DIÓGENES, Rafael Jorge Pontes. Métricas críticas do funcional volume, volume mínimo e curvatura mínima em variedades de dimensão quatro. 2015. 82 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2015-05-15T18:17:15Z No. of bitstreams: 1 2015_tese_rjpdiogenes.pdf: 882445 bytes, checksum: 6a4a58d70f6a682cf61ae55d61fca63f (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-05-21T11:24:03Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_tese_rjpdiogenes.pdf: 882445 bytes, checksum: 6a4a58d70f6a682cf61ae55d61fca63f (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-21T11:24:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_tese_rjpdiogenes.pdf: 882445 bytes, checksum: 6a4a58d70f6a682cf61ae55d61fca63f (MD5) Previous issue date: 2015 / This aim of this is to study the critical metrics of the volume functional, minimal volume and minimal curvature on four-dimensional compact manifolds. In the first part, we investigate Bach-flat critical metrics of the volume functional on a compact manifold M with boundary ∂M. Here, we prove that a Bach-flat critical metric of the volume functional on a simply connected 4-dimensional manifold with boundary isometric to a standard sphere must be isometric to a geodesic ball in a simply connected space form R4, H4 or S4. Moreover, we show that in dimension three the result even is true replacing the Bach-flat condition by the weaker assumption that M has divergence-free Bach tensor. In the second part we investigate the geometric invariants: minimal volume and minimal curvature. In 1982, Gromov introduced the concept of minimal volume for a smooth manifold as the greatest lower bound of the total volumes of Mn with respect to complete Riemannian metrics whose sectional curvature is bounded above in absolute value by 1. While the minimal curvature, introduced by G. Yun in 1966, is the smallest pinching of the sectional curvature among metrics of volume 1. In both cases we give below estimates to minimal volume and minimal curvature on 4-dimensional compact manifolds involving some differential and topological invariants. Among these ones, we get some sharp estimates. Moreover, we deduce characterizations for the equality case in some estimates. / Este trabalho tem como principal objetivo estudar as métricas do funcional volume, volume mínimo e curvatura mínima em variedades compactas de dimensão quatro. Na primeira parte o objetivo é investigar as métricas críticas do funcional volume sob a condição de tais métricas serem Bach-flats em uma variedade compacta com bordo ∂M. Provamos que uma métrica crítica do funcional volume Bach-flat em uma variedade simplesmente conexa de dimensão quatro com bordo isométrico a uma esfera padrão é necessariamente isométrico a uma bola geodésica em um espaço forma simplesmente conexo R4, H4 ou S4. Além disso, mostramos que em dimensão três o resultado continua valido substituindo a condição Bach-flat pela condição mais fraca de M ter o tensor de Bach harmônico. Na segunda parte estudamos os invariantes geométricos: volume mínimo e curvatura mínima. Em 1982, Gromov introduziu o conceito de volume mínimo para uma variedade suave como sendo o ínfimo de todos os volumes sob as métricas de curvatura seccional limitada, em valor absoluto, por 1. Enquanto a curvatura mínima, que foi introduzido por Yun, é o menor pinching da curvatura seccional dentre as métricas de volume 1. Em ambos os casos damos estimativas inferiores envolvendo alguns invariantes diferenciáveis e topológicos. Dentre elas mostraremos exemplos em que as estimativas são ótimas. Além disso, obtemos uma caracterização para o caso da igualdade em algumas estimativas.