BRAGA, João Philipe Macedo. Técnica split operator em coordenadas generalizadas. 2010. 84 f. Dissertação (Mestrado em Física) - Departamento de Física, Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2010. / Submitted by francisco lima (admir@ufc.br) on 2014-03-18T12:27:21Z No. of bitstreams: 1 2010_dis_jpmbraga.pdf: 953031 bytes, checksum: 788517c406c012d339bc8fe1d2fb7079 (MD5) / Approved for entry into archive by Edvander Pires(edvanderpires@gmail.com) on 2014-03-18T21:51:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_dis_jpmbraga.pdf: 953031 bytes, checksum: 788517c406c012d339bc8fe1d2fb7079 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-03-18T21:51:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_dis_jpmbraga.pdf: 953031 bytes, checksum: 788517c406c012d339bc8fe1d2fb7079 (MD5) Previous issue date: 2010 / Quantum mechanics plays a fundamental role in the description and understanding of the natural phenomena. Actually, the phenomena that take place in atomic and subatomic scale can not be well explained without the quantum mechanics approach. Furthermore, there are a lot of phenomena in macroscopic scale that reveals the quantum behavior of nature. In this sense, we can say that quantum mechanics is fundamental for the understanding of all natural phenomena. In Quantum Mechanics the state of a particle is mathematically described by the wave function Ψ(r,t) and its time evolution is governed by time-dependent Schrödinger equation. Thus, we can state that the fundamental problem of quantum mechanics is to solve the Schrödinger Equation in an arbitrary situation. In this work, we study a numerical technique to solve the time-dependent and time-independent Schrödinger Equation known as Split Operator technique. This aproach uses approximations for the exponencial of sum of operators that do not commute in order to implement the time-evolution operator. It makes possible to reduce the solution of the Schrödinger equation to a successive processes of multiplication and solution of tridiagonal system of linear equations. It can be easily performed using a computer. The technique was studied in detail using cartesian coordinates, and we also explained how to use the technique with periodic or finite boundary conditions. We make use this technique to study the behavior of an electron subjected to a random potential. In this situation we face the Anderson Localization phenomena. Furthermore, we developed the Split Operator technique using generalized coordinates, and studied the problem of an electron confined to a cylinder surface. It was verified that the numerical results agree with the analytical ones. So we can conclude that the Split Operator technique using generalized coordinates produce reliable results. / A mecânica quântica desempenha um papel fundamental na descrição e entendimento dos fenômenos naturais. De fato, os fenômenos que ocorrem em uma escala muito pequena (atômica ou sub-atômica) não podem ser corretamente explicados fora do contexto da mecânica quântica. Além disso, existem muitos fenômenos em escala macroscópica que revelam o comportamento quântico da natureza. Nesse sentido, podemos dizer que a mecânica quântica é a base de todo nosso atual conhecimento sobre os fenômenos naturais. O estado de uma partícula em quântica é descrito matematicamente pela sua função de onda Ψ(r,t) e a evolução temporal de Ψ(r,t) é governada pela Equação de Schrödinger dependente do tempo. Dessa forma, podemos enunciar que o problema fundamental da mecânica quântica consiste em solucionar a Equação de Schrödinger numa situação arbitrária. Neste trabalho, estudamos uma técnica numérica de solução da Equação de Schrödinger dependente ou independente do tempo conhecida como Split Operator. Essa técnica utiliza formas aproximadas para a exponencial da soma de operadores que não comutam para implementar o operador evolução temporal, permitindo reduzir o processo de solução da Equação de Schrödinger a sucessivos processos de simples multiplicação e de solução de sistemas de equações lineares tridiagonais, que podem ser facilmente realizados por um computador. O formalismo da técnica em coordenadas cartesianas foi estudado em detalhes, onde mostramos como aplicá-lo para sistemas com condições de com torno periódicas ou com condições de contorno finitas. Utilizamos essa forma da técnica para estudar o comportamento de um elétron confinado numa região de energia potencial aleatória, onde nos deparamos com o fenômeno de Localização de Anderson. Além disso, desenvolvemos a técnica Split Operator em coordenadas generalizadas, aplicando-a para estudar o problema de um elétron confinado na superfície de um cilindro. Os resultados obtidos numericamente concordam muito bem com os resultados obtidos analiticamente, mostrando que a técnica Split Operator em coordenadas generalizadas nos leva a resultados confiáveis.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / A mecÃnica quÃntica desempenha um papel fundamental na descriÃÃo e entendimento dos fenÃmenos naturais. De fato, os fenÃmenos que ocorrem em uma escala muito pequena (atÃmica ou sub-atÃmica) nÃo podem ser corretamente explicados fora do contexto da mecÃnica quÃntica. AlÃm disso, existem muitos fenÃmenos em escala macroscÃpica que revelam o comportamento quÃntico da natureza. Nesse sentido, podemos dizer que a mecÃnica quÃntica à a base de todo nosso atual conhecimento sobre os fenÃmenos naturais. O estado de uma partÃcula em quÃntica à descrito matematicamente pela sua funÃÃo de onda Ψ(r,t) e a evoluÃÃo temporal de Ψ(r,t) à governada pela EquaÃÃo de SchrÃdinger dependente do tempo. Dessa forma, podemos enunciar que o problema fundamental da mecÃnica quÃntica consiste em solucionar a EquaÃÃo de SchrÃdinger numa situaÃÃo arbitrÃria. Neste trabalho, estudamos uma tÃcnica numÃrica de soluÃÃo da EquaÃÃo de SchrÃdinger dependente ou independente do tempo conhecida como Split Operator. Essa tÃcnica utiliza formas aproximadas para a exponencial da soma de operadores que nÃo comutam para implementar o operador evoluÃÃo temporal, permitindo reduzir o processo de soluÃÃo da EquaÃÃo de SchrÃdinger a sucessivos processos de simples multiplicaÃÃo e de soluÃÃo de sistemas de equaÃÃes lineares tridiagonais, que podem ser facilmente realizados por um computador. O formalismo da tÃcnica em coordenadas cartesianas foi estudado em detalhes, onde mostramos como aplicÃ-lo para sistemas com condiÃÃes de com torno periÃdicas ou com condiÃÃes de contorno finitas. Utilizamos essa forma da tÃcnica para estudar o comportamento de um elÃtron confinado numa regiÃo de energia potencial aleatÃria, onde nos deparamos com o fenÃmeno de LocalizaÃÃo de Anderson. AlÃm disso, desenvolvemos a tÃcnica Split Operator em coordenadas generalizadas, aplicando-a para estudar o problema de um elÃtron confinado na superfÃcie de um cilindro. Os resultados obtidos numericamente concordam muito bem com os resultados obtidos analiticamente, mostrando que a tÃcnica Split Operator em coordenadas generalizadas nos leva a resultados confiÃveis. / Quantum mechanics plays a fundamental role in the description and understanding of the natural phenomena. Actually, the phenomena that take place in atomic and subatomic scale can not be well explained without the quantum mechanics approach. Furthermore, there are a lot of phenomena in macroscopic scale that reveals the quantum behavior of nature. In this sense, we can say that quantum mechanics is fundamental for the understanding of all natural phenomena. In Quantum Mechanics the state of a particle is mathematically described by the wave function Ψ(r,t) and its time evolution is governed by time-dependent SchrÃdinger equation. Thus, we can state that the fundamental problem of quantum mechanics is to solve the SchrÃdinger Equation in an arbitrary situation. In this work, we study a numerical technique to solve the time-dependent and time-independent SchrÃdinger Equation known as Split Operator technique. This aproach uses approximations for the exponencial of sum of operators that do not commute in order to implement the time-evolution operator. It makes possible to reduce the solution of the SchrÃdinger equation to a successive processes of multiplication and solution of tridiagonal system of linear equations. It can be easily performed using a computer. The technique was studied in detail using cartesian coordinates, and we also explained how to use the technique with periodic or finite boundary conditions. We make use this technique to study the behavior of an electron subjected to a random potential. In this situation we face the Anderson Localization phenomena. Furthermore, we developed the Split Operator technique using generalized coordinates, and studied the problem of an electron confined to a cylinder surface. It was verified that the numerical results agree with the analytical ones. So we can conclude that the Split Operator technique using generalized coordinates produce reliable results.