Nous présentons dans cette thèse deux applications de la correspondance AdS/CFT. La première est l'analyse des propriétés de transport des modes fermioniques dans les théories des champs fortement couplées. Nous étudions en particulier les propriétés de la constante de diffusion du phonino dans N=4 SYM à densité nulle ou finie. Nous trouvons que la constante de diffusion dépend du potentiel chimique et par conséquent qu'elle n'a pas une propriété d'universalité similaire à celle de la viscosité de cisaillement. La deuxième application traite du comportement de l'entropie d'intrication dans des théories qui contiennent des degrés de liberté massifs. Pour identifier les contributions de la masse à l'entropie d'intrication nous l'évaluons dans un système comprenant des branes de saveur et nous identifions certains des termes dépendants de la masse. Nous trouvons que le coefficient du terme logarithmique est différent de celui calculé dans la théorie des champs libre, un résultat qui est qualitativement en accord avec de résultats holographique antérieurs. De plus nous calculons d'autres termes, prédits dans la théorie des champs, mais qui n'ont pas été identifiés auparavant dans un système holographique.

Cette thèse traite des aspects géométriques et d'intégrabilité associés aux modèles de matrices aléatoires. Son but est de présenter diverses applications des modèles de matrices aléatoires allant de la géométrie algébrique aux équations aux dérivées partielles des systèmes intégrables. Ces différentes applications permettent en particulier de montrer en quoi les modèles de matrices possèdent une grande richesse d'un point de vue mathématique. Ainsi, cette thèse abordera d'abord l'étude de la jonction de deux intervalles du support de la densité des valeurs propres au voisinage d'un point singulier. On montrera plus précisément en quoi ce régime limite particulier aboutit aux équations universelles de la hiérarchie de Painlevé II des systèmes intégrables. Ensuite, l'approche des polynômes (bi)-orthogonaux, introduite par Mehta pour le calcul des fonctions de partition, permettra d'énoncer des problèmes de Riemann-Hilbert et d'isomonodromies associés aux modèles de matrices, faisant ainsi le lien avec la théorie de Jimbo-Miwa-Ueno. On montrera en particulier que le cas des modèles à deux matrices hermitiens se transpose à un cas dégénéré de la théorie isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno qui sera alors généralisé. La méthode des équations de boucles avec ses notions centrales de courbe spectrale et de développement topologique permettra quant à elle de faire le lien avec les invariants symplectiques de géométrie algébrique introduits récemment par Eynard et Orantin. Ce dernier point fera également l'objet d'une généralisation aux modèles de matrices non-hermitien (beta quelconque) ouvrant ainsi la voie à la ``géométrie algébrique quantique'' et à la généralisation de ces invariants symplectiques pour des courbes ``quantiques''. Enfin, une dernière partie sera consacrée aux liens étroits entre les modèles de matrices et les problèmes de combinatoire. En particulier, l'accent sera mis sur les aspects géométriques de la théorie des cordes topologiques avec la construction explicite d'un modèle de matrices aléatoires donnant le dénombrement des invariants de Gromov-Witten pour les variétés de Calabi-Yau toriques de dimension complexe trois utilisées en théorie des cordes topologiques. L'étendue des domaines abordés étant très vaste, l'objectif de la thèse est de présenter de façon la plus simple possible chacun des domaines mentionnés précédemment et d'analyser en quoi les modèles de matrices peuvent apporter une aide précieuse dans leur résolution. Le fil conducteur étant les modèles matriciels, chaque partie a été conçue pour être abordable pour un spécialiste des modèles de matrices ne connaissant pas forcément tous les domaines d'application présentés ici. / This thesis deals with the geometric and integrable aspects associated with random matrix models. Its purpose is to provide various applications of random matrix theory, from algebraic geometry to partial differential equations of integrable systems. The variety of these applications shows why matrix models are important from a mathematical point of view. First, the thesis will focus on the study of the merging of two intervals of the eigenvalues density near a singular point. Specifically, we will show why this special limit gives universal equations from the Painlevé II hierarchy of integrable systems theory. Then, following the approach of (bi) orthogonal polynomials introduced by Mehta to compute partition functions, we will find Riemann-Hilbert and isomonodromic problems connected to matrix models, making the link with the theory of Jimbo, Miwa and Ueno. In particular, we will describe how the hermitian two-matrix models provide a degenerate case of Jimbo-Miwa-Ueno's theory that we will generalize in this context. Furthermore, the loop equations method, with its central notions of spectral curve and topological expansion, will lead to the symplectic invariants of algebraic geometry recently proposed by Eynard and Orantin. This last point will be generalized to the case of non-hermitian matrix models (arbitrary beta) paving the way to ``quantum algebraic geometry'' and to the generalization of symplectic invariants to ``quantum curves''. Finally, this set up will be applied to combinatorics in the context of topological string theory, with the explicit computation of an hermitian random matrix model enumerating the Gromov-Witten invariants of a toric Calabi-Yau threefold. Since the range of the applications encountered is large, we try to present every domain in a simple way and explain how random matrix models can bring new insights to those fields. The common element of the thesis being matrix models, each part has been written so that readers unfamiliar with the domains of application but familiar with matrix models should be able to understand it. / Travail réalisé en cotutelle avec l'université Paris-Diderot et le Commissariat à l'Energie Atomique sous la direction de John Harnad et Bertrand Eynard.

La corde topologique établit un contexte dans lequel beaucoup de caractéristiques de la théorie des cordes complète, comme les aspects complémentaires de la description par la surface d'univers et l'espace cible, ou la dualité entre corde ouverte et corde fermée, mènent à des techniques de calcul qui vont au-delà de la théorie perturbative. Ce mémoire résume mes activités de recherche dans ce domaine. La présentation est organisée autour des calculs de la fonction de partition de la corde topologique Z_top basés sur des perspectives diverses sur la corde topologique.

Cette thèse est dédiée à l'étude de la fonction à trois points dans la théorie de jauge super-symétrique (SYM) N=4, dans la limite du grand nombre de couleurs, à l'aide de l'intégrabilité. La théorie de jauge N=4 SYM est invariante conforme au niveau quantique est on pense qu'elle est résoluble exactement. Par la correspondance AdS/CFT, elle est duale à la théorie des cordes de type IIB dans l'espace courbe AdS5× S5. Les fonctions à trois points sont des quantités qui contiennent de l'information essentielle sur la dynamique de la théorie.Nous passons en revue les méthodes déjà existantes et outils de l'intégrabilité qui sont nécessaires pour le calcul de la fonction à trois points. Nous présentons le calcul de la fonction à trois points dans le secteur SU(3), de rang supérieur à un, nous avons utilisé une représentation sous forme de déterminant, qui nous permets de prendre la limite semi-classique. En exploitant la relation entre des chaines de spin à langue portée et la chaine de Heisenberg inhomogène, nous avons développé une nouvelle pur calculer la fonction à trois points dans le secteur SU(2) à l'ordre d'une boucle qui nous permets d'obtenir le résultat dans une forme très compacte. Dans la limite de Frolov-Tseytlin ce résultat est en accord avec celui qu'on obtient au couplage fort.Nous avons exploré des nouvelles formulations de la fonction à trois points. En nous inspirant de la formulation de la théorie des champs des cordes dans la jauge du cone de lumière nous avons construit un vertex de spin, qui est la version de couplage faible du vertex des cordes, pour tous les secteurs à l'ordre des arbres. Cette approche peut être reliée au programme des facteurs de forme pour les théories de champs bi-dimensionnelles intégrables, dont nous rappelons ici les bases. Nous étudions la dépendance dans la taille du système pour une classe spéciale de fonction à trois points qui correspond aux facteurs de forme diagonaux. / This thesis is devoted to the study of three-point functions of N=4 Super-Yang-Mills (SYM) theory in the planar limit by using integrability. N=4 SYM theory is conformal invariant at quantum level and is believed to be completely solvable. By the AdS/CFT correspondence, it is dual to the type IIB superstring theory on the curved background AdS5×S5. The three-point functions are important quantities which contain essential dynamic information of the theory.The necessary tools in integrability and the existing methods of computing three-point functions are reviewed. We compute the three-point functions in the higher rank SU(3) sector and obtain a determinant representation for one special configuration, which allows us to take the semi-classical limit. By exploring the relation between long-range interacting spin chain and inhomogeneous XXX spin chain, we develop a new approach to compute three-point functions in the SU(2) sector at one-loop and obtain a compact result. In the Frolov-Tseytlin limit, this result matches the result at strong coupling.We also explore new formulations of the three-point functions. In one formulation inspired by the light-cone string field theory, we constructed the spin vertex, which is the weak coupling counterpart of the string vertex for all sectors at tree level. Another formulation which is related to the form factor boostrap program in integrable field theory is reviewed. At weak coupling, we study the finite volume dependence of a special type of three-point functions which are related to the diagonal form factors.

La description de l'inflation cosmologique dans le cadre de la physique des hautes énergies motive la construction de scénarios faisant intervenir plusieurs champs scalaires ou/et des actions de type non-standard. Ces scénarios génèrent des fluctuations primordiales dont les déviations à la gaussianité peuvent maintenant être sondées avec une précision intéressante et nous étudions dans cette thèse les signatures observationnelles correspondantes. Nous exposons tout d'abord la théorie relativiste des perturbations cosmologiques ainsi que le mécanisme de genèse de celles-ci pendant l'inflation. Nous dressons ensuite un panorama des différents types de modèles générant d'importantes non-gaussianités primordiales ainsi que des méthodes permettant la détermination de ces-dernières. Nous présentons à cet égard plusieurs applications d'un formalisme dit covariant. Nous traitons ensuite d'un scénario inflationnaire inspiré par la théorie des cordes appelé l'inflation Dirac-Born-Infeld, et notamment de ses aspects multichamps. Nous décrivons enfin les moyens mis en oeuvre pour détecter les effets des non-gaussianités primordiales sur les observables cosmologiques.