Cette thèse est consacrée à l’étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu’une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l’algèbre de Faà di Bruno et l’algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l’algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d’algèbres de Hopf, qui interpole entre l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l’algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l’antipode de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d’inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l’antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d’autres propriétés combinatoires de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative et d’autres résultats permettant d’étudier les deux familles d’algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d’autres formes de la formule d’inversion de Lagrange non commutative en donnant d’autres formules qui calculent l’antipode de la deuxième déformation. / This thesis is devoted to study one-parameter families of coproducts on symmetric functionsand their noncommutative analogues. We show, by introducing an appropriate basis,that a one-parameter family of Hopf algebras introduced by Foissy interpolates between theFa`a di Bruno algebra and the Farahat-Higman algebra. The structure constants in this basisare deformations of the structure constants of the Farahat-Higman algebra in the basis ofprojections of conjugacy classes. For these deformed structure constants, we obtain an analogueof the Macdonald formulas.Foissy has also introduced a noncommutative analogue of this family of Hopf algebras. Itinterpolates between the Hopf algebra of noncommutative symmetric functions and the noncommutativeFa`a di Bruno algebra. First, we give a new combinatorial interpretation ofthe Brouder-Frabetti-Krattenthaler formula for the antipode of the noncommutative Fa`a diBruno algebra, that is a form of the noncommutative Lagrange inversion formula. Then, wegive a one-parameter deformation of this formula. Namely, it is an explicit formula for theantipode of the noncommutative family.We also give other combinatorial properties of the noncommutative Fa`a di Bruno algebra,and other results about the families of Hopf algebras of Foissy. In this way, we generalize otherforms of the noncommutative Lagrange inversion formula. Namely, we give other formulasfor the antipode of the noncommutative family.

Cette thèse est consacrée à l'étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu'une famille à un paramètre d'algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l'algèbre de Faà di Bruno et l'algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l'algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d'algèbres de Hopf, qui interpole entre l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l'algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l'antipode de l'algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d'inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l'antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d'autres propriétés combinatoires de l'algèbre de Faà di Bruno non commutative et d'autres résultats permettant d'étudier les deux familles d'algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d'autres formes de la formule d'inversion de Lagrange non commutative en donnant d'autres formules qui calculent l'antipode de la deuxième déformation.

La première partie de la thèse traite des déformations et quantification de bialgèbres de Lie. L'existence d'une quantification pour chaque bialgèbre de Lie a été démontrée par Etingof et Kazhdan. Dans ce travail, on s'intéresse au cas des bialgèbres de Lie colorée, c'est à dire une structure de bialgèbres de Lie sur un espace gradué par un groupe quelconque et un bicaractère. A cet effet, on adapte la preuve de Etingof et Kazhdan et on introduit une généralisation au cas coloré du grand crochet introduit par Lecomte et Roger. Par ailleurs nous définissons une cohomologie pour les algèbres et bialgèbres de Lie colorées. Dans le deuxième partie de la thèse, on considère les algèbres Hom-associatives et algèbres Hom-Lie. Une algèbre Hom-associative est définie par une multiplication et une application linéaire alpha modifiant l'associativité. On commence cette partie par rappeler des définitions et propriétés des algèbres de type Hom. Ensuite, on définit la cohomologie de Hochschild de type alpha, en donnant ses propriétés. Une étude similaire est faite dans le cas des algèbres Hom-Lie et la cohomologie de Chevalley-Eilenberg, ainsi que pour les Hom-bialgèbres et bialgèbres Hom-Lie. La théorie de déformations formelles introduite par Gerstenhaber met en lien les déformations et la cohomologie. Dans cette thèse on établit une théorie de déformations des algèbres Hom-associatives basée sur la cohomologie de Hochschild de type alpha. Il s'agit de déformer simultanément la multiplication et l'application linéaire. Par ailleurs, on explore la structure d’algèbre de Lie à homotopie près correspondante, telle que les éléments de Maurer-Cartan sont des Hom-algèbres. / In the first part of this thesis, we provide a proof that any color Lie bialgebra can be quantized. This was proved for Lie bialgebras by Etingof and Kazhdan. Here we generalize this proof to color Lie bialgebras, which are Lie bialgebras graded by an arbitrary abelian group and symmetry given by a bicharacter. Before giving the details of the proof, we first recall the definitions and basic properties of color Lie algebras and bialgebras. Also a generalization of the Grand Crochet introduced by Lecomte and Roger to the color setting is given. Using the Grand Crochet, we also provide a cohomology for color Lie bialgebras. In the second part, we study different type of Hom-algebras, especially Hom-Lie and Hom-associative algebras. Hom-algebras are algebras were the defining relations, e.g. the associativity, are twisted by a linear map alpha called structure map. We first recall the relevant definitions. Then we define a new cohomology for Hom-associative and Hom-Lie algebras called alpha-type Hochschild and Chevalley-Eilenberg cohomology respectively. We also show how these cohomologies can be used to study formal deformations, in the sense of Gerstenhaber, of Hom-associative and Hom-Lie algebras. We allow the deformation of the multiplication and the structure map. We also consider alpha type cohomologies for Hom-bialgebras. Moreover, we explore the corresponding homotopy Lie algebra structure such that the Maurer-Cartan elements are Hom-algebras.