Ma, Chit. / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 2010. / Includes bibliographical references (leaves 61-63). / Abstracts in English and Chinese. / Chapter 1 --- Introduction --- p.6 / Chapter 2 --- Sasaki Geometry --- p.8 / Chapter 2.1 --- Sasakian manifolds --- p.8 / Chapter 2.2 --- Transversal Kahler geometry --- p.11 / Chapter 2.3 --- Sasaki-Futaki invariant --- p.16 / Chapter 2.3.1 --- Space of Kahler cone metric --- p.17 / Chapter 2.3.2 --- Futaki invariant --- p.20 / Chapter 2.3.3 --- A formula for volume variation --- p.27 / Chapter 3 --- Toric Geometry --- p.30 / Chapter 3.1 --- Toric Kahler geometry --- p.30 / Chapter 3.2 --- Toric Sasakian manifold --- p.42 / Chapter 3.3 --- Ricci flat metric in toric Kahler-Sasaki cone --- p.47 / Chapter 4 --- Chern numbers inequality --- p.55

Στη μεταπτυχιακή αυτή διπλωματική εργασία, αρχικά εισάγουμε τις έννοιες των μετρικών πολλαπλοτήτων σχεδόν επαφής και των μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής, δίνοντας και μερικά παραδείγματα από κάθε κατηγορία. Στη συνέχεια, αναφέρουμε και αποδεικνύουμε λεπτομερώς μερικές βασικές γεωμετρικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις μετρικές πολλαπλότητες επαφής και, οι οποίες, εμπλέκουν τον τανυστή καμπυλό- τητας. Τέλος, δίνεται έμφαση σε ειδικές κατηγορίες μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής που παρουσιάζουν ιδιαίτερο γεωμετρικό ενδιαφέρον και, κυρίως, είναι: πολλαπλότητες K- επαφής, πολλαπλότητες του Sasaki, (κ, μ) – πολλαπλότητες επαφής και μετρικές πολλαπλότητες Η – επαφής. / In this Master Thesis, we initially introduce the notions of almost contact metric manifolds and contact metric manifolds, giving some examples from each category. In sequel, we mention and prove explicitly some basic geometric properties of contact metric manifolds, which involve the curvature tensor. Summarizing, we focus on special classes of contact metric manifolds which have particular geometric interest and, mainly, are: K – contact manifolds, Sasakian manifolds, (κ, μ) – contact manifolds and H – contact metric manifolds.