Parmi les systèmes complexes étudiés en mécanique statistique, les systèmes possédant un comportement critique à l'équilibre thermodynamique jouissent d'un statut particulier. En effet, pour les systèmes à deux dimensions, les techniques de l'invariance conforme ont permis de les caractériser en grand détail. Cette thèse présente l'étude d'un des tous premiers exemples de systèmes statistiques hors équilibre à pouvoir être traité par des méthodes similaires. Le modèle des piles de sable, considéré dans cet ouvrage, est un modèle dynamique introduit fin des années 80 comme prototype de « criticalité auto-organisée ». On entend par ce terme, des systèmes évoluant spontanément vers un état hautement corrélé qui exhibent des propriétés d'échelle similaires à celles du point critique de systèmes statistiques à l'équilibre. L'outil principal permettant de caractériser l'état stationnaire du modèle sur réseau est la correspondance univoque entre les configurations de hauteur du modèle et certains types de graphes appelés « arbres couvrants ». Cette correspondance a été utilisée pour identifier les opérateurs d'échelle correspondant aux observables de hauteur. Il s'avère que ces opérateurs s'organisent en termes de représentations de l'algèbre conforme de charge centrale c = −2 dont la réalisation naturelle est donnée par une théorie quantique de champs fermioniques libres. Bien que les opérateurs d'échelle des observables locales s'expriment en termes de champs de cette réalisation, il a été montré que les observables de hauteur non locales engendrent une nouvelle réalisation inéquivalente de l'algèbre conforme. Le rapprochement entre ces deux domaines de la physique permet non seulement de fournir un cadre nouveau pour l'étude du modèle des piles de sable et accéder ainsi à des propriétés jusque là impossibles à obtenir par la méthode traditionnelle, mais fournit aussi un outil supplémentaire pour l'étude des théories conformes dites logarithmiques qui sont encore mal comprises à ce jour.

Le premier objet de cette thése est de présenter une méthode de résolution pour l'équation de scission modulaire, équation qui permet de déterminer les symétries quantiques d'une théorie de champs conforme. On peut l'utiliser dans le cadre des théories associées aux graphes simplement lacés (les ADE de la famille SU2, ou leurs généralisations) et retrouver ainsi des résultats connus, en particulier la structure des groupoides quantiques associés.<br />Le second objet de cette thése est d'appliquer cette technique dans le cadre plus général des graphes non simplement lacés afin de déterminer les algébres de symétries quantiques correspondantes, et d'explorer leurs propriétés. Plusieurs exemples de ce type sont analysés.

Les systèmes intégrables quantiques ont des propriétés mathématiques qui permettent la détermination exacte de leur spectre énergétique. A partir des équations de Bethe, je présente la relation de Baxter «T-Q». Celle-ci est à l'origine des deux approches que j'ai prioritairement employé dans mes recherches, les deux basés sur des équations intégrales non linéaires, celui de l'ansatz de Bethe thermo- dynamique et celui des équations de Klümper-Batchelor-Pearce-Destri-de Vega. Je montre le chemin qui permet de dériver les équations à partir de certain modèles sur réseau. J'évalue les limites infrarouge et ultraviolet et je discute l'approche numérique. D'autres constantes de mouvement peuvent être établies, ce qui permet un certain contrôle sur les vecteurs propres. Enfin, le modèle d'Hubbard, qui décrit des électrons interagissants sur un réseau, est présenté en relation à la théorie de jauge supersymétrique N = 4. Dans la deuxième partie, je présente un modèle d'évolution darwinienne basé sur les machines de Turing. En faisant évoluer une population d'algorithmes, je peut décrire certains aspects de l'évolution biologique, notamment la transformation entre parties codantes et non-codantes dans un génome ou la présence d'un seuil d'erreur. L'assemblage des protéines oligomériques est un aspect important qui intéresse la majorité des protéines dans une cellule. Le projet «Gemini» que j'ai contribué à créer a pour finalité d'explorer les donnés structuraux des interfaces des dites protéines pour différentier le rôle des acides aminés et déterminer la présence de patterns typiques de certaines géométries.