We discuss exceptional polynomials, i.e. polynomials over a finite field $k$ that induce bijections over infinitely many finite extensions of $k$. In the first chapters we give the theoretical background to characterize this class of polynomials with Galois theoretic means. This leads to the notion of arithmetic resp. geometric monodromy groups. In the remaining chapters we restrict our attention to polynomials with primitive affine arithmetic monodromy group. We first classify all exceptional polynomials with the fixed field of the affine kernel of the arithmetic monodromy group being of genus less or equal to 2. Next we show that every full affine group can be realized as the monodromy group of a polynomial. In the remaining chapters we classify affine polynomials of a given degree. / In dieser Arbeit werden exzeptionelle Polynome untersucht. Ein über einem endlichen Körper $k$ definiertes Polynom heißt exzeptionell, falls durch dieses auf unendlich vielen endlichen Erweiterungen von $k$ Bijektionen induziert werden. In den ersten Kapiteln legen wir die theoretischen Grundlagen, die uns eine Charakterisierung exzeptioneller Polynome mittels Galoistheorie erlauben. Wir benötigen hierzu insbesondere den Begriff der arithmetischen bzw. geometrischen Monodromiegruppe. In den folgenden Kapiteln behandeln wir schwerpunktmäßig Polynome mit primitiver affiner arithmetischer Monodromiegruppe. Zunächst klassifizieren wir alle exzeptionellen Polynome, die der Bedingung genügen, daß der Fixkörper des affinen Kerns ein Geschlecht kleiner oder gleich 2 besitzt. Danach zeigen wir, daß jede volle affine Gruppe als geometrische Monodromiegruppe eines Polynoms auftritt. In den restlichen Kapiteln klassifizieren wir affine Polynome von vorgegebenem Grad.