Neste trabalho é proposta uma abordagem analítica para o cálculo modal de diversas configurações de vigas de Euler-Bernoulli com propriedades da seção transversal contínuas sujeitas a condições de contorno clássicas e não clássicas. A metodologia proposta está baseada em condições de normalização para as soluções da equação modal, originando uma fórmula modal associada com propriedades físicas e matemáticas da viga. Para o caso de vigas monossegmentadas não é requerido o uso do computador no cálculo dos modos. As formas modais dos diversos tipos de vigas consideradas podem ser expressas em termos das funções de Bessel, funções triangulares e funções hiperbólicas. Para fins de ilustração. é apresentado um caso de rigidez fiexural e massa linear do tipo polinomial de quarta ordem. / In this work, it is proposed an analytical approach for the modal determination of various configurations of Euler-Bernoulli bearns with continuous crosssection properties constrained with classical and non-classical boundary conditions. The proposed approach is based on normal conditions for the solutions of the modal equation, yielding a modal formula associated with mathematical and physical properties of the beam. For the mono-segmented case it is not required tbe use of computer for the modal determination. The modes of the various types of beam considered can be expressed in terms of Bessel, triangular and hyperbolic functions. For illustration, it is presented a case of fourth-order polynomial-type flexural stiffness and linear mass.

Neste trabalho é proposta uma abordagem analítica para o cálculo modal de diversas configurações de vigas de Euler-Bernoulli com propriedades da seção transversal contínuas sujeitas a condições de contorno clássicas e não clássicas. A metodologia proposta está baseada em condições de normalização para as soluções da equação modal, originando uma fórmula modal associada com propriedades físicas e matemáticas da viga. Para o caso de vigas monossegmentadas não é requerido o uso do computador no cálculo dos modos. As formas modais dos diversos tipos de vigas consideradas podem ser expressas em termos das funções de Bessel, funções triangulares e funções hiperbólicas. Para fins de ilustração. é apresentado um caso de rigidez fiexural e massa linear do tipo polinomial de quarta ordem. / In this work, it is proposed an analytical approach for the modal determination of various configurations of Euler-Bernoulli bearns with continuous crosssection properties constrained with classical and non-classical boundary conditions. The proposed approach is based on normal conditions for the solutions of the modal equation, yielding a modal formula associated with mathematical and physical properties of the beam. For the mono-segmented case it is not required tbe use of computer for the modal determination. The modes of the various types of beam considered can be expressed in terms of Bessel, triangular and hyperbolic functions. For illustration, it is presented a case of fourth-order polynomial-type flexural stiffness and linear mass.

Neste trabalho é proposta uma abordagem analítica para o cálculo modal de diversas configurações de vigas de Euler-Bernoulli com propriedades da seção transversal contínuas sujeitas a condições de contorno clássicas e não clássicas. A metodologia proposta está baseada em condições de normalização para as soluções da equação modal, originando uma fórmula modal associada com propriedades físicas e matemáticas da viga. Para o caso de vigas monossegmentadas não é requerido o uso do computador no cálculo dos modos. As formas modais dos diversos tipos de vigas consideradas podem ser expressas em termos das funções de Bessel, funções triangulares e funções hiperbólicas. Para fins de ilustração. é apresentado um caso de rigidez fiexural e massa linear do tipo polinomial de quarta ordem. / In this work, it is proposed an analytical approach for the modal determination of various configurations of Euler-Bernoulli bearns with continuous crosssection properties constrained with classical and non-classical boundary conditions. The proposed approach is based on normal conditions for the solutions of the modal equation, yielding a modal formula associated with mathematical and physical properties of the beam. For the mono-segmented case it is not required tbe use of computer for the modal determination. The modes of the various types of beam considered can be expressed in terms of Bessel, triangular and hyperbolic functions. For illustration, it is presented a case of fourth-order polynomial-type flexural stiffness and linear mass.

O objetivo principal desta pesquisa foi desenvolver o estudo moda! de estrut uras com propriedades descontínuas na seção transversal, através do modelo de Euler-Bernoulli. Tais descontinuidades são de tipo degrau para a massa por unidade de comprimento e para a rigidez flexural. Considerando diversas condições de contorno e a base espectral clássica, obtém-se graficamente os cinco primeiros modos normais clássicos, mediante uma abordagem matricial que discrimina a informação entre as condições de contorno e o tipo de base de funções usada. Também é mostrada a vibração forçada correspondente a cada tipo de viga, deduzida a partir do método de Fourier. / The main objective of this research was to develop a modal survey of structures with discontinuous cross-sectional properties, through the Euler-Bernoulli model. Such discontinuities are step type for the mass per unit length and the bending stiffness. Considering different boundary conditions and a classical spectral basis, the first five classical normal modes result in a graphic view, through a matrix approach discriminating the information between boundary conditions and the kind of basis of functions used. The forced vibration for each kind of beam, derived from the Fourier method, is also shown.

O objetivo principal desta pesquisa foi desenvolver o estudo moda! de estrut uras com propriedades descontínuas na seção transversal, através do modelo de Euler-Bernoulli. Tais descontinuidades são de tipo degrau para a massa por unidade de comprimento e para a rigidez flexural. Considerando diversas condições de contorno e a base espectral clássica, obtém-se graficamente os cinco primeiros modos normais clássicos, mediante uma abordagem matricial que discrimina a informação entre as condições de contorno e o tipo de base de funções usada. Também é mostrada a vibração forçada correspondente a cada tipo de viga, deduzida a partir do método de Fourier. / The main objective of this research was to develop a modal survey of structures with discontinuous cross-sectional properties, through the Euler-Bernoulli model. Such discontinuities are step type for the mass per unit length and the bending stiffness. Considering different boundary conditions and a classical spectral basis, the first five classical normal modes result in a graphic view, through a matrix approach discriminating the information between boundary conditions and the kind of basis of functions used. The forced vibration for each kind of beam, derived from the Fourier method, is also shown.

O objetivo principal desta pesquisa foi desenvolver o estudo moda! de estrut uras com propriedades descontínuas na seção transversal, através do modelo de Euler-Bernoulli. Tais descontinuidades são de tipo degrau para a massa por unidade de comprimento e para a rigidez flexural. Considerando diversas condições de contorno e a base espectral clássica, obtém-se graficamente os cinco primeiros modos normais clássicos, mediante uma abordagem matricial que discrimina a informação entre as condições de contorno e o tipo de base de funções usada. Também é mostrada a vibração forçada correspondente a cada tipo de viga, deduzida a partir do método de Fourier. / The main objective of this research was to develop a modal survey of structures with discontinuous cross-sectional properties, through the Euler-Bernoulli model. Such discontinuities are step type for the mass per unit length and the bending stiffness. Considering different boundary conditions and a classical spectral basis, the first five classical normal modes result in a graphic view, through a matrix approach discriminating the information between boundary conditions and the kind of basis of functions used. The forced vibration for each kind of beam, derived from the Fourier method, is also shown.