Les modèles de Markov à sauts (appelés JMS pour Jump Markov System) sont utilisés dans de nombreux domaines tels que la poursuite de cibles, le traitement des signaux sismiques et la finance, étant donné leur bonne capacité à modéliser des systèmes non-linéaires et non-gaussiens. De nombreux travaux ont étudié les modèles de Markov linéaires pour lesquels bien souvent la restauration de données est réalisée grâce à des méthodes d’échantillonnage statistique de type Markov Chain Monte-Carlo. Dans cette thèse, nous avons cherché des solutions alternatives aux méthodes MCMC et proposons deux originalités principales. La première a consisté à proposer un algorithme de restauration non supervisée d’un JMS particulier appelé « modèle de Markov couple à sauts conditionnellement gaussiens » (noté CGPMSM). Cet algorithme combine une méthode d’estimation des paramètres basée sur le principe Espérance-Maximisation (EM) et une méthode efficace pour lisser les données à partir des paramètres estimés. La deuxième originalité a consisté à étendre un CGPMSM spécifique appelé CGOMSM par l’introduction des copules. Ce modèle, appelé GCOMSM, permet de considérer des distributions plus générales que les distributions gaussiennes tout en conservant des méthodes de restauration optimales et rapides. Nous avons équipé ce modèle d’une méthode d’estimation des paramètres appelée GICE-LS, combinant le principe de la méthode d’estimation conditionnelle itérative généralisée et le principe des moindre-carrés linéaires. Toutes les méthodes sont évaluées sur des données simulées. En particulier, les performances de GCOMSM sont discutées au regard de modèles de Markov non-linéaires et non-gaussiens tels que la volatilité stochastique, très utilisée dans le domaine de la finance. / Switching Markov Models, also called Jump Markov Systems (JMS), are widely used in many fields such as target tracking, seismic signal processing and finance, since they can approach non-Gaussian non-linear systems. A considerable amount of related work studies linear JMS in which data restoration is achieved by Markov Chain Monte-Carlo (MCMC) methods. In this dissertation, we try to find alternative restoration solution for JMS to MCMC methods. The main contribution of our work includes two parts. Firstly, an algorithm of unsupervised restoration for a recent linear JMS known as Conditionally Gaussian Pairwise Markov Switching Model (CGPMSM) is proposed. This algorithm combines a parameter estimation method named Double EM, which is based on the Expectation-Maximization (EM) principle applied twice sequentially, and an efficient approach for smoothing with estimated parameters. Secondly, we extend a specific sub-model of CGPMSM known as Conditionally Gaussian Observed Markov Switching Model (CGOMSM) to a more general one, named Generalized Conditionally Observed Markov Switching Model (GCOMSM) by introducing copulas. Comparing to CGOMSM, the proposed GCOMSM adopts inherently more flexible distributions and non-linear structures, while optimal restoration is feasible. In addition, an identification method called GICE-LS based on the Generalized Iterative Conditional Estimation (GICE) and the Least-Square (LS) principles is proposed for GCOMSM to approximate any non-Gaussian non-linear systems from their sample data set. All proposed methods are tested by simulation. Moreover, the performance of GCOMSM is discussed by application on other generable non-Gaussian non-linear Markov models, for example, on stochastic volatility models which are of great importance in finance.

Le problème de la restauration est rencontré dans domaines très variés notamment en traitement de signal et de l'image. Il correspond à la récupération des données originales à partir de données observées. Dans le cas de données multidimensionnelles, la résolution de ce problème peut se faire par différentes approches selon la nature des données, l'opérateur de transformation et la présence ou non de bruit. Dans ce travail, nous avons traité ce problème, d'une part, dans le cas des données discrètes en présence de bruit. Dans ce cas, le problème de restauration est analogue à celui de la segmentation. Nous avons alors exploité les modélisations dites chaînes de Markov couples et triplets qui généralisent les chaînes de Markov cachées. L'intérêt de ces modèles réside en la possibilité de généraliser la méthode de calcul de la probabilité à posteriori, ce qui permet une segmentation bayésienne. Nous avons considéré ces méthodes pour des observations bi-dimensionnelles et nous avons appliqué les algorithmes pour une séparation sur des documents issus de manuscrits scannés dans lesquels les textes des deux faces d'une feuille se mélangeaient. D'autre part, nous avons attaqué le problème de la restauration dans un contexte de séparation aveugle de sources. Une méthode classique en séparation aveugle de sources, connue sous l'appellation "Analyse en Composantes Indépendantes" (ACI), nécessite l'hypothèse d'indépendance statistique des sources. Dans des situations réelles, cette hypothèse n'est pas toujours vérifiée. Par conséquent, nous avons étudié une extension du modèle ACI dans le cas où les sources peuvent être statistiquement dépendantes. Pour ce faire, nous avons introduit un processus latent qui gouverne la dépendance et/ou l'indépendance des sources. Le modèle que nous proposons combine un modèle de mélange linéaire instantané tel que celui donné par ACI et un modèle probabiliste sur les sources avec variables cachées. Dans ce cadre, nous montrons comment la technique d'Estimation Conditionnelle Itérative permet d'affaiblir l'hypothèse usuelle d'indépendance en une hypothèse d'indépendance conditionnelle / The restoration problem is usually encountered in various domains and in particular in signal and image processing. It consists in retrieving original data from a set of observed ones. For multidimensional data, the problem can be solved using different approaches depending on the data structure, the transformation system and the noise. In this work, we have first tackled the problem in the case of discrete data and noisy model. In this context, the problem is similar to a segmentation problem. We have exploited Pairwise and Triplet Markov chain models, which generalize Hidden Markov chain models. The interest of these models consist in the possibility to generalize the computation procedure of the posterior probability, allowing one to perform bayesian segmentation. We have considered these methods for two-dimensional signals and we have applied the algorithms to retrieve of old hand-written document which have been scanned and are subject to show through effect. In the second part of this work, we have considered the restoration problem as a blind source separation problem. The well-known "Independent Component Analysis" (ICA) method requires the assumption that the sources be statistically independent. In practice, this condition is not always verified. Consequently, we have studied an extension of the ICA model in the case where the sources are not necessarily independent. We have introduced a latent process which controls the dependence and/or independence of the sources. The model that we propose combines a linear instantaneous mixing model similar to the one of ICA model and a probabilistic model on the sources with hidden variables. In this context, we show how the usual independence assumption can be weakened using the technique of Iterative Conditional Estimation to a conditional independence assumption