Dans ce travail nous nous intéressons à la géométrie de l’espace de Teichmüller via la longueur extrémale et à sa relation avec d’autres géométries. En effet, via le théorème d’uniformisation de Poincaré, l’espace de Teichmüller d’une surface orientable de type finie est un espace qui “classifie” aussi bien les structures hyperboliques de cette surface que les structures conformes. Suivant la classification utilisée, on obtient deux compactifications différentes de cet espace, qui sont respectivement la compactification de Thurston et la compactification de Gardiner-Masur. La première étant induite par la longueur hyperbolique et la deuxième par la longueur extrémale. Dans une première partie, on considère les compactifications dites “réduites” de Thurston et Gardiner-Masur. On montre qu’il existe une bijection naturelle entre les deux et que le groupe des auto-homéomorphismes du bord réduit de Thurston est canoniquement isomorphe au groupe modulaire étendu de la surface sous-jacente. Dans une deuxième partie, on étudie la convergence de certaines déformations de structures conformes aussi bien sur le bord de Thurston que sur celui de Gardiner-Masur. Ces déformations, appelées déformations horocycliques, sont un analogue des tremblements de terre de structures hyperboliques. Enfin, dans une troisième et dernière partie, on introduit une compactification à la Gardiner-Masur de l’espace de Teichmüller d’une surface à bord. On généralise des résultats obtenus dans le cas sans bord, et on établit quelques différences. / In this thesis we are interested in the extremal length geometry of Teichmüller space and the links with other geometries. In particular, we work on two different compactifications of Teichmüller space, namely, the Thurston compactification and the Gardiner-Masur compactification. In the first part, we consider the so-called reduced compactifications of Thurston and Gardiner-Masur. We show that there exists a canonical bijection between them and that the group of self-homeomorphisms of the reduced Thurston boundary is canonicaly isomorphic (except for a few cases) to the extended mapping class group of the corresponding surface. In the second part, we study the asymptotic behaviour of some conformal structure deformations to the Thuston boundary and to the Gardiner-Masur boundary. These deformations are called horocyclic deformations and they are analogous to earthquakes of hyperbolic structures. Finally, in the last part, using extremal length we extend the notion of Gardiner-Masur compactification to surfaces with non-empty boundary, and we investigate differences with the case without boundary.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des compactifications géométriques variées. Nous décrivons l'espace des sous-groupes fermés du groupe RxZ. Nous étudions la compactification de Chabauty des espaces symétriques de type non compact. Nous définissons et étudions la compactification de Chabauty de l'espace des plats maximaux des espaces symétriques de SL3(R) et de SL4(R). Nous étudions les limites géométriques de plats maximaux de l'espace symétrique ou de l'immeuble de Bruhat-Tits associé à SL3 sur un corps local. Nous définissons et étudions une compactification à la Thurston des espaces de classes d'isométrie de réseaux marqués. Nous définissons une compactification à la Thurston de l'espace de Torelli d'une surface et nous décrivons la stratification naturelle d'une partie de son bord. / In our thesis, we focus on various geometric compactifications. We describe the space of closed subgroups of RxZ. We study the Chabauty compactification of symmetric spaces of non-compact type. We define and study the Chabauty compactification of the space of maximal flats of the symmetric spaces of SL3(R) and SL4(R). We study the geometric limits of maximal flats in the symmetric space or in the Bruhat-Tits building associated to SL3 over a local field. We define and study a Thurston-like compactification of spaces of isometry classes of marked lattices. We define a Thurston-like compactification of the Torelli space of a surface and we describe the natural stratification of a subset of the boundary.