta una anàlisi probabilística de tres classes de problemes d'Enginyeria Mecànica, com són els sistemes vibratoris (oscil·ladors), les estructures mecàniques (deflexió de bigues) i un problema mecànic modelat per una equació diferencial fraccionària aleatòria. Al llarg del nostre treball, hem aplicat diferents tècniques matemàtiques per a aconseguir una comprensió més profunda del comportament d'estos sistemes sota excitacions aleatòries. A més a més, en esta tesi ens hem centrat en construir aproximacions, no sols dels moments estadístics principals (mitjana, variància, etc.), sinó també la funció de densitat de probabilitat de la resposta (solució) dels diferents models estudiats. Proporcionar una descripció probabilística completa d'esta mena de models mecànics és un tema que ha atret l'interés tant de matemàtics com d'enginyers durant les últimes dècades. En primer lloc, estudiem dos oscil·ladors aleatoris no lineals en els quals el terme de restauració depén de la posició, en el primer cas, i de la posició i la velocitat, en el segon. El terme no lineal està afectat per un xicotet paràmetre de pertorbació. Com en tots dos casos no podem obtindre la solució explícitament, utilitzarem el mètode de pertorbació estocàstica per a construir aproximacions de la solució estocàstica i els seus primers moments estadístics. Això, en combinació amb el principi de màxima entropia, ens permetrà obtindre aproximacions fiables de la funció de densitat de probabilitat estacionària de la solució. En segon lloc, s'aborda l'estudi de dos models estàtics aleatoris que descriuen la deflexió d'una biga en volada. Distingim dos escenaris diferents respecte al tipus de processos estocàstics que modelen la distribució de la càrrega que suporta la biga i suposant aleatorietat per a alguns paràmetres del model, com el mòdul de Young o el paràmetre de rigidesa flexural. Adaptem convenientment diferents tècniques estocàstiques per a calcular de manera exacta o aproximada la funció de densitat de probabilitat de la deflexió de la biga en volada en cadascun dels dos models abans esmentats. Finalment, es revisita un model senzill proposat recentment per a estudiar una classe d' oscil·ladors aleatoris formulats mitjançant la derivada fraccionària de Caputo. Concretament, es construïxen aproximacions de la funció de densitat de probabilitat de la resposta estocàstica aprofitant el mètode de transformació de variables aleatòries adaptat a processos estocàstics. En este estudi es donen condicions suficients sobre els paràmetres (que són variables aleatòries) del model per a garantir la convergència d'estes aproximacions. Els resultats d'este estudi poden ser d'utilitat per emprendre en el futur l'estudi d' oscil·ladors aleatoris més complexos formulats mitjançant equacions diferencials fraccionàries. / [EN] Differential equations in Engineering are fundamental tools for modelling and analysing dynamical systems. Differential equations allow engineers to describe how physical quantities change over time and/or space, such as vibratory systems, mechanical structures, etc. However, many real-world systems are influenced by uncertainties. For instance, measurement errors, incomplete understanding of complex physical phenomena, random fluctuations like electronic circuit noise, and unpredictable material properties variations are aleatoric factors. Understanding both deterministic and random/stochastic differential equations is, therefore, vital for developing robust and reliable engineering solutions in a random world. This thesis presents a comprehensive probabilistic analysis of three mechanical engineering problems: vibratory systems (oscillators), mechanical structures (deflection of beams), and a foundational mechanical problem modelled by a random fractional differential equation. Throughout our work, we have applied different mathematical techniques to better understand these system's behavior under random excitations. A significant focus has been on accurately approximating not only the main statistical moments but also the probability density function of the model's response (solution) of the models studied throughout this dissertation. Providing a complete probabilistic description of such types of mechanical models is a topic that has attracted the interest of mathematicians and engineers during the last decades. In the first place, we will study two nonlinear random oscillators where the restoring term depends on the position, in the first case, and on the position and velocity, in the second one. The nonlinear term is affected by a small perturbative parameter. As in both cases, we cannot obtain the solution explicitly, we will use the stochastic perturbation method to construct approximations of the stochastic solution and its first statistical moments. This, in combination with the principle of maximum entropy, will result in obtaining reliable approximations of the stationary probability density function of the response. Second, we will study two models describing the deflection of a random static cantilever beam. We distinguish two different scenarios with respect to the type of stochastic processes modelling the distribution of the load spanned the beam and assuming randomness for some model parameters such as the Young's modulus or the flexural rigidity parameter. We then conveniently adapt different stochastic techniques to calculate exactly or approximately the probability density function of the deflection of the cantilever. Finally, we will revisit a simple model recently proposed to study a class of random oscillators formulated via the Caputo fractional derivative. We will construct approximations of the probability density function of the stochastic response, taking advantage of the random variable transformation method. We rigorously prove the convergence of these approximations under mild conditions of the model's parameters. This approach can inspire the study of more complex oscillators formulated via fractional differential equations. / López Navarro, E. (2024). Advances on Differential Equations with Uncertainties and their Applications to Probabilistic Mechanics Engineering [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/213333