L’objectif de cette thèse est d’étendre une méthode d’estimation des paramètres d’une loi stable dans Rd aux lois à queue régulière dans un cône arbitraire. La méthode d’échantillonnage par paquets est modifiée afin d’optimiser la vitesse de convergence des estimateurs. Un nouvel estimateur de la masse totale de mesure spectrale est proposé. Des résultats sur les statistiques d’ordre des lois à queue régulière dans un cône et la loi des grands nombres pour le schéma triangulaire sont établis. La consistance et la normalité asymptotique des estimateurs sont démontrées. La performance des estimateurs est étudiée par simulation. On compare ces estimateurs avec quelques estimateurs connus. Les tableaux de performance sont fournis. La méthode de noyau est utilisée pour estimer la densité d’une mesure spectrale absolument continue d’une loi à queue régulière. On prouve la consistance de l’estimateur dans notre cas particulier. Pour augmenter le nombre de points utilisés dans l’échantillon, on propose une méthode d’estimation utilisant les permutations aléatoires de l’échantillon. La variation régulière a la propriété d’être préservée par plusieurs opérations et transformations. On considère trois sortes de transformations. Des conditions suffisantes pour cette préservation sont proposées et quelques contre-exemples sont présentés. Les modèles de lois stables et de lois à queue lourde sont très utilisés dans plusieurs domaines d’application. On considère deux jeux de données réelles : les cours des 30 valeurs de l’indice DJIA et les perturbations planétaires des comètes du nuage de Oort. En appliquant la méthode d’estimation présentée on obtient des descriptions statistiques de ces données. / The objective of this thesis is to extend an estimation method of parameters of a stable distribution in Rd to the regularly varying tail distributions in an arbitrary cone. The sampling method of regrouping is modified to optimize the rate of convergence of estimators. A new estimator of total mass of the spectral measure is proposed. Some results about order statistics of regularly varying tail laws in a cone and the strong law of large numbers on the triangular schema are established. The consistency and the asymptotic normality of estimators are proved. The performance of proposed estimators is studied by simulation. We compare these estimators with some known estimators. The performance tables are provided. The kernel density estimation is used to estimate the density of an absolutely continuous spectral measure of a regularly varying tail law. We prove the consistency of the estimator in our particular case. To increase the number of points used in the sample, an estimation method using the random permutations of sample is proposed. The property of regular variation can be preserved by several operations and transformations. We consider three kinds of transformations. The sufficient conditions for this preservation are proposed and some counter-examples are presented. The models of stable distributions and heavy tailed distributions are widely used in several application areas. We consider two sets of real data : the prices of 30 stocks of the DJIA index and the planetary perturbations of comets of the Oort cloud. By applying the estimation method presented previously we obtain some statistical descriptions of these data.

Thèse doctorat : Océanologie biologique : Brest : 2005. / Bibliogr. p. 277-298.

Le mouvement brownien fractionnaire (mbf) constitue un important outil de modélisation utilisé dans plusieurs domaines (biologie, économie, finance, géologie, hydrologie, télécommunications, etc.) ; toutefois, ce modèle ne parvient pas toujours à donner une description suffisamment fidèle de la réalité, à cause, entre autres, des deux limitations suivantes : d’une part le mbf est un processus gaussien, et d’autre part, sa rugosité locale (mesurée par un exposant de Hölder) reste la même tout le long de sa trajectoire, puisque cette rugosité est partout égale au paramètre de Hurst H qui est une constante. En vue d'y remédier, S. Stoev et M.S. Taqqu (2004 et 2005) ont introduit le mouvement multifractionnaire stable linéaire (mmsl) ; ce processus stochastique strictement α-stable (StαS), désigné par {Y(t)}t, est obtenu en remplaçant la mesure brownienne par une mesure StαS et le paramètre de Hurst H par une fonction H(.) dépendant de t. On se place systématiquement dans le cas où cette fonction est continue et à valeurs dans l’intervalle ouvert ]1/α,1[. Il convient aussi de noter que l’on a pour tout t, Y(t)=X(t,H(t)), où {X(u,v)}(u,v) est le champ stochastique StαS, tel que pour tout v fixé, le processus {X(u,v)}u est un mouvement fractionnaire stable linéaire. L'objectif de la thèse est de mener une étude approfondie du mmsl, au moyen de méthodes d’ondelettes ; elle consiste principalement en trois parties. (1) On détermine de fins modules de continuité, globaux et locaux de {Y(t)}t ; cela repose essentiellement sur une nouvelle représentation de {X(u,v)}(u,v), sous la forme d’une série aléatoire, dont on montre la convergence presque sûre dans certains espaces de Hölder. (2) On introduit, via la base de Haar, une autre représentation de {X(u,v)}(u,v) en série aléatoire ; cette dernière permet la mise en place d'une méthode de simulation efficace du mmsl, ainsi que de ses parties hautes et basses fréquences. (3) On construit des estimateurs par ondelettes du paramètre fonctionnel H(.) du mmsl, ainsi que de son paramètre de stabilité α. / Fractional Brownian Motion (FBM) is an important tool in modeling used in several areas (biology, economics, finance, geology, hydrology, telecommunications, and so on); however, this model does not always give a sufficiently accurate description of reality, two important ones among its limitations, are the following: on one hand, FBM is a Gaussian process, and on the other hand, its local roughness (measured through a Hölder exponent) remains the same all along its path, since this roughness is everywhere equal to the Hurst parameter H which is a constant. In order to overcome the latter two limitations, S. Stoev and M.S. Taqqu (2004 and 2005) introduced Linear Multifractional Stable Motion (LMSM); this strictly α-stable (StαS) stochastic process, denoted by {Y(t)}t , is obtained by replacing the Brownian measure by a StαS one and the Hurst parameter H by a function H(.) depending on t. One assumes the latter function to be continuous and with values in the open interval (1/α,1). Also, it is worth noticing that one has for all t, Y(t)=X(t,H(t)), where {X(u,v)}(u,v) is the StαS stochastic field, such that for all fixed v, the process {X(u,v)}u is a Linear Fractional Stable Motion. The goal of the thesis is to conduct a thorough study on LMSM by making use of wavelet methods; it mainly consists into three parts. (1) One determines, sharp global and local moduli of continuity for {Y(t)}t; this mainly relies on a new representation of {X(u,v)}(u,v), as a random series which almost surely converges in some Hölder spaces. (2) One introduces, via the Haar basis, another random series representation of {X(u,v)}(u,v); the latter representation allows to derive an efficient simulation for LMSM as well as its high and low frequency parts. (3) One constructs wavelet estimators of the functional parameter H(.) of LMSM and of its stability parameter α.

Thèse doctorat : Océanologie biologique : Brest : 2004. / Bibliogr. p. 305-326.

Th. univ.--Rennes 1, 1996. / Bibliogr. p. 239-248. Résumé.

Cette thèse porte sur les lois stables réelles au sens large et comprend deux parties indépendantes. La première partie concerne les lois stables généralisées introduites par Schneider dans un contexte physique et étudiées ensuite par Pakes. Elles sont définies par une équation différentielle fractionnaire dont on caractérise ici l'existence et l'unicité des solutions densité à l'aide de deux paramètres positifs, l'un de stabilité et l'autre de biais. On montre ensuite diverses identités en loi pour les variables aléatoires sous-jacentes. On étudie le comportement asymptotique précis de la densité aux deux extrémités du support. Dans certains cas, on donne des représentations exactes de ces densités comme fonctions de Fox. Enfin, on résout entièrement les questions ouvertes autour de l'infinie divisibilité des lois stables généralisées. La seconde partie, plus longue, porte sur l'analyse classique des lois alpha-stables libres réelles. Introduites par Bercovici et Pata, ces lois ont ensuite étudiées par Biane, Demni et Hasebe-Kuznetsov sous divers points de vue. Nous montrons qu'elles sont classiquement infiniment divisibles pour alpha inférieur ou égal à 1 et qu'elles appartiennent à la classe de Thorin étendue pour alpha inférieur ou égal à 3/4. La mesure de Lévy est calculée explicitement pour alpha = 1 et ce calcul entraîne que les lois 1-stables libres n'appartiennent pas à la classe de Thorin, sauf dans le cas de la loi de Cauchy avec dérive. Dans le cas symétrique, nous montrons que les densités alpha-stables libres ne sont pas infiniment divisibles quand alpha supérieur à 1. Dans le cas de signe constant nous montrons que les densités stables libres ont une courbe en baleine, autrement dit que leurs dérivées successives ne s'annulent qu'une seule fois sur leurs supports, ce qui constitue un raffinement de l'unimodalité et fait écho à la courbe en cloche des densités stables classiques récemment montrée rigoureusement. Nous établissons enfin plusieurs propriétés précises des densités stables libres spectralement de signe constant, parmi lesquelles une analyse détaillée de la variable aléatoire de Kanter, des expansions asymptotiques complètes en zéro, ainsi que plusieurs propriétés intrinsèques des courbes en baleine. Nous montrons enfin une nouvelle identité en loi pour l'algèbre Beta-Gamma, diverses propriétés d'ordre stochastique et nous étudions le problème classique de Van Dantzig pour la loi semi-circulaire généralisée. / This thesis deals with real stable laws in the broad sense and consists of two independent parts. The first part concerns the generalized stable laws introduced by Schneider in a physical context and then studied by Pakes. They are defined by a fractional differential equation, whose existence and uniqueness of the density solutions is here characterized via two positive parameters, a stability parameter and a bias parameter. We then show various identities in law for the underlying random variables. The precise asymptotic behaviour of the density at both ends of the support is investigated. In some cases, exact representations as Fox functions of these densities are given. Finally, we solve entirely the open questions on the infinite divisibility of the generalized stable laws. The second and longer part deals with the classical analysis of the free alpha-stable laws. Introduced by Bercovici and Pata, these laws were then studied by Biane, Demni and Hasebe-Kuznetsov, from various points of view. We show that they are classically infinitely divisible for alpha less than or equal to 1 and that they belong to the extended Thorin class extended for alpha less than or equal to 3/4. The Lévy measure is explicitly computed for alpha = 1, showing that free 1-stable distributions are not in the Thorin class except in the drifted Cauchy case. In the symmetric case we show that the free alpha-stable densities are not infinitely divisible when alpha larger than 1. In the one-sided case we prove, refining unimodality, that the densities are whale-shaped, that is their successive derivatives vanish exactly once on their support. This echoes the bell shape property of the classical stable densities recently rigorously shown. We also derive several fine properties of spectrally one-sided free stable densities, including a detailed analysis of the Kanter random variable, complete asymptotic expansions at zero, and several intrinsic features of whale-shaped functions. Finally, we display a new identity in law for the Beta-Gamma algebra, various stochastic order properties, and we study the classical Van Danzig problem for the generalized semi-circular law.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Science des agroressources : Toulouse, INPT : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 191 réf.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Thèse (M.Sc.)--Université Laval, 2005. / Bibliogr.: f. 46-50. Publié aussi en version électronique.