L’objectif de cette thèse est d’étudier la propagation des ondes acoustiques dans un milieu à double porosité. La caractérisation analytique des modes de vibration d’une plaque à double porosité a été mise en évidence. L’étude théorique a été validée par des mesures ultrasonores expérimentales, sur deux matériaux granulaires à double porosité et des billes de verre à simple porosité, via la détermination d’un coefficient de comparaison théorie-expérience. Ces mesures ont également permis la détection des quatre ondes se propageant dans un matériau à double porosité. Un dispositif expérimental a été développé dans le but de caractériser le phénomène de colmatage qui affecte les milieux poreux lorsqu’ils sont traversés par un fluide chargé de matières en suspension. Ce phénomène affecte par exemple les filtres utilisés dans la clarification des eaux sales. La méthode ultrasonore non destructive a été combinée avec la méthode destructive généralement utilisée dans les laboratoires, pour le suivi du dépôt dans le temps et dans l’espace des trois milieux poreux soumis à l’injection de solutions turbides pendant une longue durée. Des corrélations entre les propriétés acoustiques (vitesse de phase et énergie du signal transmis) et la variation de la porosité du milieu en conséquence du dépôt sont obtenues. L’ensemble des résultats montre un bon accord entre les deux méthodes. / The aim of this thesis is to study the propagation of acoustic waves in a double porosity medium. The analytical characterization of the vibration modes of a double porosity plate has been studied. The theoretical study was validated by experimental ultrasonic measurements, on two granular materials with double porosity and single porosity glass beads, by the determination of a theory-experiment comparison coefficient. These measurements also allowed the detection of the four waves propagating in a double porosity medium. An experimental device has been developed for the purpose of characterizing the clogging phenomenon which affects the porous media when traversed by a fluid loaded with suspended particles. This phenomenon affects for example the filters used in the clarification of dirty waters. The non-destructive ultrasonic method was combined with the destructive method generally used in laboratories, for monitoring the deposition in time and space of the three porous media subjected to the injection of turbid solutions for a long time. Correlations between the acoustic properties (phase velocity and energy of the transmitted signal) and the variation of the porosity of the medium as a consequence of the deposition are obtained. All results show a good agreement between the two methods.

Dans ce travail, nous avons introduit le concept sous-jacent de PUFEM et la formulation de base lié à l'équation de Helmholtz dans un domaine borné. Le processus d'enrichissement de l'onde plane de variables PUFEM a été montré et expliqué en détail. L'idée principale est d'inclure une connaissance a priori sur le comportement local de la solution dans l'espace des éléments finis en utilisant un ensemble de fonctions d'onde qui sont des solutions aux équations aux dérivées partielles. Dans cette étude, l'utilisation des ondes planes se propageant dans différentes directions a été favorisée car elle conduit à des algorithmes de calcul efficaces. En outre, nous avons montré que le nombre de directions d'ondes planes dépend de la taille de l'élément PUFEM et la fréquence des ondes à la fois en 2D et 3D. Les approches de sélection de ces ondes planes sont également illustrés. Pour les problèmes 3D, nous avons étudié deux systèmes de distribution des directions d'ondes planes qui sont la méthode du cube discrétisé et la méthode de la force de Coulomb. Il a été montré que celle-ci permet d'obtenir des directions d'onde espacées de façon uniforme et permet d'obtenir un nombre arbitraire d'ondes planes attachées à chaque noeud de l'élément de PUFEM, ce qui rend le procédé plus souple.Dans le chapitre 3, nous avons étudié la simulation numérique des ondes se propageant dans deux dimensions en utilisant PUFEM. La principale priorité de ce chapitre est de venir avec un schéma d'intégration exacte (EIS), résultant en un algorithme d'intégration rapide pour le calcul de matrices de coefficients de système avec une grande précision. L'élément 2D PUFEM a ensuite été utilisé pour résoudre un problème de transmission acoustique impliquant des matériaux poreux. Les résultats ont été vérifiés et validés par la comparaison avec des solutions analytiques. Les comparaisons entre le régime exact d'intégration (EIS) et en quadrature de Gauss ont montré le gain substantiel offert par l'EIE en termes de temps CPU.Une 3D exacte Schéma d'intégration a été présenté dans le chapitre 4, afin d'accélérer et de calculer avec précision (jusqu'à la précision de la machine) des intégrales très oscillatoires découlant des coefficients de la matrice de PUFEM associés à l'équation 3D Helmholtz. Grâce à des tests de convergence, un critère de sélection du nombre d'ondes planes a été proposé. Il a été montré que ce nombre ne pousse que quadratiquement avec la fréquence qui donne lieu à une réduction drastique du nombre total de degrés de libertés par rapport au FEM classique. Le procédé a été vérifié pour deux exemples numériques. Dans les deux cas, le procédé est représenté à converger vers la solution exacte. Pour le problème de la cavité avec une source de monopôle située à l'intérieur, nous avons testé deux modèles numériques pour évaluer leur performance relative. Dans ce scénario, où la solution exacte est singulière, le nombre de directions d'onde doit être choisie suffisamment élevée pour faire en sorte que les résultats ont convergé.Dans le dernier chapitre, nous avons étudié les performances numériques du PUFEM pour résoudre des champs sonores intérieurs 3D et des problèmes de transmission d'ondes dans lequel des matériaux absorbants sont présents. Dans le cas particulier d'un matériau réagissant localement modélisé par une impédance de surface. Un des critères d'estimation d'erreur numérique est proposé en considérant simplement une impédance purement imaginaire qui est connu pour produire des solutions à valeur réelle. Sur la base de cette estimation d'erreur, il a été démontré que le PUFEM peut parvenir à des solutions précises tout en conservant un coût de calcul très faible, et seulement environ 2 degrés de liberté par longueur d'onde ont été jugées suffisantes. Nous avons également étendu la PUFEM pour résoudre les problèmes de transmission des ondes entre l'air et un matériau poreux modélisé comme un fluide homogène équivalent. / In this work, we have introduced the underlying concept of PUFEM and the basic formulation related to the Helmholtz equation in a bounded domain. The plane wave enrichment process of PUFEM variables was shown and explained in detail. The main idea is to include a priori knowledge about the local behavior of the solution into the finite element space by using a set of wave functions that are solutions to the partial differential equations. In this study, the use of plane waves propagating in various directions was favored as it leads to efficient computing algorithms. In addition, we showed that the number of plane wave directions depends on the size of the PUFEM element and the wave frequency both in 2D and 3D. The selection approaches for these plane waves were also illustrated. For 3D problems, we have investigated two distribution schemes of plane wave directions which are the discretized cube method and the Coulomb force method. It has been shown that the latter allows to get uniformly spaced wave directions and enables us to acquire an arbitrary number of plane waves attached to each node of the PUFEM element, making the method more flexible.In Chapter 3, we investigated the numerical simulation of propagating waves in two dimensions using PUFEM. The main priority of this chapter is to come up with an Exact Integration Scheme (EIS), resulting in a fast integration algorithm for computing system coefficient matrices with high accuracy. The 2D PUFEM element was then employed to solve an acoustic transmission problem involving porous materials. Results have been verified and validated through the comparison with analytical solutions. Comparisons between the Exact Integration Scheme (EIS) and Gaussian quadrature showed the substantial gain offered by the EIS in terms of CPU time.A 3D Exact Integration Scheme was presented in Chapter 4, in order to accelerate and compute accurately (up to machine precision) of highly oscillatory integrals arising from the PUFEM matrix coefficients associated with the 3D Helmholtz equation. Through convergence tests, a criteria for selecting the number of plane waves was proposed. It was shown that this number only grows quadratically with the frequency thus giving rise to a drastic reduction in the total number of degrees of freedoms in comparison to classical FEM. The method has been verified for two numerical examples. In both cases, the method is shown to converge to the exact solution. For the cavity problem with a monopole source located inside, we tested two numerical models to assess their relative performance. In this scenario where the exact solution is singular, the number of wave directions has to be chosen sufficiently high to ensure that results have converged. In the last Chapter, we have investigated the numerical performances of the PUFEM for solving 3D interior sound fields and wave transmission problems in which absorbing materials are present. For the specific case of a locally reacting material modeled by a surface impedance. A numerical error estimation criteria is proposed by simply considering a purely imaginary impedance which is known to produce real-valued solutions. Based on this error estimate, it has been shown that the PUFEM can achieve accurate solutions while maintaining a very low computational cost, and only around 2 degrees of freedom per wavelength were found to be sufficient. We also extended the PUFEM for solving wave transmission problems between the air and a porous material modeled as an equivalent homogeneous fluid. A simple 1D problem was tested (standing wave tube) and the PUFEM solutions were found to be around 1% error which is sufficient for engineering purposes.