Generalized geometry of type B_n is the study of geometric structures in T+T^*+1, the sum of the tangent and cotangent bundles of a manifold and a trivial rank 1 bundle. The symmetries of this theory include, apart from B-fields, the novel A-fields. The relation between B_n-geometry and usual generalized geometry is stated via generalized reduction. We show that it is possible to twist T+T^*+1 by choosing a closed 2-form F and a 3-form H such that dH+F²=0. This motivates the definition of an odd exact Courant algebroid. When twisting, the differential on forms gets twisted by d+Fτ+H. We compute the cohomology of this differential, give some examples, and state its relation with T-duality when F is integral. We define B_n-generalized complex structures (B_n-gcs), which exist both in even and odd dimensional manifolds. We show that complex, symplectic, cosymplectic and normal almost contact structures are examples of B_n-gcs. A B_n-gcs is equivalent to a decomposition (T+T^*+1)_ℂ= L + L + U. We show that there is a differential operator on the exterior bundle of L+U, which turns L+U into a Lie algebroid by considering the derived bracket. We state and prove the Maurer-Cartan equation for a B_n-gcs. We then work on surfaces. By the irreducibility of the spinor representations for signature (n+1,n), there is no distinction between even and odd B_n-gcs, so the type change phenomenon already occurs on surfaces. We deal with normal forms and L+U-cohomology. We finish by defining G²₂-structures on 3-manifolds, a structure with no analogue in usual generalized geometry. We prove an analogue of the Moser argument and describe the cone of G²₂-structures in cohomology.

Dans cette thèse on s’intéresse à deux types de structures conformes non-dégénérées sur une variété complexe compacte donnée. La première c’est une forme holomorphe symplectique twistée (THS), i.e. une deux-forme holomorphe non-dégénérée à valeurs dans un fibré en droites. Dans le deuxième contexte, il s’agit des métriques localement conformément kähleriennes (LCK). Dans la première partie, on se place sur un variété de type Kähler. Les formes THS généralisent les formes holomorphes symplectiques, dont l’existence équivaut à ce que la variété admet une structure hyperkählerienne, par un théorème de Beauville. On montre un résultat similaire dans le cas twisté, plus précisément: une variété compacte de type kählerien qui admet une structure THS est un quotient fini cyclique d’une variété hyperkählerienne. De plus, on étudie sous quelles conditions une variété localement hyperkählerienne admet une structure THS. Dans la deuxième partie, les variétés sont supposées de type non-kählerien. Nous présentons quelques critères pour l’existence ou non-existence de métriques LCK spéciales, en terme du groupe de biholomorphismes de la variété. En outre, on étudie le problème d’irréductibilité analytique des variétés LCK, ainsi que l’irréductibilité de la connexion de Weyl associée. Dans un troisième temps, nous étudions les variétés LCK toriques, qui peuvent être définies en analogie avec les variétés de Kähler toriques. Nous montrons qu’une variété LCK torique compacte admet une métrique de Vaisman torique, ce qui mène à une classification de ces variétés par le travail de Lerman. Dans la dernière partie, on s’intéresse aux propriétés cohomologiques des variétés d’Oeljeklaus-Toma (OT). Plus précisément, nous calculons leur cohomologie de de Rham et celle twistée. De plus, on démontre qu’il existe au plus une classe de de Rham qui représente la forme de Lee d’une métrique LCK sur un variété OT. Finalement, on détermine toutes les classes de cohomologie twistée des métriques LCK sur ces variétés. / In this thesis, we are concerned with two types of non-degenerate conformal structures on a given compact complex manifold. The first structure we are interested in is a twisted holomorphic symplectic (THS) form, i.e. a holomorphic non-degenerate two-form valued in a line bundle. In the second context, we study locally conformally Kähler (LCK) metrics. In the first part, we deal with manifolds of Kähler type. THS forms generalise the well-known holomorphic symplectic forms, the existence of which is equivalent to the manifold admitting a hyperkähler structure, by a theorem of Beauville. We show a similar result in the twisted case, namely: a compact manifold of Kähler type admitting a THS structure is a finite cyclic quotient of a hyperkähler manifold. Moreover, we study under which conditions a locally hyperkähler manifold admits a THS structure. In the second part, manifolds are supposed to be of non-Kähler type. We present a few criteria for the existence or non-existence for special LCK metrics, in terms of the group of biholomorphisms of the manifold. Moreover, we investigate the analytic irreducibility issue for LCK manifolds, as well as the irreducibility of the associated Weyl connection. Thirdly, we study toric LCK manifolds, which can be defined in analogy with toric Kähler manifolds. We show that a compact toric LCK manifold always admits a toric Vaisman metric, which leads to a classification of such manifolds by the work of Lerman. In the last part, we study the cohomological properties of Oeljeklaus-Toma (OT) manifolds. Namely, we compute their de Rham and twisted cohomology. Moreover, we prove that there exists at most one de Rham class which represents the Lee form of an LCK metric on an OT manifold. Finally, we determine all the twisted cohomology classes of LCK metrics on these manifolds.