L'algèbre linéaire numérique a connu depuis quelques décennies des développements intensifs <br />autant au niveau mathématique qu'informatique qui ont permis d'aboutir à de véritable standard <br />logiciel comme BLAS ou LAPACK.<br />Dans le cadre du calcul exact ou formel, la situation n'est pas aussi avancée, en particulier<br />à cause de la diversité des problématiques et de la jeunesse des progrès théoriques.<br />Cette thèse s'inscrit dans une tendance récente qui vise à fédérer des codes performants<br />provenant de bibliothèques spécialisées au sein d'une unique plateforme de calcul.<br />En particulier, l'émergence de bibliothèques robustes et portables comme GMP ou NTL pour le calcul exact <br />s'avére être un réel atout pour le développement d'applications en algèbre linéaire exacte.<br />Dans cette thèse, nous étudions la faisabilité et la pertinence de la réutilisation de codes spécialisés pour <br />développer une bibliothèque d'algèbre linéaire exacte performante, à savoir la bibliothèque LinBox.<br />Nous nous appuyons sur les mécanismes C++ de programmation générique (classes abtraites, classes templates)<br /> pour fournir une abstraction des composantes mathématiques et ainsi permettre le plugin de composants externes.<br />Notre objectif est alors de concevoir et de valider des boîtes à outils génériques haut niveau dans LinBox pour <br />l'implantation d'algorithmes en algèbre linéaire exacte. <br />En particulier, nous proposons des routines de calcul hybride "exact/numérique" pour des matrices denses sur un corps finis permettant d'approcher les performances obtenues par des bibliothèques numériques comme LAPACK.<br />À un plus haut niveau, ces routines nous permettent de valider la réutilisation de codes spécifiques sur un problème <br />classique du calcul formel: la résolution de systèmes linéaires diophantiens.<br />La bibliothèque LinBox est disponible à www.linalg.org.

Cette thèse étudie les formes normales rationnelles de perturbations de matrices en vue de la résolution du problème de perturbations pour les valeurs propres : le comportement asymptotique des valeurs propres d'une perturbation de matrice pouvant être entièrement décrit à partir de seulement quelques monômes du polynôme caractéristique, il s'agit essentiellement d'arriver à "lire" ces invariants matriciels directement sur la matrice de départ (perturbations quasi-génériques) ou, à défaut, sur une perturbation qui lui soit semblable (forme réduite). Partant des travaux de Moser et de Lidskii, on propose deux premières formes réduites, chacune étant associée à une famille de perturbations quasi-génériques. Des algorithmes de réduction par similitude polynomiale ainsi que les formes normales correspondantes sont également présentés. Enfin, une généralisation d'un théorème de Lidskii indique une troisième forme réduite, pour laquelle le problème de départ est complètement résolu. L'ensemble de ces résultats trouve une interprétation simple avec le polygone de Newton et l'implantation en Maple des algorithmes proposés a permis de développer une première "boîte à outils" pour les perturbations de matrices.

Dans ce mémoire de thèse, nous développons d'abord des multiplications matricielles efficaces. Nous créons de nouveaux ordonnancements qui permettent de réduire la taille de la mémoire supplémentaire nécessaire lors d'une multiplication du type Winograd tout en gardant une bonne complexité, grâce au développement d'outils externes ad hoc (jeu de galets), à des calculs fins de complexité et à de nouveaux algorithmes hybrides. Nous utilisons ensuite des technologies parallèles (multicœurs et GPU) pour accélérer efficacement la multiplication entre matrice creuse et vecteur dense (SpMV), essentielles aux algorithmes dits /boîte noire/, et créons de nouveaux formats hybrides adéquats. Enfin, nous établissons des méthodes de /design/ générique orientées vers l'efficacité, notamment par conception par briques de base, et via des auto-optimisations. Nous proposons aussi des méthodes pour améliorer et standardiser la qualité du code de manière à pérenniser et rendre plus robuste le code produit. Cela permet de pérenniser de rendre plus robuste le code produit. Ces méthodes sont appliquées en particulier à la bibliothèque de calcul exact LinBox.

Dans ce mémoire de thèse, nous développons d'abord des multiplications matricielles efficaces. Nous créons de nouveaux ordonnancements qui permettent de réduire la taille de la mémoire supplémentaire nécessaire lors d'une multiplication du type Winograd tout en gardant une bonne complexité, grâce au développement d'outils externes ad hoc (jeu de galets), à des calculs fins de complexité et à de nouveaux algorithmes hybrides. Nous utilisons ensuite des technologies parallèles (multicœurs et GPU) pour accélérer efficacement la multiplication entre matrice creuse et vecteur dense (SpMV), essentielles aux algorithmes dits /boîte noire/, et créons de nouveaux formats hybrides adéquats. Enfin, nous établissons des méthodes de /design/ générique orientées vers l'efficacité, notamment par conception par briques de base, et via des auto-optimisations. Nous proposons aussi des méthodes pour améliorer et standardiser la qualité du code de manière à pérenniser et rendre plus robuste le code produit. Cela permet de pérenniser de rendre plus robuste le code produit. Ces méthodes sont appliquées en particulier à la bibliothèque de calcul exact LinBox. / We first expose in this memoir efficient matrix multiplication techniques. We set up new schedules that allow us to minimize the extra memory requirements during a Winograd-style matrix multiplication, while keeping the complexity competitive. In order to get them, we develop external tools (pebble game), tight complexity computations and new hybrid algorithms. Then we use parallel technologies (multicore CPU and GPU) in order to accelerate efficiently the sparse matrix--dense vector multiplication (SpMV), crucial to /blackbox/ algorithms and we set up new hybrid formats to store them. Finally, we establish generic design methods focusing on efficiency, especially via building block conceptions or self-optimization. We also propose tools for improving and standardizing code quality in order to make it more sustainable and more robust. This is in particular applied to the LinBox computer algebra library.

Le calcul scientifique est souvent associé au calcul numérique. Pourtant dans de nombreuses disciplines scientifiques il est nécessaire d'aller au-delà du calcul approché : nécessité de certification des résultats, calculs dans des structures mathématiques discrètes, instabilité des algorithmique numériques. Le calcul exact s'attache donc à donner des résultats exacts ou certifiés. Cependant, la principale obstruction à l'utilisation du Calcul Formel est bien souvent les faibles performances des systèmes commerciaux y compris pour les opérations fondamentales comme l'algèbre linéaire. L'objectif de ces travaux est donc de réduire l'écart entre le calcul exact et le calcul numérique, tant sur le plan algorithmique, que sur le plan logiciel. Les défis sont multiples : développer une arithmétique efficace dans les structures discrètes ; concevoir des algorithmes ayant un terme dominant de complexité optimal même en tenant compte de la croissance des données intermédiaires ; transcrire ces algorithmes dans des logiciels combinant efficacité pérenne, interfaçage et généricité.