Neste trabalho fazemos um estudo do conceito de soma torcida de F-espaços. Apresentamos algumas propriedades e simplificações na construção de somas torcidas de F-espaços localmente limitados. Em particular, estudamos uma condição suficiente para que uma soma torcida de espaços de Banach seja um espaço de Banach. Finalmente aplicamos esses conceitos para definir o espaço construído por N. J. Kalton, que é um exemplo de um espaço de Banach não isomorfo ao conjugado complexo. Este espaço X de Kalton corresponde a uma soma torcida de espaços de Hilbert, isto é, X possui um subespaço fechado E tal que E e X/E são isomorfos a espaços de Hilbert. / In this work we study the concept of twisted sum of F-spaces. We also study some properties and simplifications in the construction of twisted sums of locally bounded F-spaces. In particular, we study a sufficient condition for a twisted sum of Banach spaces to be a Banach space. Finally we apply these concepts to define the space constructed by N. J. Kalton, which is an example of a Banach space not isomorphic to its complex conjugate. The Kalton space X is a twisted sum of Hilbert spaces, i.e. X has a closed subspace E such that E and X/E are isomorphic to Hilbert spaces.

In this work we study twisted sums induced by complex interpolation, of Banach spaces as well as of operator spaces. In the first part of the thesis we focus on Banach spaces, and clarify how interpolation of families, as of couples, induces an extension of the interpolation space, called the derived space. We study how the types and cotypes of the spaces being interpolated determine the triviality or singularity of the derived space, and we apply the results to the study of submodules of the Schatten classes and in the obtainment of nontrivial twisted sums in which all of the three spaces in the short exact sequence do not have the approximation property. In the second part we develop the theory of twisted sums in the category of operator spaces and present many examples of twisted sums which are completely singular and completely nontrivial. In particular, we solve two versions of Palais\' problem for operator spaces. / Neste trabalho estudamos somas torcidas induzidas por interpolação complexa, tanto de espaços de Banach como de espaços de operadores. Na primeira parte da tese focamos em espaços de Banach, e esclarecemos como a interpolação de famílias, assim como a de pares, gera uma extensão do espaço interpolado, chamada de espaço derivado. Estudamos como os tipos e cotipos dos espaços sendo interpolados influenciam na trivialidade ou singularidade do espaço derivado, e aplicamos os resultados para o estudo de submódulos das classes de Schatten e para a obtenção de somas torcidas não-triviais em que os três espaços da sequência exata curta não possuem a propriedade da aproximação. Na segunda parte, desenvolvemos a teoria de somas torcidas na categoria de espaços de operadores, e apresentamos vários exemplos de somas torcidas completamente singulares e completamente não-triviais nessa categoria. Em particular, resolvemos duas versões do problema de Palais para espaços de operadores.

In this work we study twisted sums induced by complex interpolation, of Banach spaces as well as of operator spaces. In the first part of the thesis we focus on Banach spaces, and clarify how interpolation of families, as of couples, induces an extension of the interpolation space, called the derived space. We study how the types and cotypes of the spaces being interpolated determine the triviality or singularity of the derived space, and we apply the results to the study of submodules of the Schatten classes and in the obtainment of nontrivial twisted sums in which all of the three spaces in the short exact sequence do not have the approximation property. In the second part we develop the theory of twisted sums in the category of operator spaces and present many examples of twisted sums which are completely singular and completely nontrivial. In particular, we solve two versions of Palais\' problem for operator spaces. / Neste trabalho estudamos somas torcidas induzidas por interpolação complexa, tanto de espaços de Banach como de espaços de operadores. Na primeira parte da tese focamos em espaços de Banach, e esclarecemos como a interpolação de famílias, assim como a de pares, gera uma extensão do espaço interpolado, chamada de espaço derivado. Estudamos como os tipos e cotipos dos espaços sendo interpolados influenciam na trivialidade ou singularidade do espaço derivado, e aplicamos os resultados para o estudo de submódulos das classes de Schatten e para a obtenção de somas torcidas não-triviais em que os três espaços da sequência exata curta não possuem a propriedade da aproximação. Na segunda parte, desenvolvemos a teoria de somas torcidas na categoria de espaços de operadores, e apresentamos vários exemplos de somas torcidas completamente singulares e completamente não-triviais nessa categoria. Em particular, resolvemos duas versões do problema de Palais para espaços de operadores.

Neste trabalho fazemos um estudo do conceito de soma torcida de F-espaços. Apresentamos algumas propriedades e simplificações na construção de somas torcidas de F-espaços localmente limitados. Em particular, estudamos uma condição suficiente para que uma soma torcida de espaços de Banach seja um espaço de Banach. Finalmente aplicamos esses conceitos para definir o espaço construído por N. J. Kalton, que é um exemplo de um espaço de Banach não isomorfo ao conjugado complexo. Este espaço X de Kalton corresponde a uma soma torcida de espaços de Hilbert, isto é, X possui um subespaço fechado E tal que E e X/E são isomorfos a espaços de Hilbert. / In this work we study the concept of twisted sum of F-spaces. We also study some properties and simplifications in the construction of twisted sums of locally bounded F-spaces. In particular, we study a sufficient condition for a twisted sum of Banach spaces to be a Banach space. Finally we apply these concepts to define the space constructed by N. J. Kalton, which is an example of a Banach space not isomorphic to its complex conjugate. The Kalton space X is a twisted sum of Hilbert spaces, i.e. X has a closed subspace E such that E and X/E are isomorphic to Hilbert spaces.

No presente trabalho, estudamos alguns aspectos da teoria de estruturas complexas em espaços de Banach. Demonstramos que se um espaço de Banach real $X$ tem a propriedade $P$, então todas as estruturas complexas em $X$ também satisfazem $P$, quando $P$ é qualquer uma das seguintes propriedades: propriedade de aproximação limitada, \\emph{G.L-l.u.st}, ser injetivo e ser complementado num espaço dual. Abordamos o problema da unicidade de estruturas complexas em espaços de Banach com base subsimétrica, provando que um espaço de Banach real $E$ com base subsimétrica e isomorfo ao espaço de sequências $E[E]$ admite estrutura complexa única. Por outro lado, apresentamos um exemplo de espaço de Banach com exatamente $\\omega$ estruturas complexas distintas. Também usamos a teoria de estruturas complexas para estudar o clássico problema dos hiperplanos no espaço $Z_2$ de Kalton-Peck. Com o propósito de distinguir $Z_2$ de seus hiperplanos nos perguntamos se os hiperplanos admitem estrutura complexa. Nesse sentido, provamos que os hiperplanos de $Z_2$ contendo a cópia canônica de $\\ell_2$ não admitem estruturas complexas que sejam extensões de estruturas complexas em $\\ell_2$. Também construímos uma estrutura complexa em $\\ell_2$ que não pode-se estender a nenhum operador em $Z_2$. / In this work, we study some aspects of the theory of complex structures in Banach spaces. We show that if a real Banach space $X$ has the property $P$, then all its complex structures also satisfy $P$, where $P$ is any of the following properties: bounded approximation property, \\emph{G.L-l.u.st}, being injective and being complemented in a dual space. We address the problem of uniqueness of complex structures in Banach spaces with subsymmetric basis by proving that a real Banach space $E$ with subsymmetric basis and isomorphic to the space of sequences $E [E]$ admits a unique complex structure. On the other hand, we show an example of Banach space with exactly $\\omega$ different complex structures. We also use the theory of complex structures to study the classical problem of hyperplanes in the Kalton-Peck space $Z_2$. In order to distinguish between $Z_2$ and its hyperplanes we wonder whether the hyperplanes admit complex structures. In this sense we prove that no complex structure on $\\ell_2$ can be extended to a complex structure on the hyperplanes of $Z_2$ containing the canonical copy $l_2$. We also constructed a complex structure on $l_2$ that can not be extended to any operator in $Z_2$.

No presente trabalho, estudamos alguns aspectos da teoria de estruturas complexas em espaços de Banach. Demonstramos que se um espaço de Banach real $X$ tem a propriedade $P$, então todas as estruturas complexas em $X$ também satisfazem $P$, quando $P$ é qualquer uma das seguintes propriedades: propriedade de aproximação limitada, \\emph{G.L-l.u.st}, ser injetivo e ser complementado num espaço dual. Abordamos o problema da unicidade de estruturas complexas em espaços de Banach com base subsimétrica, provando que um espaço de Banach real $E$ com base subsimétrica e isomorfo ao espaço de sequências $E[E]$ admite estrutura complexa única. Por outro lado, apresentamos um exemplo de espaço de Banach com exatamente $\\omega$ estruturas complexas distintas. Também usamos a teoria de estruturas complexas para estudar o clássico problema dos hiperplanos no espaço $Z_2$ de Kalton-Peck. Com o propósito de distinguir $Z_2$ de seus hiperplanos nos perguntamos se os hiperplanos admitem estrutura complexa. Nesse sentido, provamos que os hiperplanos de $Z_2$ contendo a cópia canônica de $\\ell_2$ não admitem estruturas complexas que sejam extensões de estruturas complexas em $\\ell_2$. Também construímos uma estrutura complexa em $\\ell_2$ que não pode-se estender a nenhum operador em $Z_2$. / In this work, we study some aspects of the theory of complex structures in Banach spaces. We show that if a real Banach space $X$ has the property $P$, then all its complex structures also satisfy $P$, where $P$ is any of the following properties: bounded approximation property, \\emph{G.L-l.u.st}, being injective and being complemented in a dual space. We address the problem of uniqueness of complex structures in Banach spaces with subsymmetric basis by proving that a real Banach space $E$ with subsymmetric basis and isomorphic to the space of sequences $E [E]$ admits a unique complex structure. On the other hand, we show an example of Banach space with exactly $\\omega$ different complex structures. We also use the theory of complex structures to study the classical problem of hyperplanes in the Kalton-Peck space $Z_2$. In order to distinguish between $Z_2$ and its hyperplanes we wonder whether the hyperplanes admit complex structures. In this sense we prove that no complex structure on $\\ell_2$ can be extended to a complex structure on the hyperplanes of $Z_2$ containing the canonical copy $l_2$. We also constructed a complex structure on $l_2$ that can not be extended to any operator in $Z_2$.