Cette thèse de mathématiques appliquées traite de problèmes théoriques, numériques et asymptotiques en transport motivés par la physiologie rénale. Plus précisément, elle vise à comprendre et quantifier les échanges de solutés qui peuvent mener dans des cas pathologiques à des néphrocalcinoses, qui se caractérisent par des dépôts calciques dans le parenchyme rénal. Le manuscrit est constitué de deux parties. La première partie concerne le développement et l'analyse mathématique d'un modèle simplifié du rein. Il s'agit d'un système de 3 EDP hyperboliques à vitesses constantes, couplées par leur terme source non linéaire et assorti de conditions aux bords spécifiques. Le modèle rentre dans le cadre des modèles cinétiques avec un nombre fini de vitesses et des conditions aux bords de type réflexion. Nous montrons que ce système est bien posé, qu'il tend en temps grand vers un état stationnaire. On montre que le taux de convergence est exponentiel avec des éléments spectraux. Nous proposons l'étude du rôle de deux paramètres à travers une analyse asymptotique. L'une d'entre elles nous place dans le cadre de la relaxation hyperbolique vers une loi de conservation scalaire avec un flux hétérogène en espace sur un domaine borné. La deuxième partie concerne le développement et l'analyse numérique d'un modèle réaliste du rein. Il s'agit d'un système de 27 équations aux dérivées partielles de type hyperboliques dont les vitesses sont les solutions de 8 équations différentielles non linéaires, et toutes ces équations sont couplées par leur terme source. Les conditions aux bords sont là aussi spécifiques au modèle. Nous interprétons ensuite les résultats obtenus d'un point de vue physiologique, en proposant des prédictions de profils de concentration calciques dans le rein, dans le cas normal et dans certains cas pathologiques.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles et de méthodes numériques pour les écoulements diphasiques compressibles à faible nombre de Mach. Toutes les méthodes numériques développées dans cette étude sont basées sur une formulation de type volumes finis en maillages non structurés. La première partie de cette thèse propose une analyse du comportement des schémas décentrés de type Godunov dans la limite des faibles nombres de Mach. Nous expliquons de manière rigoureuse les raisons pour lesquelles ces schémas aboutissent à des approximations imprécises lorsque les écoulements sont très proches de l'incompressible. Nous développons alors des méthodes de préconditionnement adaptées qui permettent de retrouver de bonnes approximations. Ce premier travail complète un certain nombre de travaux récents sur l'analyse des schémas décentrés dans la limite des faibles nombres de Mach. Le deuxième point abordé dans cette thèse est un travail de modélisation où nous développons à partir d'un modèle bi-fluides à sept équations de type Baer-Nunziato, un modèle réduit à cinq équations pour les écoulements diphasiques. Ce travail présente une méthode originale de réduction de systèmes hyperboliques avec termes sources raides. Nous développons pour ce modèle un schéma numérique implicite et suivant la stratégie utilisée dans la première partie de cette thèse, une technique de préconditionnement adaptée aux écoulements à faible vitesse. Les expériences numériques réalisées montrent que ce modèle est bien adapté au calcul d'ondes de détonations ainsi qu'à la simulation d'interfaces entre fluides compressibles. Enfin la dernière partie de cette thèse porte sur l'étude d'un modèle à sept équations pour le calcul d'écoulements diphasiques à faible nombre de Mach. On développe des méthodes numériques implicites basées sur des solveurs de Riemann approchés, permettant de réduire les coûts de calcul pour ce type de régime.