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Ces dernières années, la physique de la matière condensée a connu une profonde révolution de concepts par la découverte de nombreuses phases de la matière qui ne sont pas classifiables à la Landau, c’est à dire par leur groupe de symétrie. Si les premiers travaux remontent à ceux des effets Hall quantiques (entier et fractionnaire), ce n’est que récemment, avec l’avènement du graphène et des isolants topologiques que les physiciens ont réalisé que ces phases de la matière ne nécessitent, dans l’absolu, ni champ magnétique, ni basse température, par opposition aux effets Hall quantiques précédemment cités. Ces nouveaux états de la matière sont caractérisés non pas par la géométrie du problème mais plutôt par la topologie. Ici donc, la forme précise du spectre électronique n’est pas importante, seules certaines caractéristiques, comme la présence ou l’absence d’un gap, le sont. De manière similaire à la classification de Landau des groupes de symétries, il est possible de classifier ces nouveaux systèmes par l’intermédiaire de groupes topologiques. La branche mathématique invoquée est celle de la topologie algébrique. A travers les invariants qu’elle génère, il est possible de classer les états topologiquement non-triviaux. De plus, les transitions entre des états à topologies distinctes sont aussi accessibles par cette théorie. Les travaux réalisés dans le cadre de cette thèse s’intéressent aux effets topologiques dans la structure de bandes de matériaux bi-dimensionnels. Après une présentation du formalisme mathématique général, un premier chapitre s’intéressera à la topologie locale, c’est à dire pour une portion restreinte de la première zone de Brillouin, des points de croisements de bandes, dits points de Dirac. Un effort sera porté vers la classification de ces systèmes et des transitions associées. Le chapitre suivant mettra en lumière un moyen efficace de mesurer les effets de la topologie des électrons en deux dimensions. Il s’agit de l’étude des niveaux de Landau qui résultent de l’application d’un champ magnétique 5transverse au plan des électrons. Les points de Dirac se transmutent alors en niveaux à énergie nulle topologiquement stables, c’est à dire peu ou pas influencés par les diverses perturbations. L’étude des différents modèles justifiera la discrimination entre la physique à champ magnétique faible et celle à champ magnétique fort, faible ou fort étant très dépendant du système étudié. Enfin, dans un dernier chapitre plus prospectif on s’intéressera à la topologie globale, c’est à dire pour l’ensemble de la première zone de Brillouin. Ce type d’étude est surtout caractérisé par l’existence d’états de bords robustes. On en fera l’expérience d’une double manière. D’abord par l’étude un modèle à un électron, puis par celle d’un système en forte interaction de N électrons. A travers les différents exemples étudiés, on s’attachera à démontrer la puissance de l’outil topologique pour les problèmes de la matière condensée, phénomène qui devrait s’accentuer les prochaines années. / During the last few decades, condensed matter physics has witnessed a deep refoundation of its paradigms, through the discovery of many systems that the usual symmety classification à la Landau cannot handle properly. Although the first major breaktroughs were realized at the time of discovery of integer and fractional quantum Hall effects, only recently physicists have agreed that these peculiar phases of matter require neither a magnetic field nor low temperature. Those new states of matter cannot be caracterized by the geometric aspects of the model but rather by topological ones. The precise shape of the electronic spectrum is no longer relevant, but only particular features are, such as the presence or the absence of a gap. Similarly to the Landau classification scheme, one can achieve a construction through extensive use of topological groups. This is the realm of algebraic topology. Related generated topological invariants can hold a classification of non-trivial topological states, as well as of the accompanying transitions. This thesis focusses on peculiar topological features of two-dimesnsional electronic band structures. After a technical introduction to the underlying formalism, the first chapter is devoted to local topology, that is for a restricted piece of the first Brillouin zone, of band crossing points, also known as Dirac points. Special care is taken to classify these points and related transitions. The next chapter sheds some light on a particularly efficent way of measuring topology for two-dimensional electrons. This is achieved through measurements of Landau levels that are generated by a magnetic field applied perpendicular to a plane. Dirac points then generate zero Landau levels that are topologically stable, i.e. almost not influenced by perturbations at all. Distinctions between low and high magnetic fields will prove to be relevant, although very system-dependant. Through the several models studied, we particularly stress out the importance of the topological tool for condensed matter physics, past present... and future.

In this thesis we prove homological stability for both general linear groups of modules over a ring with finite stable rank and unitary groups of quadratic modules over a ring with finite unitary stable rank. In particular, we do not assume the modules and quadratic modules to be well-behaved in any sense: for example, the quadratic form may be singular. This extends results by van der Kallen and Mirzaii--van der Kallen respectively. Combining these results with the machinery introduced by Galatius--Randal-Williams to prove homological stability for moduli spaces of simply-connected manifolds of dimension $2n \geq 6$, we get an extension of their result to the case of virtually polycyclic fundamental groups. We also prove the corresponding result for manifolds equipped with tangential structures. A result on the stable homology groups of moduli spaces of manifolds by Galatius--Randal-Williams enables us to make new computations using our homological stability results. In particular, we compute the abelianisation of the mapping class groups of certain $6$-dimensional manifolds. The first computation considers a manifold built from $\mathbb{R} P^6$ which involves a partial computation of the Adams spectral sequence of the spectrum ${MT}$Pin$^{-}(6)$. For the second computation we consider Spin $6$-manifolds with $\pi_1 \cong \mathbb{Z} / 2^k \mathbb{Z}$ and $\pi_2 = 0$, where the main new ingredient is an~analysis of the Atiyah--Hirzebruch spectral sequence for $MT\mathrm{Spin}(6) \wedge \Sigma^{\infty} B\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}_+$. Finally, we consider the similar manifolds with more general fundamental groups $G$, where $K_1(\mathbb{Q}[G^{\mathrm{ab}}])$ plays a role.