Toute théorie des champs devient conforme aux points fixes du groupe de renormalisation de Wilson. Face aux échecs de la méthode perturbatrice pour certains modèles quantiques à fort couplage dans l'extrême infrarouge ou ultraviolet, les symétries et le développement en produits d'opérateurs de ces théories conformes deviennent des outils suffisamment puissants à la résolution analytique des fonctions de corrélation à des constantes près. Ces constantes, similaires à des mesures du couplage entre les opérateurs, peuvent être déterminées par différentes procédures comme le Bootstrap conforme numérique. Des contraintes unitaires peuvent aussi être appliquées sur ces constantes et indirectement sur la dimension d'échelle par l'usage de la condition de positivité de Wightman dans une signature lorentzienne. Cette condition retranscrit l'inégalité de la norme d'un état dans le domaine d'Hilbert des opérateurs étendus. Dans ce mémoire, la positivité de Wightman sera étudiée en théorie conforme, afin de poser des contraintes sur les fonctions de corrélation, et ainsi obtenir indirectement, des informations unitaires sur les paramètres qui les composent. / Every quantum field theory turn eventually into a conformal theory at the fixed points of the Wilson renormalization group. Given the failure of the perturbative approach for some quantum models with very large coupling at low or high energy, symmetries and the operator product expansion of these conformal theories turn out to be powerful tools to analytically solve correlation functions up to constants. These constants, similar to coupling strengths between operators, can be determined with different techniques such as the numerical conformal Bootstrap. Unitarity conditions can be applied on these constants and the scaling dimension using Wightman unitarity condition in a lorentzian signature. This condition express the inequality of the norm of state in the Hilbert space of smeared fields. In this master thesis, Wightman unitarity will be studied in conformal field theory, in order to constrain correlation functions and obtain unitarity informations on their parameters.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2022-2023. / La théorie quantique des champs est un cadre théorique important pour la physique des particules moderne. Ses prédictions sont parmi les plus précises de toute la physique. Par contre, l'approche standard à la théorie quantique des champs consiste à utiliser la théorie des perturbations pour évaluer des fonctions de corrélation, qui sont les quantités mesurables de la théorie quantique des champs. Ce stratagème n'est pas toujours valide puisqu'elle présume que les constantes de couplage du système étudié sont faibles. Certains systèmes ont de grandes constantes de couplage et ne peuvent être étudiés avec la théorie des perturbations. Ce défaut a mené et continue de mener beaucoup de physiciens à chercher des approches non-perturbatrices à la théorie quantique des champs. Le groupe de renormalisation établit un lien entre les différentes théories quantiques des champs, qui diffèrent par leurs constantes de couplage. Il suggère aussi l'existence de théories quantiques des champs qui sont localement invariantes d'échelle - les théories conformes des champs. Le groupe de symétries élargi des théories conformes des champs les contraint au point qu'elles peuvent être résolues exactement. Les fonctions de corrélation à deux et à trois points sont complètement fixées par la symétrie conforme et le développement du produit d'opérateurs permet de réduire une fonction de corrélation à quatre points ou plus en une somme de fonctions de corrélation à moins de points. Peu de résultats analytiques sont connus pour les théories conformes des champs, surtout dans l'espace de plongement. L'objectif final de notre recherche est de développer une technique pour évaluer des fonctions de corrélation à partir de l'espace de plongement, et ce, en traitant toutes les représentations irréductibles de l'algèbre de Lorentz de la même façon peu importe le nombre de dimensions d'espace-temps. Pour ce faire, nous adaptons une méthode connue pour les fonctions de corrélation de champs scalaires à des fonctions de corrélation de champs quelconques par le biais d'une nouvelle technique, la scalairisation. Nous avons essayé d'utiliser la scalairisation pour trouver un ensemble de variables qui diagonalise un ensemble complet d'opérateurs de Casimir qui commutent afin de faciliter de futurs calculs. / Quantum field theory is an important framework for modern particle physics. Its predictions are among the most accurate in all of physics. However, the standard approach to quantum field theory is to use perturbation theory in order to evaluate correlation functions, which are the measurable quantities of quantum field theory. This strategy is not always valid because it relies on the theory's coupling constants being small. Some systems' coupling constants are large, so they can't be studied through the lens of perturbation theory. This flaw leads many physicists to look for non-perturbative approaches to quantum field theory. The renormalization group establishes a connection between different quantum field theories, which are parameterized by their coupling constants. It also suggests the existence of quantum field theories that are invariant under local dilations - conformal field theories. Conformal field theories' symmetries constrain them to such an extent that they can be solved exactly. Two-point and three-point correlation functions are completely fixed by conformal symmetry, and the operator product expansion equates a correlation function with four or more points to a linear combination of correlation functions with fewer points. Few analytical results have been obtained in conformal field theory, especially in the embedding space. Our research's end goal is to develop a method to evaluate correlation functions in the embedding space in a way that treats every irreducible representation of the Lorentz algebra homogeneously, regardless of the number of spacetime dimensions. For this purpose, we generalized a known method to evaluate correlation functions of scalar fields to more general correlation functions by using a new technique – scalarization. We tried to use scalarization to find a set of variables that diagonalize a complete set of commuting Casimir operators in order to ease future calculations.

Toute théorie des champs devient conforme aux points fixes du groupe de renormalisation de Wilson. Face aux échecs de la méthode perturbatrice pour certains modèles quantiques à fort couplage dans l'extrême infrarouge ou ultraviolet, les symétries et le développement en produits d'opérateurs de ces théories conformes deviennent des outils suffisamment puissants à la résolution analytique des fonctions de corrélation à des constantes près. Ces constantes, similaires à des mesures du couplage entre les opérateurs, peuvent être déterminées par différentes procédures comme le Bootstrap conforme numérique. Des contraintes unitaires peuvent aussi être appliquées sur ces constantes et indirectement sur la dimension d'échelle par l'usage de la condition de positivité de Wightman dans une signature lorentzienne. Cette condition retranscrit l'inégalité de la norme d'un état dans le domaine d'Hilbert des opérateurs étendus. Dans ce mémoire, la positivité de Wightman sera étudiée en théorie conforme, afin de poser des contraintes sur les fonctions de corrélation, et ainsi obtenir indirectement, des informations unitaires sur les paramètres qui les composent. / Every quantum field theory turn eventually into a conformal theory at the fixed points of the Wilson renormalization group. Given the failure of the perturbative approach for some quantum models with very large coupling at low or high energy, symmetries and the operator product expansion of these conformal theories turn out to be powerful tools to analytically solve correlation functions up to constants. These constants, similar to coupling strengths between operators, can be determined with different techniques such as the numerical conformal Bootstrap. Unitarity conditions can be applied on these constants and the scaling dimension using Wightman unitarity condition in a lorentzian signature. This condition express the inequality of the norm of state in the Hilbert space of smeared fields. In this master thesis, Wightman unitarity will be studied in conformal field theory, in order to constrain correlation functions and obtain unitarity informations on their parameters.

La théorie conforme des champs (en anglais, CFT) joue un rôle central dans la physique théorique moderne. L'étude des CFT débouche sur une compréhension profonde de la théorie des cordes et de la physique de la matière condensée. Dans une CFT, les fonctions de corrélation sont des ingrédients essentiels pour le calcul des observables physiques. En raison de l'existence du développement en produit d'opérateurs (OPE), les fonctions de corrélation conformes peuvent être séparées en parties dynamiques, qui constituent les coefficients de l'OPE ainsi que les dimensions conformes, et en parties cinématiques, appelées les blocs conformes, qui sont complètement fixées par la symétrie conforme. Depuis que le bootstrap conforme a été ravivé en 2008, plusieurs techniques ont été développées pour calculer les blocs conformes à quatre points au cours de la dernière décennie. Contrairement aux blocs à quatre points, les blocs conformes à plus de quatre points, qui sont notoirement difficiles à calculer, n'ont pas encore été étudiés en détail, bien que ces derniers soient utiles pour la mise en œuvre du bootstrap conforme à plusieurs points, tout comme pour l'étude des diagrammes de Witten dans l'espace AdS. Dans cette thèse, en utilisant l'OPE de l'espace de plongement, nous obtenons des expressions pour les blocs conformes scalaires à M points avec des échanges scalaires dans la configuration en peigne, et pour les ceux qui ont six et sept points avec des échanges scalaires dans les configurations en flocon de neige et en flocon de neige étendu. De plus, nous proposons un ensemble de règles de type Feynman pour écrire directement une forme explicite pour tout bloc conforme global en une et deux dimensions. En nous basant sur l'OPE de l'espace de position, nous prouvons les règles de type Feynman par construction. Enfin, après avoir discuté des propriétés de symétrie des blocs conformes, nous développons une méthode systématique pour écrire les équations du bootstrap pour les fonctions de corrélation à plusieurs points. / Conformal field theories (CFTs) play a central role in modern theoretical physics. The study of CFTs leads to a deep understanding of both string theory and condensed matter physics. In a CFT, correlation functions are essential ingredients for the computation of physical observables. Due to the existence of the operator product expansion (OPE), conformal correlation functions can be separated into their dynamical parts, which constitute of the OPE coefficients as well as the conformal dimensions, and their kinematic parts, dubbed the conformal blocks, which are completely fixed by conformal symmetry. Since the conformal bootstrap was revived in 2008, several techniques have been developed to compute the four-point conformal blocks during the last decade. In contrast to the four-point blocks, conformal blocks with more than four points, which are notoriously difficult to compute, have not been studied in great detail, although these higher-point conformal blocks are useful for the implementation of higher-point conformal bootstrap as well as the study of AdS Witten diagrams. In this thesis, by using the embedding space OPE, we obtain expressions for the scalar M-point conformal blocks with scalar exchanges in the comb configuration as well as scalar six- and seven-point conformal blocks with scalar exchanges in the snowflake and extended snowflake configurations. Moreover, we propose a set of Feynman-like rules to directly write down an explicit form for any global conformal block in one and two dimensions. Based on the position space OPE, we prove the Feynman-like rules by construction. Finally, after discussing the symmetry properties of the conformal blocks, we develop a systematical way to write down the bootstrap equations for higher-point correlation functions.

Titre de l'écran-titre (visionné le 29 février 2024) / La théorie quantique des champs (QFT), née de la combinaison entre la mécanique quantique et de la relativité restreinte, est aujourd'hui l'approche la plus fondamentale utilisée en physique théorique. Les théories conformes des champs (CFTs) sont des cas particuliers de QFTs qui possèdent des symétries conformes supplémentaires qui sont très intéressantes puisqu'elles nous permettent de résoudre des CFTs sans avoir recours à leur lagrangien. En effet, elles permettent de fixer complètement la forme des fonctions de corrélation à 2 et 3 points. Pour les fonctions de corrélations à 4 points et plus, le développement en produit d'opérateurs (OPE) est l'un des outils les plus importants, qui nous permet de réécrire le produit de deux champs en une somme d'un champ sur lequel s'applique un opérateur différentiel. L'OPE nous permet de réduire les fonctions de corrélation à plusieurs points en une somme de fonctions de corrélation plus petites dont nous connaissons la forme. Cependant, l'opérateur différentiel apparaissant dans l'OPE est plus facilement utilisable dans l'espace de plongement, qui est un espace à d+2 dimensions, dans lequel l'algèbre conforme vit naturellement et qui simplifie grandement les calculs impliquant l'OPE. Pourtant, il existe peu de résultats analytiques utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement pour calculer les fonctions de corrélations à 4 points non scalaires. Le but de mon projet est de calculer les fonctions de corrélation à 3 points en utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement, afin de mieux comprendre la base de l'OPE dans l'espace de plongement pour éventuellement calculer les fonctions de corrélations à 4 points. Nous avons alors trouvé que les fonctions de corrélations à 3 points s'écrivent comme une somme de fonctions de Gegenbauer, ce qui était effectivement ce à quoi on s'attendait. Cela est la première étape pour trouver la meilleure base de l'OPE pour les fonctions de corrélation à 3 points qui nous permettrait de diagonaliser un ensemble complet d'opérateurs qui commutent puis d'éventuellement obtenir une base d'OPE pour toutes les fonctions de corrélation de théories conformes des champs. / Quantum field theory (QFT), born from the combination of quantum mechanics and special relativity, is today the most fundamental approach used in theoretical physics. Conformal field theories (CFTs) are special cases of QFTs which have additional conformal symmetries which are very interesting since they allow us to solve CFTs without resorting to their Lagrangian. Indeed, they make it possible to completely fix the form of the correlation functions at 2 and 3 points. For correlation functions with 4 points and more, operator product expansion (OPE) is one of the most important tools, which allows us to rewrite the product of two fields into a sum of a field over which applies a differential operator. OPE allows us to reduce multipoint correlation functions to a sum of smaller correlation functions whose form we know. However, the differential operator appearing in the OPE is more easily usable in the embedding space, which is a (d + 2)-dimensional space, in which conformal algebra naturally lives and which greatly simplifies calculations involving the OPE. However, there are few analytical results using the OPE directly in the embedding space to compute nonscalar 4-point correlation functions. The goal of my project is to compute the 3-point correlation functions using the OPE directly in the embedding space, in order to better understand the basis of the OPE in the embedding space to eventually compute the 4-point correlation functions. We have found that the 3-point correlation functions are expressible as a sum of Gegenbauer functions, which was indeed what we expected. This is the first step in finding the best basis of the OPE for the 3-point correlation functions which would allow us to diagonalize a complete set of commuting operators and then eventually obtain a basis of the OPE for all the functions of correlation of conformal field theories.

La théorie des champs conformes est une théorie de champs quantiques obéissant à la symétrie conforme. Elle a trouvé des applications dans l'étude des phénomènes de transition de phases ainsi qu'en théorie des cordes . Étant donnée l'importance de la supersymétrie en théorie des cordes et physique des particules en général, il est dès lors naturel de rechercher des modèles de champs conformes obéissant à la supersymétrie. Dans ce mémoire, une généralisation supersymétrique d'un de ces modèles (la théorie des champs confornles parafermioniques) a ainsi été construite. Il a ensuite été vérifié que ce nouveau modèle respectait bien les contraintes d'associativité. Finalement, des paramètres de la théorie ont été calculés de deux manières différentes afin de s'assurer de la cohérence du modèle.

Cette thèse est divisée en deux parties. La première est consacrée à l'étude des angles de mélange des fermions en Théorie Quantique des Champs (TQC). Nous montrons que, du fait de la non-orthonormalité de ses états propres de masse, la matrice de mélange d'un système non-dégénéré de fermions couplés ne peut pas être considérée comme unitaire ; puis, dans le cadre du Modèle Standard, que les angles de mélange des quarks et des leptons se révèlent compatibles avec une structure précise des courants neutres, où universalité et absence des courants changeant la saveur sont violées avec la même amplitude. Puis nous retrouvons de manière perturbative la non-unitarité de la matrice de mélange par l'annulation des transitions non-diagonales à une boucle entre états propres de masse. Nous étudions enfin les transformations de saveur pertinentes dans cette démarche, et esquissons un lien entre les courants neutres et la matrice de masse considérée habituellement pour des systèmes couplés. La deuxième partie présente les premiers résultats d'une étude générale des contraintes apportées en TQC par les symétries discrètes (parité P, conjugaison de charge C et renversement du temps T) sur le Lagrangien et le propagateur fermioniques. Nous montrons, dans le cas d'une génération, que ces derniers, écrits de la manière la plus générale compatible avec l'invariance de Lorentz, sont naturellement invariants sous le produit PCT, puis que les états propres d'un propagateur invariant sous C sont des fermions de Majorana.

In this thesis, several new aspects of asymptotic symmetries have been exploited.Firstly, we have shown that the asymptotic symmetries can be enhanced tosymplectic symmetries in three dimensional asymptotically Anti-de Sitter (AdS) space-time with Dirichletboundary conditions. Such enhancement providesa natural connection between the asymptotic symmetries in the far region i.e. closeto the boundary) and the near-horizon region, which leads to a consistenttreatment for both cases. The second investigation in three dimensional space-time is to study theEinstein-Maxwell theory including asymptotic symmetries, solutionspace and surface charges with asymptotically flat boundary conditionsat null infinity. This model allows one to illustrate several aspectsof the four dimensional case in a simplified setting. Afterwards, we givea parallel analysis of Einstein-Maxwell theory in the asymptotically AdScase.Another new aspect consists in demonstrating a deep connection between certainasymptotic symmetry and soft theorem. Recently, a remarkable equivalence wasfound between the Ward identity of certain residual (large) U(1) gauge transformations and the leadingpiece of the soft photon theorem. It is well known that the softphoton theorem includes also a sub-leading piece. We have proven thatthe large U(1) gauge transformation responsible for the leading soft factorcan also explain the sub-leading one.In the last part of the thesis, wewill investigate the asymptotic symmetries near the inner boundary. Asa null hypersurface, the black hole horizon can be considered as an innerboundary. The near horizon symmetries create “soft” degrees of freedom. Wehave generalised such argument to isolated horizon and have shown that those “soft” degreesof freedom of an isolated horizon are equivalent to its electric multipolemoments. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

De nombreuses approches à la gravité quantique suggèrent que la description usuelle de l’espace-temps ne serait pas adaptée à la description des phénomènes physiques impliquant à la fois des processus gravitationnels et quantiques. Une meilleure description pourrait consister à munir l’espace-temps d’une structure non-commutative en remplaçant les coordonnées locales sur la variété par des opérateurs ne commutant pas deux-à-deux. Il s’ensuit que le comportement des théories de champs construites sur de tels espaces diffère en général de celui des théories de champs ordinaires. L’étude de ces possibles nouvelles propriétés est l’objet de la théorie non-commutative des champs (TNCC) dont nous étudions certains des aspects.Dans le présent mémoire, nous considérons deux familles d’espaces quantiques dont l’algèbres de coordonnées admet une structure d’algèbre de Lie. La première famille est caractérisée par l’algèbre su(2) et apparait dans le cadre de modèle de gravité quantique en 3 dimensions, ainsi que dans certains modèles de « brane » et de « group field theory ». La seconde famille d’espaces quantiques est connue sous le nom de kappa-Minkowski. L’intérêt de cet espace réside dans le fait qu’il est défini comme l’espace homogène associé à l’algèbre de Hopf de kappa-Poincaré. Cette dernière définit une déformation, à l’échelle de Planck, de l’algèbre de Poincaré et s’avère être étroitement liée à certains modèles de gravité quantique.Afin d’étudier les TNCC, il est commode de représenter l’espace quantique comme une algèbre non-commutative de fonctions munie d’un produit déformé appelé « star-product ». Une façon canonique de construire un tel produit consiste à se servir d’outils d’analyse harmonique et à adapter le schéma de quantification de Weyl (originellement introduit dans le cadre de la mécanique quantique) à l’algèbre considérée. Les expressions de star-product associé aux espaces susmentionnés sont dérivées de manière explicite. Nous montrons en particulier que des familles de star-product inéquivalents peuvent être classifiées par des considérations cohomologiques. Nous étudions enfin les propriétés quantiques de différents modèles de TNCC scalaire quartique construits à l’aide de ces star-product. Dans le cas où l’espace quantique est caractérisé par l’algèbre su(2), nous trouvons que la fonction 2-point est fini à l’ordre une boucle, le paramètre de déformation jouant le rôle d’une coupure ultraviolette et infrarouge. Dans le cas de kappa-Minkowski, nous insistons sur l’invariance sous kappa-Poincaré de l’action fonctionnelle et montrons que certains modèles de TNCC scalaire quartique divergent moins que dans le cas commutatif. Par ailleurs, la fonction 4-point est trouvée finie à l’ordre une boucle. Nos résultats, ainsi que leurs conséquences, sont finalement discutés. / As many theoretical studies point out, the classical description of spacetime, as a continuum, might be no longer adequate to reconcile gravity with quantum mechanics at very high energy (the relevant energy scale being often regarded as the Planck scale). Instead, a more appropriate description could be provided by the data of a noncommutative algebra of coordinate operators replacing the usual commutative local coordinates on smooth manifold. Once the noncommutative nature of spacetime is assumed, it is to expect that the (classical and quantum) properties of field theories on noncommutative background differ from the ones of field theories on classical background. This is the aim of Non-Commutative Field Theory (NCFT) to explore and study these new properties.In the present dissertation, we consider two families of quantum spacetimes of Lie algebra type noncommutativity. The first family is characterised by su(2) noncommutativity and appears in the description of some models of quantum gravity in 3-dimensions. The other family of quantum spacetimes is known in the physics literature as the 4-d kappa-Minkowski space. The importance of this quantum spacetime lies into the fact that its symmetries are provided by the (quantum) kappa-Poincaré algebra (a deformation of the classical Poincaré algebra) together with the fact that the deformation parameter 'kappa', which is of mass dimension, provides a natural energy scale at which the quantum gravity effects may be relevant (and is often regarded as being related to the Planck scale). For these reasons, the kappa-Minkowski space appears as a good candidate for a spacetime to be involved in the description of Doubly Special Relativity and Relative Locality models.To study NCFT it is often convenient to introduce a star product characterising the (noncommutative) C*-algebra of fields modelling the quantum spacetime under consideration. We emphasise that a canonical star product can be obtained by using the group algebraic structures underlying the construction of such Lie algebra type quantum spaces, namely by making use of harmonic analysis on the corresponding Lie group together with the Weyl quantisation scheme. The explicit derivation of such star product for kappa-Minkowski is given. In addition, we show that su(2) Lie algebras of coordinate operators related to quantum spaces with su(2) noncommutativity can be conveniently represented by SO(3)-equivariant poly-differential involutive representations and show that the quantized plane waves obtained from the quantization map action on the usual exponential functions are determined by polar decomposition of operators combined with constraint stemming from the Wigner theorem for SU(2). We finally indicate a convenient way to extend this construction to other semi-simple but non simply connected Lie groups by making use of results from group cohomology with value in an abelian group that would replace the constraints stemming from the simple Wigner theorem.Then, we investigate the quantum properties of various models of interacting scalar field theory on noncommutative background making use of the aforementioned star product formalism to construct physically reasonable expressions for the action functional. Considering quantum spacetime with su(2) noncommutativity, we find that the one-loop 2-point function for complex scalar field theories with quartic interactions is finite, the deformation parameter playing the role of a natural UV cut-off. Special attention is paid to the derivation of the one-loop corrections to both the 2-point and 4-point functions for various models of kappa-Poincaré invariant scalar field theory with quartic interactions. In that case, we show that for some models the 2-point function divergences linearly thus slightly milder than their commutative counterpart, while the one-loop 4-point function is shown to be finite. The results we obtained together with their consequences are finally discussed.

This thesis is devoted to the group-theoretic aspects of three-dimensional quantum gravity on Anti-de Sitter and Minkowskian backgrounds. In particular we describe the relation between unitary representations of asymptotic symmetry groups and gravitational perturbations around a space-time metric. In the asymptotically flat case this leads to BMS particles, representing standard relativistic particles dressed with gravitational degrees of freedom accounted for by coadjoint orbits of the Virasoro group. Their thermodynamics are described by BMS characters, which coincide with gravitational one-loop partition functions. We also extend these considerations to higher-spin theories and supergravity. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished