Structures conveying mass lose stability once the mass exceeds a certain critical velocity. The type of instability observed depends on the nature of the supports that the structure has. If the structure (beam or pipe) is cantilevered (thereby deeming it a nonconservative system), “garden-hose-like” flutter instability is observed once a critical velocity is exceeded. When studying the flutter instability of a cantilevered pipe (including shear deformation) by strictly a linear theory, it has been demonstrated through numerical integration that the values of the critical velocity are only valid for small values of the mass ratio (mass of the fluid divided by the total mass) (approximately 0.1 &#946;< ). This fact is also true if shear deformation is neglected. Also, linear theory predicts the pipe to oscillate unboundedly as time progresses, which is physically impossible. Therefore, shortly after the pipe goes unstable, the linear theory is no longer applicable. If non-linear terms are taken into account from the beginning, it can be shown that the pipe oscillates into a limit cycle.

In this study, a vector form intrinsic finite element (VFIFE) is derived and applied to study both the static and dynamic responses of deep short beams under dynamic loadings. It is already known that the application of classical beam theory known as Euler¡¦s beam theory to beams with large ratio of D/L (depth/span larger than 1/4), a short-deep beam, may not necessarily obtain satisfactory results for the stress analysis of the beam. One of the main presumptions from the classical Euler¡¦s beam theory is that the plane of the cross-section remains plane and normal to the neutral axis of the beam after deformation. This presumption is no more true when the beam subject to loadings is a short-deep beam because the bending stress is no longer a dominant stress while the other secondary effects may have more severe influences on the mechanical behavior of the beam. This study by utilizing the vector form intrinsic finite element method (VFIFE) to derive a new element for the Timoshenko beam provides an alternative method for the analysis of a short-deep beam, particularly, subject to dynamic loadings. By taking the advantage of the VFIFE that is a time-saving scheme for the dynamic analysis, the element of Timoshenko-beam is derived along with the dynamic solution procedure. The motions in transverse direction and the rotation at each node of the beam are calculated and presented into figures. The results from numerical analysis are also verified with theoretical solution (exact analytical solution) and further compared to the results obtained from traditional finite element method.

Este trabalho faz um estudo das vibrações em um nanotubo de carbono com paredes duplas, sob a influência de forças intermoleculares. É considerado o modelo estrutural da viga de Timoshenko sujeito ao efeito de van der Waals. As amplitudes na análise modal são determinadas através da resolução de um problema de autovalor com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais de quarta ordem que dependem não-linearmente do autovalor. A formulção matricial utiliza a base gerada pela função de Green matricial de valor inicial. Esta função depende da resolução de um problema de valor incial com uma equação diferencial escalar de oitava ordem. São apresentados os métodos de Clenshaw e Urabe para a resolução aproximada com o uso de expansão em série com os polinômios de Chebyshev. / This work makes a study of the vibrations in a double-walled carbon nanotube, under the influence of intermolecular forces. It is considered the structural model of the Timoshenko beam of subject to the effect of van der Waals. The amplitudes in modal analysis are determined by solving an eigenvalue problem with a second-order linear differential equation whose matrix coefficients re of fourth-order and depend non-linearly upon the eigenvalue. The matrix formulation employs a basis generated by the initial value Green matrix function. This function depends on resolution of an initial value problem with an eight-order scalar differential equations. The methods of of Clenshaw and Urabe are presented for the approximate solving with the use of series expansions with the polynomials of Chebyshev.

Este trabalho faz um estudo das vibrações em um nanotubo de carbono com paredes duplas, sob a influência de forças intermoleculares. É considerado o modelo estrutural da viga de Timoshenko sujeito ao efeito de van der Waals. As amplitudes na análise modal são determinadas através da resolução de um problema de autovalor com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais de quarta ordem que dependem não-linearmente do autovalor. A formulção matricial utiliza a base gerada pela função de Green matricial de valor inicial. Esta função depende da resolução de um problema de valor incial com uma equação diferencial escalar de oitava ordem. São apresentados os métodos de Clenshaw e Urabe para a resolução aproximada com o uso de expansão em série com os polinômios de Chebyshev. / This work makes a study of the vibrations in a double-walled carbon nanotube, under the influence of intermolecular forces. It is considered the structural model of the Timoshenko beam of subject to the effect of van der Waals. The amplitudes in modal analysis are determined by solving an eigenvalue problem with a second-order linear differential equation whose matrix coefficients re of fourth-order and depend non-linearly upon the eigenvalue. The matrix formulation employs a basis generated by the initial value Green matrix function. This function depends on resolution of an initial value problem with an eight-order scalar differential equations. The methods of of Clenshaw and Urabe are presented for the approximate solving with the use of series expansions with the polynomials of Chebyshev.

Este trabalho faz um estudo das vibrações em um nanotubo de carbono com paredes duplas, sob a influência de forças intermoleculares. É considerado o modelo estrutural da viga de Timoshenko sujeito ao efeito de van der Waals. As amplitudes na análise modal são determinadas através da resolução de um problema de autovalor com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais de quarta ordem que dependem não-linearmente do autovalor. A formulção matricial utiliza a base gerada pela função de Green matricial de valor inicial. Esta função depende da resolução de um problema de valor incial com uma equação diferencial escalar de oitava ordem. São apresentados os métodos de Clenshaw e Urabe para a resolução aproximada com o uso de expansão em série com os polinômios de Chebyshev. / This work makes a study of the vibrations in a double-walled carbon nanotube, under the influence of intermolecular forces. It is considered the structural model of the Timoshenko beam of subject to the effect of van der Waals. The amplitudes in modal analysis are determined by solving an eigenvalue problem with a second-order linear differential equation whose matrix coefficients re of fourth-order and depend non-linearly upon the eigenvalue. The matrix formulation employs a basis generated by the initial value Green matrix function. This function depends on resolution of an initial value problem with an eight-order scalar differential equations. The methods of of Clenshaw and Urabe are presented for the approximate solving with the use of series expansions with the polynomials of Chebyshev.

Considerando uma viga uniforme do tipo Timoshenko com condições de contorno livre-livre, Geist e McLaughlin em [8]apresentam uma condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas. Esta condição foi obtida usando a formulação espectral, método clássico encontrado na literatura, para as equações de quarta ordem desacopladas do modelo de Timoshenko. O método clássico requer a obtenção de um vetor constante com oito componentes para que a solução deste modelo seja conhecida. Segundo Claeyssen [2], [3], [4], [5], [6], a solução do modelo de Timoshenko pode ser obtida usando a base dinâmica gerada por uma resposta impulso-matricial fundamental. Este método permite encontrar a solução do modelo de Timoshenko usando as equações de segunda ordem acopladas. Além disso, para que a solução seja conhecida é necessário obter um vetor constante com quatro componentes. O objetivo deste trabalho é estudar a condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas, apresentada por Geist e McLaughlin, para uma viga uniforme do tipo timoshenko com condições de contorno livre-livre e verificar se é possível obter esta mesma condição quando é utilizada a base dinâmica para obter a solução deste modelo.

Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

Considerando uma viga uniforme do tipo Timoshenko com condições de contorno livre-livre, Geist e McLaughlin em [8]apresentam uma condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas. Esta condição foi obtida usando a formulação espectral, método clássico encontrado na literatura, para as equações de quarta ordem desacopladas do modelo de Timoshenko. O método clássico requer a obtenção de um vetor constante com oito componentes para que a solução deste modelo seja conhecida. Segundo Claeyssen [2], [3], [4], [5], [6], a solução do modelo de Timoshenko pode ser obtida usando a base dinâmica gerada por uma resposta impulso-matricial fundamental. Este método permite encontrar a solução do modelo de Timoshenko usando as equações de segunda ordem acopladas. Além disso, para que a solução seja conhecida é necessário obter um vetor constante com quatro componentes. O objetivo deste trabalho é estudar a condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas, apresentada por Geist e McLaughlin, para uma viga uniforme do tipo timoshenko com condições de contorno livre-livre e verificar se é possível obter esta mesma condição quando é utilizada a base dinâmica para obter a solução deste modelo.

Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

Considerando uma viga uniforme do tipo Timoshenko com condições de contorno livre-livre, Geist e McLaughlin em [8]apresentam uma condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas. Esta condição foi obtida usando a formulação espectral, método clássico encontrado na literatura, para as equações de quarta ordem desacopladas do modelo de Timoshenko. O método clássico requer a obtenção de um vetor constante com oito componentes para que a solução deste modelo seja conhecida. Segundo Claeyssen [2], [3], [4], [5], [6], a solução do modelo de Timoshenko pode ser obtida usando a base dinâmica gerada por uma resposta impulso-matricial fundamental. Este método permite encontrar a solução do modelo de Timoshenko usando as equações de segunda ordem acopladas. Além disso, para que a solução seja conhecida é necessário obter um vetor constante com quatro componentes. O objetivo deste trabalho é estudar a condição necessária e suficiente que garante a existência de freqüências naturais duplas, apresentada por Geist e McLaughlin, para uma viga uniforme do tipo timoshenko com condições de contorno livre-livre e verificar se é possível obter esta mesma condição quando é utilizada a base dinâmica para obter a solução deste modelo.