Este estudo se dedica a uma parte pouco conhecida dos trabalhos de Leonhard Euler (1707 - 1783) relacionado à música enquanto uma ciência matemática. Tais trabalhos mostram, em certo sentido, um lado pitagórico do pensador e também algumas contribuições do mesmo à teoria musical. O interesse deste matemático pelo assunto permeia várias obras e épocas de sua vida, mas neste trabalho focamos em três delas: um conjunto de nove cartas que compõem a obra Lettres a une princesse dAllemagne sur divers sujets de physique e de philosophie (1768) e dois artigos, Conjecture sur la raison de quelques dissonances generalement reçues dans la musique (1766) e De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (1774). Para possibilitar uma melhor compreensão desses textos, faremos uma revisão histórica do tratamento aritmético dado à música desde os tempos clássicos até o Renascimento com enfoque nas principais contribuições que levam à construção da escala da entonação pura ou justa, trabalhada por Euler nos originais estudados. Após a apresentação e análise desses trabalhos eulerianos, especialmente seus diagramas para representar sons e acordes e do seu expoente de um acorde para medir consonâncias, terminaremos essa dissertação refletindo sobre as implicações pedagógicas e históricas, bem como as potencialidades e limitações do uso de fontes originais de determinados mestres do pensamento matemático ocidental, nomeadamente o próprio Euler, na formação de matemáticos, professores e licenciados. / This present research takes a journey into a little know part of Leonhard Eulers works about music as a mathematical science. Those works show, at certain level, his Pythagorean thoughts and also his contributions to music theory. Eulers interest for this subject permeates many of his works through his lifetime (1707 - 1783), but here we focus on three of them: a set of nine letters from the book Lettres a une princesse dAllemagne sur divers sujets de physique e de philosophie (1768), and two articles, Conjecture sur la raison de quelques dissonances generalement reçues dans la musique (1766) and De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (1774). To allow a better understanding of his ideas, first we put on a historical review of the arithmetic treatment of music since the ancient Greece to the Renaissance Era pointing out the main contributions to the development of the pure just intonation scale, the one used by Euler on the works just mentioned. After presenting and analyzing these Eulers contributions, specially his diagrams to represent sounds and chords to the eyes and the concept of exponent of a chord to measure consonances, we conclude this dissertation thinking about the pedagogical and historical impact, and also the potential and limitations concerning the use of historical sources of the masters of mathematics, to the training of future mathematics and teachers.

Aquesta tesi doctoral proposa i avalua un enfocament computacional per a la descripció automàtica dels aspectes tonals de la música a partir de l'anàlisi de senyals d'-audio polifòniques. Aquests mètodes es centren en el càlcul de descriptors de distribucions de notes, en l'estimació de tonalitat d'una peça, en la visualització de l'evolució del centre tonal o en la mesura de la similitud tonal entre dues peces diferents. Aquesta tesi contribueix substancialment al camp de la descripció tonal mitjançant mètodes computacionals: a) Proporciona una revisió multidisciplinària dels sistemes d'estimació de la tonalitat; b) Defineix una sèrie de requeriments que han de complir els descriptors tonals de baix nivell; c) Proporciona una avaluació quantitativa i modular dels mètodes proposats; d) Justifica la idea de que per a certes aplicacions es poden fer servir mètodes que treballen amb partitures sense la necessitat de realitzar una transcripció automàtica e) Estén la literatura existent que treballa amb música clàssica a altres generes musicals; f) Demostra la utilitat dels descriptors tonals per a comparar peces musicals; g) Proporciona un algoritme optimitzat que es fa servir dins un sistema real per a visualització, cerca i recomanació musical, que treballa amb més d'un milió de obres musicals. / Esta tesis doctoral propone y evalúa un enfoque computacional para la descripción automática de aspectos tonales de la música a partir del análisis de señales de audio polifónicas. Estos métodos se centran en calcular descriptores de distribución de notas, en estimar la tonalidad de una pieza, en visualizar la evolución del centro tonal o en medir la similitud tonal entre dos piezas diferentes.Esta tesis contribuye sustancialmente al campo de la descripción tonal mediante métodos computacionales: a) Proporciona una revisión multidisciplinar de los sistemas de estimación de la tonalidad; b) Define una serie de requerimientos que deben cumplir los descriptores tonales de bajo nivel; c) Proporciona una evaluación cuantitativa y modular de los métodos propuestos; d) Respalda la idea de que para ciertas aplicaciones no es necesario obtener una transcripción perfecta de la partitura, y que se pueden utilizar métodos que trabajan con partituras sin realizar una transcripción automática; e) Extiende la literatura existente que trabaja con música clásica a otros géneros musicales; f) Demuestra la utilidad de los descriptores tonales para comparar piezas musicales; g) Proporciona un algoritmo optimizado que se utiliza en un sistema real para visualización, búsqueda y recomendación musical, que trabaja con mas de un millón de piezas musicales. / This doctoral dissertation proposes and evaluates a computational approach for the automatic description of tonal aspects of music from the analysis of polyphonic audio signals. These algorithms focus on the computation of pitch class distributions descriptors, the estimation of the key of a piece, the visualization of the evolution of its tonal center or the measurement of the similarity between two different musical pieces.This dissertation substantially contributes to the field of computational tonal description: a) It provides a multidisciplinary review of tonal induction systems; b) It defines a set of requirements for low-level tonal features; c) It provides a quantitative and modular evaluation of the proposed methods; d) It contributes to bridge the gap between audio and symbolic-oriented methods without the need of a perfect transcription; e) It extents current literature dealing with classical music to other musical genres; f) It shows the usefulness of tonal descriptors for music similarity; g) It provides an optimized method which is used in a real system for music visualization and retrieval, working with over a million of musical pieces.

Este estudo se dedica a uma parte pouco conhecida dos trabalhos de Leonhard Euler (1707 - 1783) relacionado à música enquanto uma ciência matemática. Tais trabalhos mostram, em certo sentido, um lado pitagórico do pensador e também algumas contribuições do mesmo à teoria musical. O interesse deste matemático pelo assunto permeia várias obras e épocas de sua vida, mas neste trabalho focamos em três delas: um conjunto de nove cartas que compõem a obra Lettres a une princesse dAllemagne sur divers sujets de physique e de philosophie (1768) e dois artigos, Conjecture sur la raison de quelques dissonances generalement reçues dans la musique (1766) e De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (1774). Para possibilitar uma melhor compreensão desses textos, faremos uma revisão histórica do tratamento aritmético dado à música desde os tempos clássicos até o Renascimento com enfoque nas principais contribuições que levam à construção da escala da entonação pura ou justa, trabalhada por Euler nos originais estudados. Após a apresentação e análise desses trabalhos eulerianos, especialmente seus diagramas para representar sons e acordes e do seu expoente de um acorde para medir consonâncias, terminaremos essa dissertação refletindo sobre as implicações pedagógicas e históricas, bem como as potencialidades e limitações do uso de fontes originais de determinados mestres do pensamento matemático ocidental, nomeadamente o próprio Euler, na formação de matemáticos, professores e licenciados. / This present research takes a journey into a little know part of Leonhard Eulers works about music as a mathematical science. Those works show, at certain level, his Pythagorean thoughts and also his contributions to music theory. Eulers interest for this subject permeates many of his works through his lifetime (1707 - 1783), but here we focus on three of them: a set of nine letters from the book Lettres a une princesse dAllemagne sur divers sujets de physique e de philosophie (1768), and two articles, Conjecture sur la raison de quelques dissonances generalement reçues dans la musique (1766) and De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis (1774). To allow a better understanding of his ideas, first we put on a historical review of the arithmetic treatment of music since the ancient Greece to the Renaissance Era pointing out the main contributions to the development of the pure just intonation scale, the one used by Euler on the works just mentioned. After presenting and analyzing these Eulers contributions, specially his diagrams to represent sounds and chords to the eyes and the concept of exponent of a chord to measure consonances, we conclude this dissertation thinking about the pedagogical and historical impact, and also the potential and limitations concerning the use of historical sources of the masters of mathematics, to the training of future mathematics and teachers.