Este trabalho é focado num problema clássico das Ciências e Engenharia, que consiste em cobrir um objeto por esferas de mesmo raio, a ser minimizado. A abordagem prática usual conta com sérias desvantagens. Logo, faz-se necessário trabalhar com isto de forma diferenciada. A técnica proposta aqui envolve a utilização de resultados célebres da geometria algébrica real, que tem como peça central o positivstellensatz de Stengle e, fazendo a devida relação entre esses resultados e otimização com restrições envolvendo representações naturais por somas de quadrados, é possível reduzir o problema original a um de programação semidefinida não linear. Mas, por contar com particularidades que favorecem a aplicação do paradigma de restauração inexata, esta foi a técnica utilizada para resolvê-lo. A versatilidade da técnica e a possibilidade de generalização direta dos objetos envolvidos destacam-se como grandes vantagens desta abordagem, além da visão algébrica inovadora do problema. / This work is focused on a classic problem from Engineering. Basically, it consists of finding the optimal positioning and radius of a set of equal spheres in order to cover a given object. The common approach to this carries some substantial disadvantages, what makes it necessary to nd a dierent way. Here, we explore some renowned results from real algebraic geometry, which has Stengle\'s positivstellensatz as one of its central pieces, and SOS optimization. Once the proper link is made, the original problem can be reduced to a nonlinear semidenite programming one, which has peculiarities that favours the application of an inexact restoration paradigm. We point out the algebraic view and the no use of discretizations as great advantages of this approach, besides the notable versatility and easy generalization in terms of dimension and involved objects.

Este trabalho é focado num problema clássico das Ciências e Engenharia, que consiste em cobrir um objeto por esferas de mesmo raio, a ser minimizado. A abordagem prática usual conta com sérias desvantagens. Logo, faz-se necessário trabalhar com isto de forma diferenciada. A técnica proposta aqui envolve a utilização de resultados célebres da geometria algébrica real, que tem como peça central o positivstellensatz de Stengle e, fazendo a devida relação entre esses resultados e otimização com restrições envolvendo representações naturais por somas de quadrados, é possível reduzir o problema original a um de programação semidefinida não linear. Mas, por contar com particularidades que favorecem a aplicação do paradigma de restauração inexata, esta foi a técnica utilizada para resolvê-lo. A versatilidade da técnica e a possibilidade de generalização direta dos objetos envolvidos destacam-se como grandes vantagens desta abordagem, além da visão algébrica inovadora do problema. / This work is focused on a classic problem from Engineering. Basically, it consists of finding the optimal positioning and radius of a set of equal spheres in order to cover a given object. The common approach to this carries some substantial disadvantages, what makes it necessary to nd a dierent way. Here, we explore some renowned results from real algebraic geometry, which has Stengle\'s positivstellensatz as one of its central pieces, and SOS optimization. Once the proper link is made, the original problem can be reduced to a nonlinear semidenite programming one, which has peculiarities that favours the application of an inexact restoration paradigm. We point out the algebraic view and the no use of discretizations as great advantages of this approach, besides the notable versatility and easy generalization in terms of dimension and involved objects.

Orientador: Marcia Aparecida Gomes Ruggiero / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-16T01:38:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Reis_DiegoDerivaldodos_M.pdf: 1640617 bytes, checksum: 7bb1fcda0049b1ac1e6645b7ce8789eb (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Uma das estratégias empregadas para resolver vim problema de programação não linear com restrições é usar métodos iterativos que geram uma seqüência de pontos viáveis. A razão é que frequentemente soluções viáveis são úteis em aplicações da engenharia, física ou química, ao contrário das aproximações não viáveis, até mesmo quando estas estão bem próximas do valor ótimo. Porém, quando lidamos com restrições não lineares não suaves, é difícil manter viabilidade e, simultaneamente, melhorar o valor da função objetivo. Uma alternativa é empregar métodos de Restauração Inexata. Em linhas gerais, nestes métodos, a cada iteração dois novos pontos são gerados, um que visa melhorar a viabilidade e outro que diminui o valor da função objetivo. Um terceiro ponto é obtido de modo a atingir um decréscimo mínimo de uma função de mérito composta pelos dois primeiros pontos e que busca o equilíbrio entre viabilidade e otimalidade. Ao processo de encontrar o ponto que melhora a viabilidade, damos o nome de restauração e o objetivo central deste trabalho é analisar esta fase. Analisamos problemas de otimização onde as restrições são não lineares acrescidas por restrições de canalização (limitantes inferior e superior para as variáveis). Para realizar a restauração usamos o método proposto por J. B. Francisco, N. Krejic e J. M. Martinez [11], no qual são considerados sistemas não lineares com restrições de canalização e que faz uso de uma estratégia de região dc confiança com escalamento. O método de Restauração Inexata que usamos é baseado no algoritmo proposto por M. A. Gomes Ruggiero, J. M. Martinez e S. A. Santos [13] que emprega a direção do gradiente espectral projetado [4] para resolver o problema, de hard-spheres. onde a restauração pode ser sempre feita de maneira exata. Neste trabalho resolvemos problemas nos quais a fase de restauração não é necessariamente feita de maneira exata. Os testes computacionais, realizados com problemas acadêmicos, atestam a eficiência do esquema proposto. Usando o algoritmo proposto em [11] para realizar a fase de restauração, implementamos no software MatLab 7.7 o algoritmo do método de Restauração Inexata, encontrado em [13], utilizando o mesmo conjunto de problemas teste usados em [11] além de outros encontrados em [14], obtendo bons resultados / Abstract: One of the strategies employed to solve a nonlinear programming problem with constraints is to use iterative methods that generate a sequence of points feasible. The reason is that viable solutions are often useful in applications engineering, physics or chemistry, unlike the approaches are not viable, even when they are very close to the optimum value. But when dealing with soft constraints nonlinear, it is difficult to maintain viability and, simultaneously, improve the value of the objective function. An alternative is to employ methods of Inexact Restoration. In general, these methods, each iteration two new points are generated, one that aims to improve the viability and another that decreases the value of the objective function. A third point is obtained in order to achieve a decrease of at least a merit function consisting of the first two points and that seeks a balance between feasibility and optimality. The process of finding the point that improves the viability, we give the name of restoration and purpose of this paper is to analyze this phase. We analyze optimization problems where the constraints are nonlinear constraints added by channeling (lower and upper bounds for variables). To accomplish the restoration we use the method proposed by Mr B. Francis, N. Kreji'c and J. M. Martinez [11], which are considered non-linear systems with restricted channel that uses a trust region strategy with scaling. The Inexact restoration method we use is based on the algorithm proposed by M. A. Gomes Ruggiero, J. M. Martinez and S. A. Santos [13] that employs the spectral projected gradient direction [4] to solve the problem of hard-spheres, where the restoration can be done in exactly. Present paper, problems in which phase of restoration is not necessarily done exactly. The computational tests carried out with academic problems, proving the efficiency of the proposed scheme. Using the algorithm proposed in [11] to accomplish the restoration phase, implemented in MatLab 7.7 the algorithm of the method of Inexact Restoration, found in [13], using the same set of test problems used in [11] and other found in [14], obtaining good results / Mestrado / Otimização / Mestre em Matemática Aplicada