Neste projeto apresentamos os teoremas de estrutura, decomposição celular, e o teorema da existência da triangulação para conjuntos semi-algébricos compactos. Como aplicações destes teoremas mostramos o lema de seleção da curva local e global. Além disso, apresentamos uma breve descrição da topologia da fibra de Milnor local e global, bem como alguns resultados sobre o grau de conexidade da fibra genérica global de uma função polinomial complexa, que mostram a íntima relação entre o grau de conexidade com a dimensão do conjunto singular. / In this project we present some structure theorems, cell decomposition, and the theorem on the existence of triangulation for compact semi-algebraic sets. As applications we prove the curve selection lemma in the local and global cases. Moreover, we present a brief description about the topology of local and global Milnor´s fibers, as well as, some results about the connectivity degree of the generic fibers of a complex polynomial function, that show the close relation between the connectivity degree and the dimension of the singular locus.

Neste projeto apresentamos os teoremas de estrutura, decomposição celular, e o teorema da existência da triangulação para conjuntos semi-algébricos compactos. Como aplicações destes teoremas mostramos o lema de seleção da curva local e global. Além disso, apresentamos uma breve descrição da topologia da fibra de Milnor local e global, bem como alguns resultados sobre o grau de conexidade da fibra genérica global de uma função polinomial complexa, que mostram a íntima relação entre o grau de conexidade com a dimensão do conjunto singular. / In this project we present some structure theorems, cell decomposition, and the theorem on the existence of triangulation for compact semi-algebraic sets. As applications we prove the curve selection lemma in the local and global cases. Moreover, we present a brief description about the topology of local and global Milnor´s fibers, as well as, some results about the connectivity degree of the generic fibers of a complex polynomial function, that show the close relation between the connectivity degree and the dimension of the singular locus.

Nos últimos anos, váarios pesquisadores tais como: A. Bodin, A. Dimca, A. Durfee, A. Jacquemard, A. Menegon Neto, A. Némethi, A. Pichon, A. Verjovsky, A. Zaharia, D. Siersma, H. A. Hamm, D. Massey, H. Aguilar-Cabrera, H. H. Vui, J. Cisneros, J. Seade, J. Snoussi, L. D. Tráng, L. Paunescu, L. R. Dias, M. A. S. Ruas, M. Oka, M. Tibar, N. Dutertre, R. N. Araújo dos Santos, S. A. Broughton, T. Gaffney, Y. Chen, entre outros, têm apresentado generalizações dos Teoremas de fibrações de Milnor no ambiente real e complexo (e do Teorema de Kurdyka-Orro-Simon, ver por exemplo [Di, KOS]), visando um melhor entendimento de propriedades topológicas locais e globais das singularidades. Nesta direção de pesquisa esses autores tem utilizado várias ferramentas e técnicas de diversas áreas da matemática. O que mostra a riqueza e a complexidade destes estudos e acrescenta, em nossa modesta opinião, um aspecto que é ao mesmo tempo interessante e desafiador. Neste trabalho, mostraremos como estender as fibrações de Milnor em esferas no caso local e global, real e complexo, para uma aplicação C2-semi-algébrica F = (f1, . . . , fp) : RN → Rp e uma variedade W ⊂ RN semi-algébrica com possível singularidade. Com tal objetivo, introduziremos as condições de Milnor (a) e (b) generalizadas\" e mostraremos como adaptar a técnica da decomposição open book superior com binding singular, introduzida em [AT, ACT1]. Nossos resultados sugerem que tal estrutura de fibração pode ser um caso particular de algum Teorema estrutural mais geral. Além do mais, considerando π : Rp → Rp-1 a projeção canônica na meta, mostraremos que se F satisfaz tais condições, então G = π o F : RN → Rp-1 também satisfaz e, consequentemente, G também induz em W uma fibração suave localmente trivial. Concluiremos mostrando que após as projeções as fibras destes fibrados são homotopicamente equivalentes e, em seguida, apresentando algumas fórmulas que relacionam a característica de Euler do \"link relativo\" W ∩ F-1 (0) com a característica de Euler das fibras. / In the last years, several researchers such as: A. Bodin, A. Dimca, A. Durfee, A. Jacquemard, A. Menegon Neto, A. Némethi, A. Pichon, A. Verjovsky, A. Zaharia, D. Siersma, H. A. Hamm, D. Massey, H. Aguilar-Cabrera, H. H. Vui, J. Cisneros, J. Seade, J. Snoussi, L. D. Trang, L. Paunescu, L. R. Dias, M. A. S. Ruas, M. Oka, M. Tibar, N. Dutertre, R. N. Araújo dos Santos, S. A. Broughton, T. Gaffney, Y. Chen, and others, have proven generalizations of Milnor fibrationss Theorems in the real and complex settings (and Kurdyka-Orro-Simons Theorem, see e.g. [Di, KOS]), aiming a better understanding of the local and global topological properties of singularity. In this research branch, these authors have used many different tools and techniques from several areas of Mathematics. This shows the richness and complexities of these studies and adds, in our modest opinion, an aspect that is simultaneously interesting and challenging. In this work, we introduce the generalized Milnors conditions (a) and (b) to show an extension of the Milnor fibration Theorems on spheres in the local and global cases, in the real and complex setting. For this, we consider a C2-semi-algebraic mapping F = (f1, . . . , fp) : RN → Rp , a possible singular semi-algebraic variety W ⊂ RN, and we show how to adapt the technique of Higher open book decomposition with singular binding, introduced by [AT, ACT1], to prove such extension. Our results suggest that such fibration structure may be a particular case of a more general fibration structure. Furthermore, considering : Rp Rp-1 the canonical projection on the target space, we show that if F satisfies the generalized Milnors conditions (a) and (b), then G = π o F : RN → Rp-1 also satisfies these conditions and, hence G also induces on W a smooth locally trivial fibration. Finally, we show that after the projections on the target space, the fibers of these fiber bundles are homotopically equivalent. We conclude by proving some formulae connecting the Euler characteristic of \"relative link\" W ∩ F-1 (0) with the Euler characteristic of the fibers. Key words and phrases: generalized open book decomposition, fibration structure on semi-algebraic sets, topology of singularity, real and complex Milnors fibrations and, local and global fibration.

Nos últimos anos, váarios pesquisadores tais como: A. Bodin, A. Dimca, A. Durfee, A. Jacquemard, A. Menegon Neto, A. Némethi, A. Pichon, A. Verjovsky, A. Zaharia, D. Siersma, H. A. Hamm, D. Massey, H. Aguilar-Cabrera, H. H. Vui, J. Cisneros, J. Seade, J. Snoussi, L. D. Tráng, L. Paunescu, L. R. Dias, M. A. S. Ruas, M. Oka, M. Tibar, N. Dutertre, R. N. Araújo dos Santos, S. A. Broughton, T. Gaffney, Y. Chen, entre outros, têm apresentado generalizações dos Teoremas de fibrações de Milnor no ambiente real e complexo (e do Teorema de Kurdyka-Orro-Simon, ver por exemplo [Di, KOS]), visando um melhor entendimento de propriedades topológicas locais e globais das singularidades. Nesta direção de pesquisa esses autores tem utilizado várias ferramentas e técnicas de diversas áreas da matemática. O que mostra a riqueza e a complexidade destes estudos e acrescenta, em nossa modesta opinião, um aspecto que é ao mesmo tempo interessante e desafiador. Neste trabalho, mostraremos como estender as fibrações de Milnor em esferas no caso local e global, real e complexo, para uma aplicação C2-semi-algébrica F = (f1, . . . , fp) : RN → Rp e uma variedade W ⊂ RN semi-algébrica com possível singularidade. Com tal objetivo, introduziremos as condições de Milnor (a) e (b) generalizadas\" e mostraremos como adaptar a técnica da decomposição open book superior com binding singular, introduzida em [AT, ACT1]. Nossos resultados sugerem que tal estrutura de fibração pode ser um caso particular de algum Teorema estrutural mais geral. Além do mais, considerando π : Rp → Rp-1 a projeção canônica na meta, mostraremos que se F satisfaz tais condições, então G = π o F : RN → Rp-1 também satisfaz e, consequentemente, G também induz em W uma fibração suave localmente trivial. Concluiremos mostrando que após as projeções as fibras destes fibrados são homotopicamente equivalentes e, em seguida, apresentando algumas fórmulas que relacionam a característica de Euler do \"link relativo\" W ∩ F-1 (0) com a característica de Euler das fibras. / In the last years, several researchers such as: A. Bodin, A. Dimca, A. Durfee, A. Jacquemard, A. Menegon Neto, A. Némethi, A. Pichon, A. Verjovsky, A. Zaharia, D. Siersma, H. A. Hamm, D. Massey, H. Aguilar-Cabrera, H. H. Vui, J. Cisneros, J. Seade, J. Snoussi, L. D. Trang, L. Paunescu, L. R. Dias, M. A. S. Ruas, M. Oka, M. Tibar, N. Dutertre, R. N. Araújo dos Santos, S. A. Broughton, T. Gaffney, Y. Chen, and others, have proven generalizations of Milnor fibrationss Theorems in the real and complex settings (and Kurdyka-Orro-Simons Theorem, see e.g. [Di, KOS]), aiming a better understanding of the local and global topological properties of singularity. In this research branch, these authors have used many different tools and techniques from several areas of Mathematics. This shows the richness and complexities of these studies and adds, in our modest opinion, an aspect that is simultaneously interesting and challenging. In this work, we introduce the generalized Milnors conditions (a) and (b) to show an extension of the Milnor fibration Theorems on spheres in the local and global cases, in the real and complex setting. For this, we consider a C2-semi-algebraic mapping F = (f1, . . . , fp) : RN → Rp , a possible singular semi-algebraic variety W ⊂ RN, and we show how to adapt the technique of Higher open book decomposition with singular binding, introduced by [AT, ACT1], to prove such extension. Our results suggest that such fibration structure may be a particular case of a more general fibration structure. Furthermore, considering : Rp Rp-1 the canonical projection on the target space, we show that if F satisfies the generalized Milnors conditions (a) and (b), then G = π o F : RN → Rp-1 also satisfies these conditions and, hence G also induces on W a smooth locally trivial fibration. Finally, we show that after the projections on the target space, the fibers of these fiber bundles are homotopically equivalent. We conclude by proving some formulae connecting the Euler characteristic of \"relative link\" W ∩ F-1 (0) with the Euler characteristic of the fibers. Key words and phrases: generalized open book decomposition, fibration structure on semi-algebraic sets, topology of singularity, real and complex Milnors fibrations and, local and global fibration.