Due to their increasing complexity, today’s computer systems are studied using multiple models and formalisms. Thus, it is necessary to develop theories that unify different approaches in order to limit the risks of errors when moving from one formalism to another. It is in this context that monoids, semirings and Kleene algebras with domain were born about a decade ago. The idea is to define a domain operator on classical algebraic structures, in order to unify algebra and the classical logics of programs. The question of completeness for these algebras is still open. It constitutes the object of this thesis. We define tree structures called trees with a top and represented in matrix form. After having given fundamental properties of these trees, we define relations that make it possible to compare them. Then, we show that, modulo a certain equivalence relation, the set of trees with a top is provided with a monoid with domain structure. This result makes it possible to define a model for semirings with domain and prove its completeness. We also define a model for -continuous Kleene algebras with domain as well and prove its completeness modulo a new axiom.

À cause de la complexité croissante des systèmes informatiques, ces derniers sont aujourd’hui étudiés au moyen de multiples modèles et formalismes. Ainsi, il est nécessaire de développer des théories qui unifient différentes approches aafn de limiter les risques d’erreurs lorsqu’on passe d’un formalisme à l’autre. C’est dans cette optique que les monoïdes avec domaine, demi-anneaux avec domaine et algèbres de Kleene avec domaine ont vu le jour, il y a environ une décennie. L’idée est de définir un opérateur de domaine sur des structures algébriques classiques, afin d’unifier l’algèbre et la logique des programmes. La question concernant la complétude pour ces algèbres est encore ouverte. Elle constitue l’objet de ce mémoire. Nous définissons des structures arborescentes appelées arbres avec sommet et représentées sous forme matricielle. Après avoir donné des propriétés fondamentales de ces arbres, nous définissons des relations permettant de les comparer. Ensuite, nous démontrons que, modulo une certaine relation d’équivalence, l’ensemble des arbres avec sommet est muni d’une structure de monoïde avec domaine. Ce résultat permet de définir un modèle pour les demi-anneaux avec domaine et d’en prouver la complétude. Nous définissons également un modèle pour les algèbres de Kleene avec domaine -continues et prouvons la complétude de ce dernier modulo un nouvel axiome. / Due to their increasing complexity, today’s computer systems are studied using multiple models and formalisms. Thus, it is necessary to develop theories that unify different approaches in order to limit the risks of errors when moving from one formalism to another. It is in this context that monoids, semirings and Kleene algebras with domain were born about a decade ago. The idea is to define a domain operator on classical algebraic structures, in order to unify algebra and the classical logics of programs. The question of completeness for these algebras is still open. It constitutes the object of this thesis. We define tree structures called trees with a top and represented in matrix form. After having given fundamental properties of these trees, we define relations that make it possible to compare them. Then, we show that, modulo a certain equivalence relation, the set of trees with a top is provided with a monoid with domain structure. This result makes it possible to define a model for semirings with domain and prove its completeness. We also define a model for -continuous Kleene algebras with domain as well and prove its completeness modulo a new axiom.