Thesis (Ph. D.)--University of Hawaii at Manoa, 2003. / Includes bibliographical references (leaves 51-52).

This paper examines the probability that a random polynomial of specific degree over a field has a specific number of distinct roots in that field. Probabilities are found for random quadratic polynomials with respect to various probability measures on the real numbers and p-adic numbers. In the process, some properties of the p-adic integer uniform random variable are explored. The measure Witt ring, a generalization of the canonical Witt ring, is introduced as a way to link quadratic forms and measures, and examples are found for various fields and measures. Special properties of the Haar measure in connection with the measure Witt ring are explored. Higher-degree polynomials are explored with the aid of numerical methods, and some conjectures are made regarding higher-degree p-adic polynomials. Other open questions about measure Witt rings are stated. / Graduation date: 1999

Thesis (Ph. D.)--Oregon State University, 1999. / Typescript (photocopy). Includes bibliographical references (leaf 66). Also available on the World Wide Web.

Orientador: Antonio Jose Engler / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-14T13:32:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PapaNeto_Angelo_D.pdf: 939822 bytes, checksum: 40aedb2e25f1f22956a7ff182038cae3 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Um corpo ordenado é uma estrutura algébrica similar à do corpo dos números reais. No entanto, ao contrário dos reais, um corpo arbitrário F pode admitir mais de uma ordem, inclusive um número infinito e não enumerável de ordens. A cada elemento x do corpo F podemos associar uma forma quadrática binária [1, x], chamada 1-forma de Pfister. Os elementos de F = F 0} representados por [1, x], constituem um grupo que chamamos grupo de valores da forma e denotamos por D[1,x]. Um elemento d S F é chamado rígido se D[1, d] = F2 U dF2 , onde F2 é o subgrupo de F formado pelos quadrados. Um elemento d é dito birígido se d e -d são rígidos. O presente trabalho tem como objetivo principal obter um teorema de estrutura para o anel de Witt (das classes de equivalência de formas quadráticas) de um corpo ordenado F admitindo um elemento rígido que não é birígido e que é negativo em relação à pelo menos uma das ordens do corpo. Mais precisamente, obtemos uma decomposição do anel de Witt de F como produto de anéis de Witt de duas extensões H ¿ F e K ¿ F, ambas contidas no fecho quadrático de F. Os anéis de Witt de H e K têm estrutura mais simples que a do anel de Witt de F. Obtemos os corpos H e K construindo subgrupos Rd e Sd associados ao elemento rígido d e exigindo que valha uma propriedade de decomposição: F = Rd· Sd. O corpo H é uma henselização de F relativa a um anel de valorização (A;mA) de F tal que Rd = (1 + mA) F2 . O corpo K é pitagórico e tem espaço de ordens XK homeomorfo ao espaço X/Sd das ordens de F que contém Sd. Obtemos ainda uma condição necessária e suficiente para que ocorra a decomposição F = Rd · Sd, que depende do grupo de valores e do corpo de resíduos do anel de valorização A. / Abstract: An ordered field is an algebraic structure like the field of real numbers. However, while the field of real numbers have only one ordering, an arbitrary ordered field F may have more than one ordering, and also a infinite and uncountble number of orderings is allowed. To each element x Î F one can associate an binary quadratic form [1, x], called Pfister 1-fold form. The set of elements in F = F 0} which are represented by [1, x] is a group D[1,x], called value group of [1,x]. An element d S F is called rigid if D[1, d] = F2 U dF2, where F 2 denotes the subgroup of squares in F . An element d is called birigid if d and -d are both rigid. The main purpose of this thesis is to prove an structure theorem for Witt ring (of equivalence classes of quadratic forms) of an ordered field F with a rigid element which is not birigid and is negative in at least one ordering of F, that is, we get a decomposition of the Witt ring of F as a product of Witt rings of extensions H ¿ F and K ¿ F, both inside the quadratic closure of F. The Witt rings of H and K have a simpler structure than Witt ring of F. We get fields H and K by builting subgroups Rd and Sd associated to the rigid element d and making the addicional assumption that F = Rd·Sd holds. The field H is a henselization of F relative to a valuation ring (A;mA) of F such that Rd = (1 + mA) F2. The pythagorean field K has space of orderings XK homeomorphic to X/Sd, the space of orderings of F which contain Sd. Moreover, we settle an necessary and suficient condiction to decomposition F = Rd·Sd holds, relative to value group and residue field of valuation ring A. / Doutorado / Algebra / Doutor em Matemática

Neste trabalho procuramos realizar uma apresentação autocontida sobre os conceitos da teoria algébrica de formas quadráticas e sobre os anéis graduados que surgiram no desenvolvimento desta teoria. Iniciamos procurando esclarecer o sentido da equivalência entre as várias acepções do conceito de forma quadrática. Após a apresentação de ingredientes e resultados geométricos, fazemos um extrato da teoria dos anéis de Witt, conceito que originou a moderna teoria algébrica de formas quadráticas. Disponibilizamos os elementos fundamentais para a formulação das teorias de cohomologia, nos concentrado no desenvolvimento da teoria de cohomologia profinita e, sobretudo, galoisiana. Descrevemos os funtores K0, K1 e K2 da K-teoria clássica e também a K-teoria de Milnor, que é mais adequada para formular questões sobre formas quadráticas. Finalizamos o trabalho com a apresentação de alguns conceitos da Teoria dos Grupos Especiais, uma codificação em primeira-ordem da teoria algébrica das formas quadráticas e exemplificamos sua importância, fornecendo um extrato da prova realizada por Dickmann-Miraglia da conjectura de Marshall sobre assinaturas, que se baseia fortemente nesta teoria. / In this work I try to provide a self-contained presentation on the concepts of algebraic theory of quadratic forms and on the graded rings that have emerged in the development of this theory. I started trying to clarify the meaning of \"equivalence\"between the various meanings of the concept of quadratic form. After the presentation of geometrical ingredients and results, we make an extract of the theory of Witt rings, a concept that originated the modern algebraic theory of quadratic forms. It is provided the key elements for the formulation of cohomology theories, focusing on the development of profinite cohomology theory and, especially, on galoisian cohomology. Are described the functors K0, K1 and K2 of classical K-theory and also the Milnor K-theory, which is more appropriate to formulate questions about quadratic forms. The dissertation is finished with the presentation of some concepts of the Theory of Special Groups, a first-order encoding of algebraic theory of quadratic forms, and with an example its importance by providing an extract of proof by Dickmann-Miraglia of the Marshalls conjecture on signatures, which relies heavily on this theory.

Neste trabalho procuramos realizar uma apresentação autocontida sobre os conceitos da teoria algébrica de formas quadráticas e sobre os anéis graduados que surgiram no desenvolvimento desta teoria. Iniciamos procurando esclarecer o sentido da equivalência entre as várias acepções do conceito de forma quadrática. Após a apresentação de ingredientes e resultados geométricos, fazemos um extrato da teoria dos anéis de Witt, conceito que originou a moderna teoria algébrica de formas quadráticas. Disponibilizamos os elementos fundamentais para a formulação das teorias de cohomologia, nos concentrado no desenvolvimento da teoria de cohomologia profinita e, sobretudo, galoisiana. Descrevemos os funtores K0, K1 e K2 da K-teoria clássica e também a K-teoria de Milnor, que é mais adequada para formular questões sobre formas quadráticas. Finalizamos o trabalho com a apresentação de alguns conceitos da Teoria dos Grupos Especiais, uma codificação em primeira-ordem da teoria algébrica das formas quadráticas e exemplificamos sua importância, fornecendo um extrato da prova realizada por Dickmann-Miraglia da conjectura de Marshall sobre assinaturas, que se baseia fortemente nesta teoria. / In this work I try to provide a self-contained presentation on the concepts of algebraic theory of quadratic forms and on the graded rings that have emerged in the development of this theory. I started trying to clarify the meaning of \"equivalence\"between the various meanings of the concept of quadratic form. After the presentation of geometrical ingredients and results, we make an extract of the theory of Witt rings, a concept that originated the modern algebraic theory of quadratic forms. It is provided the key elements for the formulation of cohomology theories, focusing on the development of profinite cohomology theory and, especially, on galoisian cohomology. Are described the functors K0, K1 and K2 of classical K-theory and also the Milnor K-theory, which is more appropriate to formulate questions about quadratic forms. The dissertation is finished with the presentation of some concepts of the Theory of Special Groups, a first-order encoding of algebraic theory of quadratic forms, and with an example its importance by providing an extract of proof by Dickmann-Miraglia of the Marshalls conjecture on signatures, which relies heavily on this theory.