Le résultat principal contenu dans cette thèse est la résolution explicite de l'équation d'Abreu pour les quadrilatères convexes étiquetés dont la fonction affine extrémale est équiposée (ceci inclut le cas où cette fonction est constante), confirmant ainsi la conjecture de Donaldson dans ce cas. De plus, nous donnons une classification des orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 admettant une métrique kahlérienne torique compatible avec une 2-forme hamiltonienne non triviale, en termes de classes d'équivalence de quadrilatères convexes étiquetés. Ces résultats conduisent à une classification explicite des métriques toriques extrémales admettant une 2-forme hamiltonienne non triviale sur les orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 (excluant le cas des projectifs à poids, déjà traité par Apostolov, Calderbank, Gauduchon et Tønnesen-Friedman, 2004). Ceci inclut une classification des métriques toriques faiblement Bochner-plates. Comme application, nous obtenons aussi qu'un orbifold symplectique torique dont le polytope moment est un quadrilatère et dont l'invariant de Futaki est nul admet une métrique kahlérienne torique compatible, explicitement donnée via deux polynômes de degré au plus 3, et dont la courbure scalaire est constante. Nous donnons également des familles explicites d'orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 admettant une métrique extrémale, à courbure scalaire constante, faiblement Bochner-plate ou Kahler-Einstein, ainsi que des familles explicites d'orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 instables, n'admettant pas de métrique extrémale. Dans le cas sasakien torique, nous dégageons une fonctionnelle, définie sur le cône des champs de Reeb, dont les points critiques sont les champs de Reeb induisant un polytope caractéristique ayant une fonction affine extrémale constante (i.e d'invariant de Futaki transverse-restreint à l'algèbre de Lie du tore-nul). En étudiant cette fonctionnelle, nous obtenons l'existence de tels champs de Reeb sur toute variété de contact compacte torique co-orientée. En raffinant nos calculs en dimension 5, nous en déduisons l'existence d'une métrique sasakienne compatible à courbure scalaire constante sur toute variété de contact compacte torique co-orientée de dimension 5, dont le cône moment a 4 facettes. Finalement, nous exhibons une famille à un paramètre rationnel de structures de contact toriques (bien connues) sur S2 X S3, chacune admettant deux métriques (de même volume) toriques, compatibles et non isométriques. À notre connaissance, ceci constitue le premier exemple connu de non unicité de métriques extrémales sasakiennes compatibles avec la même structure de contact. Les résultats principaux de cette thèse ont donné lieu aux deux articles (Legendre, b) et (Legendre, a). ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : structures kählériennes toriques et sasakiennes toriques, structures kählériennes et sasakiennes extrémales, 2-formes hamiltoniennes, structures orthotoriques, métriques à courbure scalaire constante, équation d'Abreu, polytopes étiquetés, bons cônes.