Nous étudions dans cette thèse le roulement sans glissement et sans pivotement de deux variétés lisses M et Ṁ l'une sur l'autre de dimensions et n et ṅ respectivement. L'objectif principal est de chercher des conditions nécessaires et suffisantes de la commandabilité du système commandé défini par le roulement. Dans le premier chapitre, on présente les motivations et le plan de la thèse ainsi les notations utilisées le long des chapitres. Dans le deuxième chapitre, on caractérise l'espace d'état du roulement quand M et Ṁ sont des variétés Riemanniennes lorsque n n'est pas nécessairement égal à ṅ et du développement quand M et Ṁ sont des variétés affines munies des connexions affines avec n = ṅ Ainsi, on donne les relèvements et les distributions correspondant aux deux notions précédentes. Le troisième chapitre contient quelques résultats de la commandabilité du système de roulement des variétés Riemanniennes. Plus précisément, on présente les conditions nécessaires de la non-commandabilité du roulement d'une variété Riemannienne 3-dimensionnelle sur une autre 2-dimensionnelle.Le chapitre 4 porte sur le roulement d'une variété Riemannienne de dimension 2 sur une autre de dimension 3. On trouve que la dimension d'une orbite non-ouverte quelconque de l'espace d'état appartient à {2,5,6,7}. Les aspects géométriques de deux variétés sont liés principalement avec le fait que la variété de dimension 3 contient une sous-variété totalement géodésique de dimension 2.Dans le dernier chapitre, on introduit et étudie un concept d'holonomie horizontale associé à un triplet (M,∇,Δ ) avec M variété différentielle connexe, ∇ connection affine complète sur M et Δ distribution complètement commandable. Si H^∇est le groupe d'holonomie associé à Ṁ on considère alors son sous-groupe obtenu uniquement en considérant le transport ∇- parallèle par rapport aux lacets dans M tangents à la distribution Δ On le note H_Δ^∇et on l’appelle groupe d'holonomie horizontal. On prouve que le groupe d'holonomie horizontal H_Δ^∇ est un sous-groupe de Lie de GL(n). Puis, on démontre par un exemple que la fermeture du groupe d'holonomie horizontal restreint (H_Δ^∇ )^0 n'est pas nécessairement égal à H_Δ^∇. A cette fin, on utilise le modèle du roulement avec M un groupe de Carnot homogène munie d'une connexion de Levi-Civita associée à une métrique Riemannienne sur l'espace Euclidien R^n munie de la connexion Euclidienne. / In this thesis, we study the rolling motion without spinning nor slipping of a smooth manifolds M and Ṁ against another of dimensions n and ṅ respectively. The purpose is to find the necessary and sufficient conditions for the controllability issue of the system of rolling. We start by a French review of the principal results of the thesis is included in the introduction. In Chapter 1, we present the motivations of the subject thesis, the structure of the contents and the notations used along the manuscript. The second chapter contain a characterization of the state space of rolling manifolds when M and Ṁ are Riemannian manifolds with n and ṅ are not necessarily equal and of the development of manifolds when M and Ṁ are affine manifolds of dimension n = ṅ equipped with affine connections. We also state the definitions of the lifts and the distributions with respect to the previous notions. The controllability results of the rolling system of Riemannian manifolds is included in Chapter 3. We give all the necessary conditions of the non-controllability of rolling of 3-dimensional Riemannian manifold against 2-dimensional Riemannian manifold. Chapter 4 deals with the rolling of a 2-dimensional Riemannian manifold against a 3-dimensional Riemannian manifold. We prove that the dimension of an arbitrary non-open orbit of the state space belongs to {2,5,6,7}. The geometrical aspects of the two manifolds depend on the existence of a 2-dimensional totally geodesic submanifold in the 3-dimensional manifold. The last chapter introduces and addresses the issue of horizontal holonomy associated to a triple (M,∇,Δ) with M smooth connected manifold, ∇ complete affine connection M and Δ completely controlable distribution over M. If H_Δ^∇. denotes the holonomy group associated with (M,∇) one considers its subgroup obtained by considering only the ∇- parallel transport with respect to loops of M tangent to the distribution Δ This subgroup is denoted by H_Δ^∇ and we call it horizontal holonomy group. We prove that the horizontal holonomy group H_Δ^∇ is a Lie subgroup of GL(n). Then, we show by means of an example that the closure of a restricted horizontal holonomy group on a Riemannian manifold is not necessarily equal to the holonomy group of the Riemannian manifold. To this end, we use the rolling problem of M taken as a step 2 homogeneous Carnot group equipped with the Levi-Civita connection associated to a Riemannian metric onto the Euclidean space R^n equipped with the Euclidean connection.

Nous étudions deux problèmes différents qui ont leur origine dans la théorie du contrôle géométrique. Le Problème I consiste à étendre le concept du groupe d'holonomie horizontale sur une variété affine. Plus précisément, nous considérons une variété connexe lisse de dimension finie M, une connexion affine ∇ avec le groupe d'holonomie H∇ et une distribution lisse ∆ complètement non intégrable. Dans un premier temps, nous définissons le groupe d'holonomie ∆-horizontale H∆∇ comme le sous-groupe de H∇ obtenu par le transport parallèle le long des lacets tangents à ∆. Nous donnons les propriétés élémentaires de H∆∇ et ensuite nous faisons une étude détaillée en utilisant le formalisme de roulement. Il est montré en particulier que H∆∇ est un groupe de Lie. Dans un second temps, nous avons étudié un exemple explicite où M est un groupe de Carnot libre d'ordre 2 avec m ≥ 2 générateurs, et ∇ est la connexion de Levi-Civita associé à une métrique riemannienne sur M. Nous avons montré dans ce cas particulier que H∆∇ est compact et strictement inclus dans H∇ dès que m≥3. Le Problème II étudie la modélisation du problème du solveur d'esquisse. Ce problème est une des étapes d'un logiciel de CFAO. Notre but est d'arriver à une modélisation mathématique bien fondée et systématique du problème du solveur d'esquisse. Il s'agira ensuite de comprendre la convergence de l'algorithme, d'en améliorer les résultats et d'en étendre les fonctionnalités. L'idée directrice de l'algorithme est de remplacer tout d'abord les points de l'espace des sphères par des déplacements (éléments du groupe) et puis d'utiliser une méthode de Newton sur les groupes de Lie ainsi obtenus. Dans cette thèse, nous avons classifié les groupes de déplacements possibles en utilisant la théorie des groupes de Lie. En particulier, nous avons distingué trois ensembles, chaque ensemble contenant un type d'objet: le premier est l'ensemble des points, noté Points , le deuxième est l'ensemble des droites, noté Droites, et le troisième est l'ensemble des cercles et des droites, que nous notons ∧. Pour chaque type d'objet nous avons étudié tous les groupes de déplacements possibles, selon les propriétés souhaitées. Nous proposons finalement d'utiliser les groupes de déplacements suivant: pour le déplacement des points, le groupe des translations, qui agit transitivement sur Points ; pour les droites, le groupe des translations et rotations, qui est de dimension 3 et agit transitivement (globalement mais pas localement) sur Droites ; sur les droites et cercles, le groupe des anti-translations, rotations et dilatations qui est de dimension 4 et agit transitivement (globalement mais pas localement) sur ∧. / We study two problems arising from geometric control theory. The Problem I consists of extending the concept of horizontal holonomy group for affine manifolds. More precisely, we consider a smooth connected finite-dimensional manifold M, an affine connection ∇ with holonomy group H∇ and ∆ a smooth completely non integrable distribution. We define the ∆-horizontal holonomy group H∆∇ as the subgroup of H∇ obtained by ∇-parallel transporting frames only along loops tangent to ∆. We first set elementary properties of H∆∇ and show how to study it using the rolling formalism. In particular, it is shown that H∆∇ is a Lie group. Moreover, we study an explicit example where M is a free step-two homogeneous Carnot group with m≥2 generators, and ∇ is the Levi-Civita connection associated to a Riemannian metric on M, and show in this particular case that H∆∇ is compact and strictly included in H∇ as soon as m≥3. The Problem II is studying the modeling of the problem of solver sketch. This problem is one of the steps of a CAD/CAM software. Our goal is to achieve a well founded mathematical modeling and systematic the problem of solver sketch. The next step is to understand the convergence of the algorithm, to improve the results and to expand the functionality. The main idea of the algorithm is to replace first the points of the space of spheres by displacements (elements of the group) and then use a Newton's method on Lie groups obtained. In this thesis, we classified the possible displacements of the groups using the theory of Lie groups. In particular, we distinguished three sets, each set containing an object type: the first one is the set of points, denoted Points, the second is the set of lines, denoted Lines, and the third is the set of circles and lines, we note that ∧. For each type of object, we investigated all the possible movements of groups, depending on the desired properties. Finally, we propose to use the following displacement of groups for the displacement of points, the group of translations, which acts transitively on Lines ; for the lines, the group of translations and rotations, which is 3-dimensional and acts transitively (globally but not locally) on Lines ; on lines and circles, the group of anti-translations, rotations and dilations which has dimension 4 and acts transitively (globally but not locally) on ∧.