Στη διπλωματική αυτή εργασία ορίζουμε δυο νέα μοντέλα τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών και εξετάζονται ως προς ορισμένες σημαντικές γραφοθεωρητικές ιδιότητές τους. Ένα τυχαίο γράφημα τομής ετικετών παράγεται αντιστοιχώντας σε κάθε κορυφή ένα \\\\emph{τυχαίο} υποσύνολο ενός πεπερασμένου) σύμπαντος $M$ από $m$ στοιχεία και βάζοντας μια ακμή μεταξύ δυο κορυφών αν και μόνον εάν τα αντίστοιχα σύνολά τους έχουν μη κενή τομή. Συγκεκριμενοποιώντας την κατανομή που ακολουθεί το τυχαίο υποσύνολο που αντιστοιχείται σε κάθε κορυφή παίρνουμε διαφορετικά μοντέλα τυχαίων γραφημάτων τομής. Στο γενικευμένο μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής κάθε στοιχείο $i$ του $M$ επιλέγεται ανεξάρτητα από κάθε κορυφή με πιθανότητα $p_i$. Το ομοιόμορφο μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών αποτελεί μια ειδική περίπτωση του γενικευμένου μοντέλου όπου η πιθανότητα επιλογής των στοιχείων του $M$ είναι ίση με $p$, δηλαδή ίδια για όλα τα στοιχεία του $M$. Όπως θα δούμε, για ορισμένες τιμές των παραμέτρων $m$ και $p$, το ομοιόμορφο μοντέλο είναι ισοδύναμο με το μοντέλο $G_{n, \\\\hat{p}}$, δηλαδή με το μοντέλο τυχαίων γραφημάτων στο οποίο κάθε πλευρά εμφανίζεται στοχαστικά ανεξάρτητα με πιθανότητα $\\\\hat{p}$. Τέλος, στο κανονικό μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών το υποσύνολο του $M$ που αντιστοιχείται σε κάθε κορυφή έχει σταθερό αριθμό στοιχείων. Λόγω της στοχαστικής εξάρτησης που υποννοείται για την ύπαρξη πλευρών, τα γραφήματα αυτά θεωρούνται αρκετά ρεαλιστικά μοντέλα (σε σχέση με τα κλασσικά τυχαία γραφήματα) σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, ιδιαίτερα σε αλγοριθμικά θέματα δικτύων. Στην εργασία αυτή αρχικά παρουσιάζουμε μερικά χαρακτηριστικά αποτελέσματα από τη σχετική βιβλιογραφία για τα μοντέλα αυτά. Ακόμα, μελετάμε, για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία, την ύπαρξη ανεξάρτητων συνόλων κορυφών μεγέθους $k$ στο γενικευμένο μοντέλο τυχαίων γραφημάτων τομής ετικετών, υπολογίζοντας τη μέση τιμή και τη διασπορά του αριθμού τους. Επίσης, προτείνουμε και αναλύουμε τρείς πιθανοτικούς αλγόριθμους που τρέχουν σε μικρό πολυωνυμικό χρόνο (ως προς τον αριθμό των κορυφών και τον αριθμό των στοιχείων του $M$) για την εύρεση αρκετά μεγάλων συνόλων ανεξάρτητων κορυφών. / In this Master thesis we define and analyse two new models of random intersection graphs. A random intersection graph is produced by assigning to each vertex a random subset of a (finite) universe $M$ of $m$ elements and by drawing an edge between two vertices if and only if their corresponding subsets have some elements in common. By specifying the distribution of the subsets assigned to each vertex, we get various models of random intersection graphs. In the generalized random intersection graphs model each element $i$ in $M$ is chosen independently with probability $p_i$. The uniform random intersection graphs model is a special case of the generalized model where the probability of selecting an element of $M$ is $p$, i.e. the same for every element. As we will see, for some range of values of the parameters $m$ and $p$, the uniform model is equivalent in some sense with the model $G_{n, \\\\hat{p}}$, i.e. the random graphs model in which each edge appears independently with probability $\\\\hat{p}$. Finally, in the regular random intersection graphs model, the subset of $M$ assigned to each vertex has a fixed number of elements. Due to the dependence implied in the appearance of edges, these models are considered to be more realistic (than classic random graphs) in many applications. This thesis begins by presenting several important results concearning these models. Also, we study for the first time the existence of independent sets of size $k$ in the generalized random intersection graphs model, and we give exact formulae for the mean and variance of their number. Additionally, we propose three randomized algorithms, that run in small polynomial time (with respect to the number of vertices and the number of elements of $M$), for finding large independent sets of vertices.

Šioje santraukoje trumpai aprašoma V. Kurausko disertacija. Pristatomos abi disertacijos dalys, įvedami atsitiktinių sankirtų grafų ir digrafų modeliai, apibrėžiamos minorinės grafų klasės, suformuluojami sprendžiami uždaviniai bei pateikiami pagrindiniai rezultatai. / This paper summarizes (in Lithuanian) the doctoral dissertation "On two models of random graphs" (in English) by V. Kurauskas. We introduce the random graph models (random intersection graphs, graphs with disjoint excluded minors) studied in the thesis, overview the problems and state the main results.

The dissertation consists of two parts. In the first part several asymptotic properties of random intersection graphs are studied. They include birth thresholds for small complete subgraphs in the binomial random intersection graph, the clique number in sparse random intersection graphs and the chromatic index of random uniform hypergraphs. Several new methods and theoretically and practically relevant algorithms are proposed. Some results are illustrated with data from real-world networks. The second part deals with asymptotic enumeration and properties of graphs from minor-closed classes in the case when the excluded minors are disjoint. The class of graphs without k+1 (vertex-)disjoint cycles and more general classes of graphs without k+1 disjoint excluded minors (satisfying a condition related to fans) are considered. Typical graphs in such classes are shown to have a simple “k apex vertex” structure. Other asymptotic properties (connectivity, number of components, chromatic number, vertex degrees) are also determined. Finally, it is shown that typical graphs without k+1 disjoint minors K4 have a more complicated “2k+1 apex vertex” structure, and properties of such graphs are investigated. Part of the results is proved in greater generality. A variety of methods from computer science, graph theory, combinatorics and the theory of generating functions are applied. / Disertacijoje yra dvi pagrindinės dalys. Pirmojoje dalyje gaunami keli nauji rezultatai uždaviniams, susijusiems su atsitiktiniais sankirtų grafais. Nagrinėjamas pilnojo pografio gimimo slenkstis binominiame atsitiktiniame sankirtų grafe, didžiausios klikos eilė atsitiktiniame retame sankirtų grafe ir chromatinio indekso eilė atsitiktiniame reguliariajame hipergrafe. Sprendimams pasiūloma keletas naujų metodų, taip pat pateikiami teoriškai ir praktiškai svarbūs algoritmai. Kai kurie rezultatai iliustruojami duomenimis iš realių tinklų. Antrojoje dalyje pristatomi rezultatai grafų su uždraustaisiais minorais tematikoje, nagrinėjamas atvejis kai uždraustieji minorai yra nejungūs. Čia tiriamas asimptotinis grafų, neturinčių k+1 nepriklausomų ciklų, skaičius, rezultatai apibendrinami grafų, neturinčių k+1 uždraustųjų minorų, tačiau tenkinančių tam tikrą „vėduoklės“ apribojimą, klasėms. Įrodoma, kad tipiniai tokių klasių grafai turi paprastą „k dydžio blokatoriaus“ struktūrą, nustatomos kitos tokių grafų asimptotinės savybės (jungumas, komponenčių skaičius, viršūnių laipsniai). Galiausiai parodoma, kad tipiniai grafai, neturintys k+1 nepriklausomų minorų K4 turi sudėtingesnę „2k+1 dydžio blokatoriaus“ struktūrą ir ištiriamos kitos jų savybės. Dalis šių rezultatų įrodoma daug bendresniu atveju. Darbe pasitelkiami įvairūs informatikos, kombinatorikos, grafų, tikimybių ir generuojančiųjų funkcijų teorijos metodai.