Nous nous intéressons dans cette thèse, à l'étude de certaines méthodes numériques de type krylov dans le cas symplectique, en utilisant la technique de blocs. Ces méthodes, contrairement aux méthodes classiques, permettent à la matrice réduite de conserver la structure Hamiltonienne ou anti-Hamiltonienne ou encore symplectique d'une matrice donnée. Parmi ces méthodes, nous nous sommes intéressés à la méthodes d'Arnoldi symplectique par bloc que nous appelons aussi bloc J-Arnoldi. Notre but essentiel est d’étudier cette méthode de façon théorique et numérique, sur la nouvelle structure du K-module libre ℝ²nx²s avec K = ℝ²sx²s où s ≪ n désigne la taille des blocs utilisés. Un deuxième objectif est de chercher une approximation de l'epérateur exp(A)V, nous étudions en particulier le cas où A est une matrice réelle Hamiltonnienne et anti-symétrique de taille 2n x 2n et V est une matrice rectangulaire ortho-symplectique de taille 2n x 2s sur le sous-espace de Krylov par blocs Km(A,V) = blockspan {V,AV,...,Am-1V}, en conservant la structure de la matrice V. Cette approximation permet de résoudre plusieurs problèmes issus des équations différentielles dépendants d'un paramètre (EDP) et des systèmes d'équations différentielles ordinaires (EDO). Nous présentons également une méthode de Lanczos symplectique par bloc, que nous nommons bloc J-Lanczos. Cette méthode permet de réduire une matrice structurée sous la forme J-tridiagonale par bloc. Nous proposons des algorithmes basés sur deux types de normalisation : la factorisation S R et la factorisation Rj R. Dans une dernière partie, nous proposons un algorithme qui généralise la méthode de Greville afin de déterminer la pseudo inverse de Moore-Penros bloc de lignes par bloc de lignes d'une matrice rectangulaire de manière itérative. Nous proposons un algorithme qui utilise la technique de bloc. Pour toutes ces méthodes, nous proposons des exemples numériques qui montrent l'efficacité de nos approches. / We study, in this thesis, some numerical block Krylov subspace methods. These methods preserve geometric properties of the reduced matrix (Hamiltonian or skew-Hamiltonian or symplectic). Among these methods, we interest on block symplectic Arnoldi, namely block J-Arnoldi algorithm. Our main goal is to study this method, theoretically and numerically, on using ℝ²nx²s as free module on (ℝ²sx²s, +, x) with s ≪ n the size of block. A second aim is to study the approximation of exp (A)V, where A is a real Hamiltonian and skew-symmetric matrix of size 2n x 2n and V a rectangular matrix of size 2n x 2s on block Krylov subspace Km (A, V) = blockspan {V, AV,...Am-1V}, that preserve the structure of the initial matrix. this approximation is required in many applications. For example, this approximation is important for solving systems of ordinary differential equations (ODEs) or time-dependant partial differential equations (PDEs). We also present a block symplectic structure preserving Lanczos method, namely block J-Lanczos algorithm. Our approach is based on a block J-tridiagonalization procedure of a structured matrix. We propose algorithms based on two normalization methods : the SR factorization and the Rj R factorization. In the last part, we proposea generalized algorithm of Greville method for iteratively computing the Moore-Penrose inverse of a rectangular real matrix. our purpose is to give a block version of Greville's method. All methods are completed by many numerical examples.

Les méthodes d'algèbres linéaire classiques, pour le calcul de valeurs et vecteurs propres d'une matrice, ou des approximations de rangs inférieurs (low-rank approximations) d'une solution, etc..., ne tiennent pas compte des structures de matrices. Ces dernières sont généralement détruites durant le procédé du calcul. Des méthodes alternatives préservant ces structures font l'objet d'un intérêt important par la communauté. Cette thèse constitue une contribution dans ce domaine. La décomposition SR peut être calculé via l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique. Comme dans le cas classique, une perte d'orthogonalité peut se produire. Pour y remédier, nous avons proposé deux algorithmes RSGSi et RMSGSi qui consistent à ré-orthogonaliser deux fois les vecteurs à calculer. La perte de la J-orthogonalité s'est améliorée de manière très significative. L'étude directe de la propagation des erreurs d'arrondis dans les algorithmes de Gram-Schmidt symplectique est très difficile à effectuer. Nous avons réussi à contourner cette difficulté et donner des majorations pour la perte de la J-orthogonalité et de l'erreur de factorisation. Une autre façon de calculer la décomposition SR est basée sur les transformations de Householder symplectique. Un choix optimal a abouti à l'algorithme SROSH. Cependant, ce dernier peut être sujet à une instabilité numérique. Nous avons proposé une version modifiée nouvelle SRMSH, qui a l'avantage d'être aussi stable que possible. Une étude approfondie a été faite, présentant les différentes versions : SRMSH et SRMSH2. Dans le but de construire un algorithme SR, d'une complexité d'ordre O(n³) où 2n est la taille de la matrice, une réduction (appropriée) de la matrice à une forme condensée (J(Hessenberg forme) via des similarités adéquates, est cruciale. Cette réduction peut être effectuée via l'algorithme JHESS. Nous avons montré qu'il est possible de réduire une matrice sous la forme J-Hessenberg, en se basant exclusivement sur les transformations de Householder symplectiques. Le nouvel algorithme, appelé JHSJ, est basé sur une adaptation de l'algorithme SRSH. Nous avons réussi à proposer deux nouvelles variantes, aussi stables que possible : JHMSH et JHMSH2. Nous avons constaté que ces algorithmes se comportent d'une manière similaire à l'algorithme JHESS. Une caractéristique importante de tous ces algorithmes est qu'ils peuvent rencontrer un breakdown fatal ou un "near breakdown" rendant impossible la suite des calculs, ou débouchant sur une instabilité numérique, privant le résultat final de toute signification. Ce phénomène n'a pas d'équivalent dans le cas Euclidien. Nous avons réussi à élaborer une stratégie très efficace pour "guérir" le breakdown fatal et traîter le near breakdown. Les nouveaux algorithmes intégrant cette stratégie sont désignés par MJHESS, MJHSH, JHM²SH et JHM²SH2. Ces stratégies ont été ensuite intégrées dans la version implicite de l'algorithme SR lui permettant de surmonter les difficultés rencontrées lors du fatal breakdown ou du near breakdown. Rappelons que, sans ces stratégies, l'algorithme SR s'arrête. Finalement, et dans un autre cadre de matrices structurées, nous avons présenté un algorithme robuste via FFT et la matrice de Hankel, basé sur le calcul approché de plus grand diviseur commun (PGCD) de deux polynômes, pour résoudre le problème de la déconvolution d'images. Plus précisément, nous avons conçu un algorithme pour le calcul du PGCD de deux polynômes bivariés. La nouvelle approche est basée sur un algorithme rapide, de complexité quadratique O(n²), pour le calcul du PGCD des polynômes unidimensionnels. La complexité de notre algorithme est O(n²log(n)) où la taille des images floues est n x n. Les résultats expérimentaux avec des images synthétiquement floues illustrent l'efficacité de notre approche. / The classical linear algebra methods, for calculating eigenvalues and eigenvectors of a matrix, or lower-rank approximations of a solution, etc....do not consider the structures of matrices. Such structures are usually destroyed in the numerical process. Alternative structure-preserving methods are the subject of an important interest mattering to the community. This thesis establishes a contribution in this field. The SR decomposition is usually implemented via the symplectic Gram-Schmidt algorithm. As in the classical case, a loss of orthogonality can occur. To remedy this, we have proposed two algorithms RSGSi and RMSGSi, where the reorthogonalization of a current set of vectors against the previously computed set is performed twice. The loss of J-orthogonality has significantly improved. A direct rounding error analysis of symplectic Gram-Schmidt algorithm is very hard to accomplish. We managed to get around this difficulty and give the error bounds on the loss of the J-orthogonality and on the factorization. Another way to implement the SR decomposition is based on symplectic Householder transformations. An optimal choice of free parameters provided an optimal version of the algorithm SROSH. However, the latter may be subject to numerical instability. We have proposed a new modified version SRMSH, which has the advantage of being numerically more stable. By a detailes study, we are led to two new variants numerically more stables : SRMSH and SRMSH2. In order to build a SR algorithm of complexity O(n³), where 2n is the size of the matrix, a reduction to the condensed matrix form (upper J-Hessenberg form) via adequate similarities is crucial. This reduction may be handled via the algorithm JHESS. We have shown that it is possible to perform a reduction of a general matrix, to an upper J-Hessenberg form, based only on the use of symplectic Householder transformations. The new algorithm, which will be called JHSH algorithm, is based on an adaptation of SRSH algorithm. We are led to two news variants algorithms JHMSH and JHMSH2 which are significantly more stable numerically. We found that these algortihms behave quite similarly to JHESS algorithm. The main drawback of all these algorithms (JHESS, JHMSH, JHMSH2) is that they may encounter fatal breakdowns or may suffer from a severe form of near-breakdowns, causing a brutal stop of the computations, the algorithm breaks down, or leading to a serious numerical instability. This phenomenon has no equivalent in the Euclidean case. We sketch out a very efficient strategy for curing fatal breakdowns and treating near breakdowns. Thus, the new algorithms incorporating this modification will be referred to as MJHESS, MJHSH, JHM²SH and JHM²SH2. These strategies were then incorporated into the implicit version of the SR algorithm to overcome the difficulties encountered by the fatal breakdown or near-breakdown. We recall that without these strategies, the SR algorithms breaks. Finally ans in another framework of structured matrices, we presented a robust algorithm via FFT and a Hankel matrix, based on computing approximate greatest common divisors (GCD) of polynomials, for solving the problem pf blind image deconvolution. Specifically, we designe a specialized algorithm for computing the GCD of bivariate polynomials. The new algorithm is based on the fast GCD algorithm for univariate polynomials , of quadratic complexity O(n²) flops. The complexitiy of our algorithm is O(n²log(n)) where the size of blurred images is n x n. The experimental results with synthetically burred images are included to illustrate the effectiveness of our approach