Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans la théorie des automates et des langages formels. ils peuvent se diviser en deux parties qui donnent également deux visions différentes de manipuler les langages dans la théorie des automates. La première partie s'intéresse à la notion de dérivation des expressions qui permet de faire passer le formalisme des quotients de langages au niveau des expressions rationnelles. en particulier cette thèse étudie les termes dérivés cassés d'une expression rationnelle. ces termes dérivés cassés permettent, sous certaines circonstances, et à l'aide d'autres opérations, une réversibilité de la transformation d'un automate en une expression rationnelle. Dans la seconde partie, la théorie des automates est utilisée pour traiter des problèmes sur les systèmes de numération. les systèmes de numération représentent des nombres par des mots. il est possible d'utiliser des automates et des transducteurs afin d'être capable de 'compter' sur un langage rationnel représentant les entiers. plus précisément ces automates sont étudiés pour le cas des systèmes de numération abstraits qui associent à chaque entier un mot d'un langage rationnel, ordonné par l'ordre radiciel. dans un tel système, la fonction qui permet de calculer le mot suivant est une fonction co-séquentielle par morceaux, c'est-à-dire qu'il suffit de lire deux fois le mot d'entrée de la droite vers la gauche pour qu'une machine calcule son image.

Les travaux de cette thèse s'inscrivent dans la théorie des automates et des langages formels. ils peuvent se diviser en deux parties qui donnent également deux visions différentes de manipuler les langages dans la théorie des automates. La première partie s'intéresse à la notion de dérivation des expressions qui permet de faire passer le formalisme des quotients de langages au niveau des expressions rationnelles. en particulier cette thèse étudie les termes dérivés cassés d'une expression rationnelle. ces termes dérivés cassés permettent, sous certaines circonstances, et à l'aide d'autres opérations, une réversibilité de la transformation d'un automate en une expression rationnelle. Dans la seconde partie, la théorie des automates est utilisée pour traiter des problèmes sur les systèmes de numération. les systèmes de numération représentent des nombres par des mots. il est possible d'utiliser des automates et des transducteurs afin d'être capable de 'compter' sur un langage rationnel représentant les entiers. plus précisément ces automates sont étudiés pour le cas des systèmes de numération abstraits qui associent à chaque entier un mot d'un langage rationnel, ordonné par l'ordre radiciel. dans un tel système, la fonction qui permet de calculer le mot suivant est une fonction co-séquentielle par morceaux, c'est-à-dire qu'il suffit de lire deux fois le mot d'entrée de la droite vers la gauche pour qu'une machine calcule son image. / The works in this thesis lies in the automata and formal languages theory. in the first part, the notion of derivation of rational expressions is studied. more precisely the broken derived terms of a rational expressions. Theses broken derived terms allow, under certain circumstances, with some other operations on automata, to have the reversibility of the transformation of an automaton into a rational expression. In the second part, automata and tranducers allow to 'count' on a numeration system, where integers are represented by words on a rational language. more precisely, this part adress the problem of counting in an abstract numeration systems, which maps to any word of a rational language, ordored by radix order, the integer corresponding to the order of the word. in such a numeration system, the function which computes the successor of a word is a piecewise co-sequential function: it can be realised by a machine which reads the input two times to give the output.

Notre contexte pratique — nous enseignons à des élèves doués de cinquième année suivant le programme international — a grandement influencé la présente recherche. En effet, le Programme primaire international (Organisation du Baccalauréat International, 2007) propose un enseignement par thèmes transdisciplinaires, dont un s’intitulant Où nous nous situons dans l’espace et le temps. Aussi, nos élèves sont tenus de suivre le Programme de formation de l’école québécoise (MÉLS Ministère de l'Éducation du Loisir et du Sport, 2001) avec le développement, notamment, de la compétence Résoudre une situation-problème et l’introduction d’une nouveauté : les repères culturels. Après une revue de la littérature, l’histoire des mathématiques nous semble tout indiquée. Toutefois, il existe peu de ressources pédagogiques pour les enseignants du primaire. Nous proposons donc d’en créer, nous appuyant sur l’approche constructiviste, approche prônée par nos deux programmes d’études (OBI et MÉLS). Nous relevons donc les avantages à intégrer l’histoire des mathématiques pour les élèves (intérêt et motivation accrus, changement dans leur façon de percevoir les mathématiques et amélioration de leurs apprentissages et de leur compréhension des mathématiques). Nous soulignons également les difficultés à introduire une approche historique à l’enseignement des mathématiques et proposons diverses façons de le faire. Puis, les concepts mathématiques à l’étude, à savoir l’arithmétique, et la numération, sont définis et nous voyons leur importance dans le programme de mathématiques du primaire. Nous décrivons ensuite les six systèmes de numération retenus (sumérien, égyptien, babylonien, chinois, romain et maya) ainsi que notre système actuel : le système indo-arabe. Enfin, nous abordons les difficultés que certaines pratiques des enseignants ou des manuels scolaires posent aux élèves en numération. Nous situons ensuite notre étude au sein de la recherche en sciences de l’éducation en nous attardant à la recherche appliquée ou dite pédagogique et plus particulièrement aux apports des recherches menées par des praticiens (un rapprochement entre la recherche et la pratique, une amélioration de l’enseignement et/ou de l’apprentissage, une réflexion de l’intérieur sur la pratique enseignante et une meilleure connaissance du milieu). Aussi, nous exposons les risques de biais qu’il est possible de rencontrer dans une recherche pédagogique, et ce, pour mieux les éviter. Nous enchaînons avec une description de nos outils de collecte de données et rappelons les exigences de la rigueur scientifique. Ce n’est qu’ensuite que nous décrivons notre séquence d’enseignement/apprentissage en détaillant chacune des activités. Ces activités consistent notamment à découvrir comment différents systèmes de numération fonctionnent (à l’aide de feuilles de travail et de notations anciennes), puis comment ces mêmes peuples effectuaient leurs additions et leurs soustractions et finalement, comment ils effectuaient les multiplications et les divisions. Enfin, nous analysons nos données à partir de notre journal de bord quotidien bonifié par les enregistrements vidéo, les affiches des élèves, les réponses aux tests de compréhension et au questionnaire d’appréciation. Notre étude nous amène à conclure à la pertinence de cette séquence pour notre milieu : l’intérêt et la motivation suscités, la perception des mathématiques et les apprentissages réalisés. Nous revenons également sur le constructivisme et une dimension non prévue : le développement de la communication mathématique. / Our practical context -we teach gifted fifth grade students in an International School- has greatly influenced this research. Indeed, the International Primary Years Programme (International Baccalaureate Organization, 2007) fosters transdisciplinary themes, including one intitled Where we are in place and time. Our students are also expected to follow the Quebec education program schools (Ministry of Education, Recreation and Sport, 2001) with the development of competencies such as: To solve situational problem and the introduction of a novelty: the Cultural References. After the literature review, the history of mathematics seems very appropriate. However, there are few educational resources for primary teachers. This is the reason why we propose creating the resources by drawing upon the constructivist approach, an approach recommended by our two curricula (OBI and MELS). We bring to light the advantages of integrating the history of mathematics for students (increased interest and motivation, change in their perception of mathematics and improvement in learning and understanding mathematics). We also highlight the difficulties in introducing a historical approach to teaching mathematics and suggest various ways to explore it. Then we define the mathematical concepts of the study: arithmetic and counting and we remark their importance in the Primary Mathematics Curriculum. We then describe the six selected number systems (Sumerian, Egyptian, Babylonian, Chinese, Roman and Mayan) as well as our current system: the Indo-Arabic system. Finally, we discuss the difficulties students may encounter due to some teaching practices or textbooks on counting. We situate our study in the research of science of education especially on applied research and the contributions of the teacher research reconciliation between research and practice, the improvement of teaching and / or learning and a reflection within the teaching practice). Also, we reveal the possible biases that can be encountered in a pedagogical research and thus, to better avoid them. Finally, we describe the tools used to collect our data and look at the requirements for scientific rigor. Next, we describe our teaching sequence activities in details. These activities include the discovery of how the different number systems work (using worksheets and old notations) and how the people using the same systems do their additions and subtractions and how they do their multiplications and divisions. Finally, we analyze our data from a daily diary supported by video recordings, students’ posters, the comprehension tests and the evaluation questionnaire. Our study leads us to conclude the relevance of this sequence in our context: interest and motivation, perception of mathematics and learning achieved. We also discuss constructivism and a dimension not provided: the development of mathematical communication.

Notre contexte pratique — nous enseignons à des élèves doués de cinquième année suivant le programme international — a grandement influencé la présente recherche. En effet, le Programme primaire international (Organisation du Baccalauréat International, 2007) propose un enseignement par thèmes transdisciplinaires, dont un s’intitulant Où nous nous situons dans l’espace et le temps. Aussi, nos élèves sont tenus de suivre le Programme de formation de l’école québécoise (MÉLS Ministère de l'Éducation du Loisir et du Sport, 2001) avec le développement, notamment, de la compétence Résoudre une situation-problème et l’introduction d’une nouveauté : les repères culturels. Après une revue de la littérature, l’histoire des mathématiques nous semble tout indiquée. Toutefois, il existe peu de ressources pédagogiques pour les enseignants du primaire. Nous proposons donc d’en créer, nous appuyant sur l’approche constructiviste, approche prônée par nos deux programmes d’études (OBI et MÉLS). Nous relevons donc les avantages à intégrer l’histoire des mathématiques pour les élèves (intérêt et motivation accrus, changement dans leur façon de percevoir les mathématiques et amélioration de leurs apprentissages et de leur compréhension des mathématiques). Nous soulignons également les difficultés à introduire une approche historique à l’enseignement des mathématiques et proposons diverses façons de le faire. Puis, les concepts mathématiques à l’étude, à savoir l’arithmétique, et la numération, sont définis et nous voyons leur importance dans le programme de mathématiques du primaire. Nous décrivons ensuite les six systèmes de numération retenus (sumérien, égyptien, babylonien, chinois, romain et maya) ainsi que notre système actuel : le système indo-arabe. Enfin, nous abordons les difficultés que certaines pratiques des enseignants ou des manuels scolaires posent aux élèves en numération. Nous situons ensuite notre étude au sein de la recherche en sciences de l’éducation en nous attardant à la recherche appliquée ou dite pédagogique et plus particulièrement aux apports des recherches menées par des praticiens (un rapprochement entre la recherche et la pratique, une amélioration de l’enseignement et/ou de l’apprentissage, une réflexion de l’intérieur sur la pratique enseignante et une meilleure connaissance du milieu). Aussi, nous exposons les risques de biais qu’il est possible de rencontrer dans une recherche pédagogique, et ce, pour mieux les éviter. Nous enchaînons avec une description de nos outils de collecte de données et rappelons les exigences de la rigueur scientifique. Ce n’est qu’ensuite que nous décrivons notre séquence d’enseignement/apprentissage en détaillant chacune des activités. Ces activités consistent notamment à découvrir comment différents systèmes de numération fonctionnent (à l’aide de feuilles de travail et de notations anciennes), puis comment ces mêmes peuples effectuaient leurs additions et leurs soustractions et finalement, comment ils effectuaient les multiplications et les divisions. Enfin, nous analysons nos données à partir de notre journal de bord quotidien bonifié par les enregistrements vidéo, les affiches des élèves, les réponses aux tests de compréhension et au questionnaire d’appréciation. Notre étude nous amène à conclure à la pertinence de cette séquence pour notre milieu : l’intérêt et la motivation suscités, la perception des mathématiques et les apprentissages réalisés. Nous revenons également sur le constructivisme et une dimension non prévue : le développement de la communication mathématique. / Our practical context -we teach gifted fifth grade students in an International School- has greatly influenced this research. Indeed, the International Primary Years Programme (International Baccalaureate Organization, 2007) fosters transdisciplinary themes, including one intitled Where we are in place and time. Our students are also expected to follow the Quebec education program schools (Ministry of Education, Recreation and Sport, 2001) with the development of competencies such as: To solve situational problem and the introduction of a novelty: the Cultural References. After the literature review, the history of mathematics seems very appropriate. However, there are few educational resources for primary teachers. This is the reason why we propose creating the resources by drawing upon the constructivist approach, an approach recommended by our two curricula (OBI and MELS). We bring to light the advantages of integrating the history of mathematics for students (increased interest and motivation, change in their perception of mathematics and improvement in learning and understanding mathematics). We also highlight the difficulties in introducing a historical approach to teaching mathematics and suggest various ways to explore it. Then we define the mathematical concepts of the study: arithmetic and counting and we remark their importance in the Primary Mathematics Curriculum. We then describe the six selected number systems (Sumerian, Egyptian, Babylonian, Chinese, Roman and Mayan) as well as our current system: the Indo-Arabic system. Finally, we discuss the difficulties students may encounter due to some teaching practices or textbooks on counting. We situate our study in the research of science of education especially on applied research and the contributions of the teacher research reconciliation between research and practice, the improvement of teaching and / or learning and a reflection within the teaching practice). Also, we reveal the possible biases that can be encountered in a pedagogical research and thus, to better avoid them. Finally, we describe the tools used to collect our data and look at the requirements for scientific rigor. Next, we describe our teaching sequence activities in details. These activities include the discovery of how the different number systems work (using worksheets and old notations) and how the people using the same systems do their additions and subtractions and how they do their multiplications and divisions. Finally, we analyze our data from a daily diary supported by video recordings, students’ posters, the comprehension tests and the evaluation questionnaire. Our study leads us to conclude the relevance of this sequence in our context: interest and motivation, perception of mathematics and learning achieved. We also discuss constructivism and a dimension not provided: the development of mathematical communication.