Dans cette thèse, décomposée en deux parties, nous nous intéressons à l'étude des vecteurs propres associés aux valeurs propres de module 1 d'un opérateur linéaire borné sur un espace de Banach séparable. La première partie de la thèse fait suite à un travail réalisé par F. Bayart et S. Grivaux dans lequel ils donnent une condition portant sur les vecteurs propres associés aux valeurs propres de module 1 d'un opérateur sur un espace de Hilbert complexe séparable pour qu'il admette une mesure gaussienne non dégénérée pour laquelle il est fortement mélangeant. En exploitant cette condition sur les vecteurs propres, nous cherchons à estimer la vitesse de mélange de l'opérateur en question. Nous montrons qu'il n'y a pas de vitesse de mélange globale en général puis nous démontrons que si les vecteurs propres de l'opérateur sont paramétrés par des champs de vecteurs propres réguliers, alors on a une vitesse de mélange si on travaille avec des classes de fonctions suffisamment régulières. Dans la deuxième partie de la thèse, on étudie le spectre ponctuel unimodulaire d'un opérateur linéaire borné sur un espace de Banach séparable. En nous appuyant sur les résultats connus sur les suites de Jamison, nous étudions l'analogue de ces suites pour les semi-groupes d'opérateurs fortement continus et nous en donnons une carctérisation. Nous nous intéressons également à des problèmes de construction d'espaces de Banach et d'opérateurs sur ces espaces pour des suites qui ne sont pas des suites de Jamison. Nous généralisons ensuite la notion de suite de Jamison en étudiant le spectre ponctuel unimodulaire d'une représentation d'un groupe donné qui est borné par rapport à suite d'éléments de ce groupe. En particulier, on caractérise les suites de Jamison d'un groupe abélien de type fini. / In this thesis, we study into two different parts the eigenvectors associated to unimodular eigenvalues of an operator on a separable Banach space. The first part of the thesis follows a work of F. Bayart and S. Grivaux where they give condition on the eigenvectors associated to unimodular eigenvalues of an operator on a complex separable Hilbert space to admit a Gaussian measure for which the operator defines a strongly mixing transformation. With this condition on the eigenvectors, we investigate the subject of speed of mixing of the strongly mixing operator. We prove that there is no way to obtain a uniform speed of mixing in general. Then we prove that if the eigenvectors associated to unimodular eigenvalues of the operator are parametrized by a countable family of regular eigenvector fields then we have a speed of mixing by considering regular classes of functions. In the second part of the thesis, we study the unimodular point spectrum of an operator on a separable Banach space. By using the results on Jamison sequences, we give a characterization of Jamison sequences for strongly continuous semigroups. We are also concerned in the problem of construction of Banach space and operator on this space when the sequences are not Jamison sequences. Then we generalize the notion of Jamison sequence by studying the unimodular point spectrum of a group representation which is bounded with respect to some sequence of this group. In particular, we characterize Jamison sequences of a finitely generated abelian group.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés statistiques des systèmes dynamiques aléatoires et non-autonomes. Dans le premier chapitre, consacré aux systèmes aléatoires, nous établissons un cadre fonctionnel abstrait, couvrant une large classe de systèmes dilatants en dimension 1 et supérieure, permettant de démontrer de nombreux théorèmes limites annealed. Nous donnons aussi une condition nécessaire et suffisante pour que la version quenched du théorème de la limite centrale soit valide en dimension 1. Dans le chapitre deux, après avoir introduit la notion de système non-autonome, nous étudions un système composé d'applications en dimension 1 ayant un point fixe neutre commun, et nous montrons que celui-ci admet une vitesse de perte de mémoire polynomiale. Le chapitre trois est consacré aux inégalités de concentration. Nous établissons de telles inégalités pour des systèmes dynamiques aléatoires et non-autonomes, et nous étudions diverses applications. Dans le chapitre quatre, nous nous intéressons aux lemmes dynamiques de Borel-Cantelli pour l'induction de Rauzy-Veech-Zorich, et présentons quelques résultats liés aux statistiques de récurrence pour cette application. / The first chapter, devoted to random systems, we establish an abstract functional framework, including a large class of expanding systems in dimension 1 and higher, under which we can prove annealed limit theorems. We also give a necessary and sufficient condition for the quenched central limit theorem to hold in dimension 1. In chapter 2, after an introduction to the notion of non-autonomous system, we study an example consisting of a family of maps of the unit interval with a common neutral fixed point, and we show that this system admits a polynomial loss of memory. The chapter 3 is devoted to concentration inequalities. We establish such inequalities for random and non-autonomous dynamical systems in dimension 1, and we study some of their applications. In chapter 4, we study dynamical Borel-Cantelli lemmas for the Rauzy-Veech-Zorich induction, and we present some results concerning statistics of recurrence for this map.