<p>Inom många tillämpningar används konforma avbildningar för att transformera tvådimensionella områden till områden med enklare utseende. Ett exempel på ett sådant område är en kanal av varierande tjocklek begränsad av en kontinuerligt deriverbar kurva. I de tillämpningar som har motiverat detta arbete, är det viktigt att dessa egenskaper bevaras i det område en approximativ konform avbildning producerar, men det är också viktigt att begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, särkilt i kanalens båda ändar.</p><p>Denna avhandling behandlar tre olika metoder för att numeriskt konstruera konforma avbildningar mellan ett enkelt standardområde, företrädesvis det övre halvplanet eller enhetscirkeln, och ett område begränsat av en kontinuerligt deriverbar kurva, där begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, exakt eller approximativt.</p><p>Den första metoden är en utveckling av en idé, först beskriven av Peter Henrici, där en modifierad Schwarz-Christoffel-avbildning avbildar det övre halvplanet konformt på en polygon med rundade hörn.</p><p>Med utgångspunkt i denna idé skapas en algoritm för att konstruera avbildningar på godtyckliga områden med släta randkurvor.</p><p>Den andra metoden bygger också den på Schwarz-Christoffel-avbildningen, och utnyttjar det faktum att om enhetscirkeln eller halvplanet avbildas på en polygon kommer ett område Q i det inre av dessa, som till exempel en cirkel med centrum i origo och radie mindre än 1, eller ett område i övre halvplanet begränsat av två strålar, att avbildas på ett område R i det inre av polygonen begränsat av en slät kurva. Vi utvecklar en metod för att hitta ett polygonalt område P, utanför det Omega som man önskar att skapa en avbildning för, sådant att den Schwarz-Christoffel-avbildning som avbildar enhetscirkeln eller halvplanet på P, avbildar Q på Omega.</p><p>I båda dessa fall används tangentpolygoner för att numeriskt bestämma den önskade avbildningen.</p><p>Slutligen beskrivs en metod där en av Don Marshalls så kallade zipper-algoritmer används för att skapa en avbildning mellan det övre</p><p>halvplanet och en godtycklig kanal, begränsad av släta kurvor, som i båda ändar går mot oändligheten som räta parallella linjer.</p> / <p>In many applications, conformal mappings are used to transform two-dimensional regions into simpler ones. One such region for which conformal mappings are needed is a channel bounded by continuously differentiable curves. In the applications that have motivated this work, it is important that the region an approximate conformal mapping produces, has this property, but also that the direction of the curve can be controlled, especially in the ends of the channel.</p><p>This thesis treats three different methods for numerically constructing conformal mappings between the upper half-plane or unit circle and a region bounded by a continuously differentiable curve, where the direction of the curve in a number of control points is controlled, exact or approximately.</p><p>The first method is built on an idea by Peter Henrici, where a modified Schwarz-Christoffel mapping maps the upper half-plane conformally on a polygon with rounded corners. His idea is used in an algorithm by which mappings for arbitrary regions, bounded by smooth curves are constructed.</p><p>The second method uses the fact that a Schwarz-Christoffel mapping from the upper half-plane or unit circle to a polygon maps a region Q inside the half-plane or circle, for example a circle with radius less than 1 or a sector in the half--plane, on a region Omega inside the polygon bounded by a smooth curve. Given such a region Omega, we develop methods to find a suitable outer polygon and corresponding Schwarz-Christoffel mapping that gives a mapping from Q to Omega.</p><p>Both these methods use the concept of tangent polygons to numerically determine the coefficients in the mappings.</p><p>Finally, we use one of Don Marshall's zipper algorithms to construct conformal mappings from the upper half--plane to channels bounded by arbitrary smooth curves, with the additional property that they are parallel straight lines when approaching infinity.</p>

Inom många tillämpningar används konforma avbildningar för att transformera tvådimensionella områden till områden med enklare utseende. Ett exempel på ett sådant område är en kanal av varierande tjocklek begränsad av en kontinuerligt deriverbar kurva. I de tillämpningar som har motiverat detta arbete, är det viktigt att dessa egenskaper bevaras i det område en approximativ konform avbildning producerar, men det är också viktigt att begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, särkilt i kanalens båda ändar. Denna avhandling behandlar tre olika metoder för att numeriskt konstruera konforma avbildningar mellan ett enkelt standardområde, företrädesvis det övre halvplanet eller enhetscirkeln, och ett område begränsat av en kontinuerligt deriverbar kurva, där begränsningskurvans riktning kan kontrolleras, exakt eller approximativt. Den första metoden är en utveckling av en idé, först beskriven av Peter Henrici, där en modifierad Schwarz-Christoffel-avbildning avbildar det övre halvplanet konformt på en polygon med rundade hörn. Med utgångspunkt i denna idé skapas en algoritm för att konstruera avbildningar på godtyckliga områden med släta randkurvor. Den andra metoden bygger också den på Schwarz-Christoffel-avbildningen, och utnyttjar det faktum att om enhetscirkeln eller halvplanet avbildas på en polygon kommer ett område Q i det inre av dessa, som till exempel en cirkel med centrum i origo och radie mindre än 1, eller ett område i övre halvplanet begränsat av två strålar, att avbildas på ett område R i det inre av polygonen begränsat av en slät kurva. Vi utvecklar en metod för att hitta ett polygonalt område P, utanför det Omega som man önskar att skapa en avbildning för, sådant att den Schwarz-Christoffel-avbildning som avbildar enhetscirkeln eller halvplanet på P, avbildar Q på Omega. I båda dessa fall används tangentpolygoner för att numeriskt bestämma den önskade avbildningen. Slutligen beskrivs en metod där en av Don Marshalls så kallade zipper-algoritmer används för att skapa en avbildning mellan det övre halvplanet och en godtycklig kanal, begränsad av släta kurvor, som i båda ändar går mot oändligheten som räta parallella linjer. / In many applications, conformal mappings are used to transform two-dimensional regions into simpler ones. One such region for which conformal mappings are needed is a channel bounded by continuously differentiable curves. In the applications that have motivated this work, it is important that the region an approximate conformal mapping produces, has this property, but also that the direction of the curve can be controlled, especially in the ends of the channel. This thesis treats three different methods for numerically constructing conformal mappings between the upper half-plane or unit circle and a region bounded by a continuously differentiable curve, where the direction of the curve in a number of control points is controlled, exact or approximately. The first method is built on an idea by Peter Henrici, where a modified Schwarz-Christoffel mapping maps the upper half-plane conformally on a polygon with rounded corners. His idea is used in an algorithm by which mappings for arbitrary regions, bounded by smooth curves are constructed. The second method uses the fact that a Schwarz-Christoffel mapping from the upper half-plane or unit circle to a polygon maps a region Q inside the half-plane or circle, for example a circle with radius less than 1 or a sector in the half--plane, on a region Omega inside the polygon bounded by a smooth curve. Given such a region Omega, we develop methods to find a suitable outer polygon and corresponding Schwarz-Christoffel mapping that gives a mapping from Q to Omega. Both these methods use the concept of tangent polygons to numerically determine the coefficients in the mappings. Finally, we use one of Don Marshall's zipper algorithms to construct conformal mappings from the upper half--plane to channels bounded by arbitrary smooth curves, with the additional property that they are parallel straight lines when approaching infinity.