L'objectif principal de notre étude est de développer des algorithmes rapides pour une conception optimale et une implantation de très faible complexité des filtres numériques. Le critère d'optimisation choisi est celui de la minimisation de l'erreur quadratique moyenne. Ainsi, nous avons étudié et développé de nouveaux algorithmes de synthèse des filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) associés aux deux techniques de filtrage par blocs, overlap-save (OLS) et overlap-add (OLA). Ces deux techniques de filtrage RIF consistent à traiter le signal par blocs au moyen de la transformée de Fourier rapide (TFR) et permettent ainsi de réduire la complexité arithmétique des calculs de convolution. Les algorithmes que nous avons proposés sont basés sur le développement du modèle matriciel des structures OLS et OLA et sur l'utilisation des propriétés de l'algèbre linéaire, en particulier celles des matrices circulantes. Pour réduire davantage la complexité et la distorsion de filtrage, nous avons approfondi les bases mathématiques de la transformée en nombres de Fermat (FNT : Fermat Number Transform) qui est amenée à trouver des applications de plus en plus diverses en traitement du signal. Cette transformée, définie sur un corps de Galois d'ordre égal à un nombre de Fermat, est un cas particulier des transformées en nombres entiers (NTT : Number Theoretic Transform). Comparé à la TFR, la FNT permet un calcul sans erreur d'arrondi ainsi qu'une large réduction du nombre de multiplications nécessaires à la réalisation du produit de convolution. Pour mettre en évidence cette transformée, nous avons proposé et étudié une nouvelle conception des filtres blocs OLS et OLA mettant en oeuvre la FNT. Nous avons ensuite développé un algorithme de très faible complexité pour la synthèse du filtre optimal en utilisant les propriétés des matrices circulantes que nous avons développées dans le corps de Galois. Les résultats de l'implantation en virgule fixe du filtrage par blocs ont montré que l'utilisation de la FNT à la place de la TFR permettra de réduire la complexité et les erreurs de filtrage ainsi que le coût de synthèse du filtre optimal.

Le principal objectif de notre étude est d'évaluer la possibilité d'un développement en temps réel d'un système d'annulation d'écho acoustique. Pour réduire le coût de calcul de ce système, nous avons approfondi les bases mathématiques de la transformée en nombres entiers (NTT : Number Theoretic Transform) qui est amenée à trouver des applications de plus en plus diverses en traitement du signal. Nous avons introduit plus particulièrement la transformée en nombres de Fermat (FNT : Fermat Number Transform) qui permet une réduction, par rapport à la FFT (Fast Fourier Transform), des nombres de multiplications nécessaires à la réalisation de certaines fonctions telles que les produits de convolution. Pour mettre en évidence cette transformée, nous avons proposé et étudié de nouveaux algorithmes d'annulation d'écho de faible complexité que nous avons traités par blocs et rendus robustes avant de les implanter au moyen de la FNT. Le résultat de cette implantation, comparée à une implantation par la FFT, a montré une forte réduction du nombre de multiplications accompagnée d'une augmentation du nombre d'opérations classiques. Pour réduire cette augmentation, nous avons proposé une nouvelle technique de la transformée, intitulée Generalized Sliding FNT (GSFNT). Celle-ci consiste à calculer la FNT d'une succession de séquences qui diffèrent d'un certain nombre d'échantillons l'une de l'autre. Le résultat des simulations des performances de ces algorithmes d'annulation d'écho, traités au moyen de cette technique, a montré que celle-ci permet de pallier à l'augmentation du nombre d'opérations classiques observée lors d'une implantation en FNT. Enfin, l'implantation des algorithmes d'annulation d'écho en FNT et par une nouvelle procédure de l'algorithme MDF (Multi-Delay Filter ) associée à la nouvelle méthode de calcul du pas d'adaptation, a permis une réduction significative de la complexité de calcul.