Konstanz, Univ., Bachelorarbeit, 2006.

Chemnitz, Techn. Univ., Diplomarb., 2004.

Universiẗat, Diss., 2005--Köln.

Techn. Universiẗat, Diss., 2004--München.

Techn. University, Diss., 2003--Berlin.

University, Diss., 2002--Dortmund.

University, Diss., 2004--Bonn.

We consider competitive location problems where two competing providers place their facilities sequentially and users can decide between the competitors. We assume that both competitors act non-cooperatively and aim at maximizing their own benefits. We investigate the complexity and approximability of such problems on graphs, in particular on simple graph classes such as trees and paths. We also develop fast algorithms for single competitive location problems where each provider places a single facilty. Voting location, in contrast, aims at identifying locations that meet social criteria. The provider wants to satisfy the users (customers) of the facility to be opened. In general, there is no location that is favored by all users. Therefore, a satisfactory compromise has to be found. To this end, criteria arising from voting theory are considered. The solution of the location problem is understood as the winner of a virtual election among the users of the facilities, in which the potential locations play the role of the candidates and the users represent the voters. Competitive and voting location problems turn out to be closely related. / Wir betrachten kompetitive Standortprobleme, bei denen zwei konkurrierende Anbieter ihre Versorger sequenziell platzieren und die Kunden sich zwischen den Konkurrenten entscheiden können. Wir nehmen an, dass beide Konkurrenten nicht-kooperativ agieren und auf die Maximierung ihres eigenen Vorteils abzielen. Wir untersuchen die Komplexität und Approximierbarkeit solcher Probleme auf Graphen, insbesondere auf einfachen Graphklassen wie Bäumen und Pfaden. Ferner entwickeln wir schnelle Algorithmen für kompetitive Einzelstandortprobleme, bei denen jeder Anbieter genau einen Versorger errichtet. Im Gegensatz dazu geht es bei Voting-Standortproblemen um die Bestimmung eines Standorts, der die Benutzer oder Kunden soweit wie möglich zufrieden stellt. Solche Fragestellungen sind beispielsweise bei der Planung öffentlicher Einrichtungen relevant. In den meisten Fällen gibt es keinen Standort, der von allen Benutzern favorisiert wird. Daher muss ein Kompromiss gefunden werden. Hierzu werden Kriterien betrachtet, die auch in Wahlsystemen eingesetzt werden: Ein geeigneter Standort wird als Sieger einer gedachten Wahl verstanden, bei der die möglichen Standorte die zur Wahl stehenden Kandidaten und die Kunden die Wähler darstellen. Kompetitive Standortprobleme und Voting-Standortprobleme erweisen sich als eng miteinander verwandt.

Praktische Optimierungsprobleme beinhalten oft mehrere gleichberechtigte, sich jedoch widersprechende Kriterien. Beispielsweise will man bei einer Reise zugleich möglichst schnell ankommen, sie soll aber auch nicht zu teuer sein. Im ersten Teil dieser Arbeit wird die algorithmische Beherrschbarkeit solcher mehrkriterieller Optimierungsprobleme behandelt. Es werden zunächst verschiedene Lösungsbegriffe diskutiert und auf ihre Schwierigkeit hin verglichen. Interessanterweise stellt sich heraus, dass diese Begriffe für ein einkriterielles Problem stets gleich schwer sind, sie sich ab zwei Kriterien allerdings stark unterscheiden könen (außer es gilt P = NP). In diesem Zusammenhang wird auch die Beziehung zwischen Such- und Entscheidungsproblemen im Allgemeinen untersucht. Schließlich werden neue und verbesserte Approximationsalgorithmen für verschieden Varianten des Problems des Handlungsreisenden gefunden. Dabei wird mit Mitteln der Diskrepanztheorie eine Technik entwickelt, die ein grundlegendes Hindernis der Mehrkriteriellen Optimierung aus dem Weg schafft: Gegebene Lösungen so zu kombinieren, dass die neue Lösung in allen Kriterien möglichst ausgewogen ist und gleichzeitig die Struktur der Lösungen nicht zu stark zerstört wird. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich verschiedenen Aspekten von Gleichungssystemen für (formale) Sprachen. Einerseits werden konjunktive und Boolesche Grammatiken untersucht. Diese sind Erweiterungen der kontextfreien Grammatiken um explizite Durchschnitts- und Komplementoperationen. Es wird unter anderem gezeigt, dass man bei konjunktiven Grammatiken die Vereinigungsoperation stark einschränken kann, ohne dabei die erzeugte Sprache zu ändern. Außerdem werden bestimmte Schaltkreise untersucht, deren Gatter keine Wahrheitswerte sondern Mengen von Zahlen berechnen. Für diese Schaltkreise wird das Äquivalenzproblem betrachtet, also die Frage ob zwei gegebene Schaltkreise die gleiche Menge berechnen oder nicht. Es stellt sich heraus, dass, abhängig von den erlaubten Gattertypen, die Komplexität des Äquivalenzproblems stark variiert und für verschiedene Komplexitätsklassen vollständig ist, also als (parametrisierter) Vertreter für diese Klassen stehen kann. / Practical optimization problems often comprise several incomparable and conflicting objectives. When booking a trip using several means of transport, for instance, it should be fast and at the same time not too expensive. The first part of this thesis is concerned with the algorithmic solvability of such multiobjective optimization problems. Several solution notions are discussed and compared with respect to their difficulty. Interestingly, these solution notions are always equally difficulty for a single-objective problem and they differ considerably already for two objectives (unless P = NP). In this context, the difference between search and decision problems is also investigated in general. Furthermore, new and improved approximation algorithms for several variants of the traveling salesperson problem are presented. Using tools from discrepancy theory, a general technique is developed that helps to avoid an obstacle that is often hindering in multiobjective approximation: The problem of combining two solutions such that the new solution is balanced in all objectives and also mostly retains the structure of the original solutions. The second part of this thesis is dedicated to several aspects of systems of equations for (formal) languages. Firstly, conjunctive and Boolean grammars are studied, which are extensions of context-free grammars by explicit intersection and complementation operations, respectively. Among other results, it is shown that one can considerably restrict the union operation on conjunctive grammars without changing the generated language. Secondly, certain circuits are investigated whose gates do not compute Boolean values but sets of natural numbers. For these circuits, the equivalence problem is studied, i.\,e.\ the problem of deciding whether two given circuits compute the same set or not. It is shown that, depending on the allowed types of gates, this problem is complete for several different complexity classes and can thus be seen as a parametrized) representative for all those classes.

The first part of this thesis deals with the approximability of the traveling salesman problem. This problem is defined on a complete graph with edge weights, and the task is to find a Hamiltonian cycle of minimum weight that visits each vertex exactly once. We study the most important multiobjective variants of this problem. In the multiobjective case, the edge weights are vectors of natural numbers with one component for each objective, and since weight vectors are typically incomparable, the optimal Hamiltonian cycle does not exist. Instead we consider the Pareto set, which consists of those Hamiltonian cycles that are not dominated by some other, strictly better Hamiltonian cycles. The central goal in multiobjective optimization and in the first part of this thesis in particular is the approximation of such Pareto sets. We first develop improved approximation algorithms for the two-objective metric traveling salesman problem on multigraphs and for related Hamiltonian path problems that are inspired by the single-objective Christofides' heuristic. We further show arguments indicating that our algorithms are difficult to improve. Furthermore we consider multiobjective maximization versions of the traveling salesman problem, where the task is to find Hamiltonian cycles with high weight in each objective. We generalize single-objective techniques to the multiobjective case, where we first compute a cycle cover with high weight and then remove an edge with low weight in each cycle. Since weight vectors are often incomparable, the choice of the edges of low weight is non-trivial. We develop a general lemma that solves this problem and enables us to generalize the single-objective maximization algorithms to the multiobjective case. We obtain improved, randomized approximation algorithms for the multiobjective maximization variants of the traveling salesman problem. We conclude the first part by developing deterministic algorithms for these problems. The second part of this thesis deals with redundancy properties of complete sets. We call a set autoreducible if for every input instance x we can efficiently compute some y that is different from x but that has the same membership to the set. If the set can be split into two equivalent parts, then it is called weakly mitotic, and if the splitting is obtained by an efficiently decidable separator set, then it is called mitotic. For different reducibility notions and complexity classes, we analyze how redundant its complete sets are. Previous research in this field concentrates on polynomial-time computable reducibility notions. The main contribution of this part of the thesis is a systematic study of the redundancy properties of complete sets for typical complexity classes and reducibility notions that are computable in logarithmic space. We use different techniques to show autoreducibility and mitoticity that depend on the size of the complexity class and the strength of the reducibility notion considered. For small complexity classes such as NL and P we use self-reducible, complete sets to show that all complete sets are autoreducible. For large complexity classes such as PSPACE and EXP we apply diagonalization methods to show that all complete sets are even mitotic. For intermediate complexity classes such as NP and the remaining levels of the polynomial-time hierarchy we establish autoreducibility of complete sets by locally checking computational transcripts. In many cases we can show autoreducibility of complete sets, while mitoticity is not known to hold. We conclude the second part by showing that in some cases, autoreducibility of complete sets at least implies weak mitoticity. / Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich der Approximierbarkeit des Traveling Salesman Problems, bei welchem man in vollständigen Graphen mit Kantengewichten eine Rundreise mit minimalem Gewicht sucht. Es werden die wichtigsten mehrkriteriellen Varianten dieses Problems betrachtet, bei denen die Kantengewichte aus Vektoren natürlicher Zahlen mit einer Komponente pro Kriterium bestehen. Verschiedene Rundreisen sind bei mehrkriteriellen Kantengewichten häufig unvergleichbar, und dementsprechend existiert oft keine eindeutige optimale Rundreise. Stattdessen fasst man jene Rundreisen, zu denen jeweils keine eindeutig bessere Rundreise existiert, zu der sogenannten Pareto-Menge zusammen. Die Approximation solcher Pareto-Mengen ist die zentrale Aufgabe in der mehrkriteriellen Optimierung und in diesem Teil der Arbeit. Durch Techniken, die sich an Christofides' Heuristik aus der einkriteriellen Approximation orientieren, werden zunächst verbesserte Approximationsalgorithmen für das zweikriterielle metrische Traveling Salesman Problem auf Multigraphen und für analog definierte Hamiltonpfadprobleme entwickelt. Außerdem werden Argumente gegen eine signifikante Verbesserung dieser Algorithmen aufgezeigt. Weiterhin werden mehrkriterielle Maximierungsvarianten des Traveling Salesman Problems betrachtet, bei denen man Rundreisen mit möglichst großem Gewicht in jedem Kriterium sucht. Es werden einkriterielle Techniken auf den mehrkriteriellen Fall übertragen, bei denen man zunächst eine Kreisüberdeckung mit hohem Gewicht berechnet und anschließend pro Kreis die Kante mit dem niedrigsten Gewicht löscht. Die Auswahl einer solchen Kante pro Kreis ist im mehrkriteriellen Fall nicht trivial, weil mehrkriterielle Gewichtsvektoren häufig unvergleichbar sind. Es wird ein allgemeines Lemma entwickelt, welches dieses Problem löst und damit eine Übertragung der einkriteriellen Maximierungsalgorithmen auf den mehrkriteriellen Fall ermöglicht. Dadurch ergeben sich verbesserte, randomisierte Approximationsalgorithmen für die mehrkriteriellen Maximierungsvarianten des Traveling Salesman Problems. Abschließend werden zu diesen Problemvarianten deterministische Algorithmen entwickelt. Der zweite Teil dieser Arbeit widmet sich Redundanzeigenschaften vollständiger Mengen. Eine Menge heißt autoreduzierbar, wenn zu jeder Instanz x eine von x verschiedene Instanz y mit der gleichen Zugehörigkeit zu der Menge effizient berechnet werden kann. Ist die Menge in zwei äquivalente Teile aufspaltbar, so heißt sie schwach mitotisch, und ist diese Aufspaltung durch einen effizient entscheidbaren Separator erreichbar, so heißt sie mitotisch. Zu verschiedenen Reduktionen und Komplexitätsklassen wird die Frage betrachtet, wie redundant ihre vollständigen Mengen sind. Während sich vorherige Forschung in diesem Gebiet hauptsächlich auf Polynomialzeitreduktionen konzentriert, liefert diese Arbeit eine systematische Analyse der Redundanzeigenschaften vollständiger Mengen für typische Komplexitätsklassen und solche Reduktionen, die sich in logarithmischem Raum berechnen lassen. Je nach Größe der Komplexitätsklasse und Stärke der Reduktion werden dabei verschiedene Techniken eingesetzt. Für kleine Komplexitätsklassen wie beispielsweise NL und P werden selbstreduzierbare, vollständige Mengen benutzt, um Autoreduzierbarkeit aller vollständigen Mengen nachzuweisen, während für große Komplexitätsklassen wie beispielsweise PSPACE und EXP Diagonalisierungsmethoden sogar die Mitotizität vollständiger Mengen zeigen. Für dazwischen liegende Komplexitätsklassen wie beispielsweise NP und die übrigen Level der Polynomialzeithierarchie wird Autoreduzierbarkeit vollständiger Mengen über lokales Testen von Berechnungstranskripten gezeigt. Während in vielen Fällen Autoreduzierbarkeit vollständiger Mengen gezeigt werden kann, bleibt häufig die Frage offen, ob diese Mengen auch mitotisch sind. Abschließend wird gezeigt, dass in einigen Fällen Autoreduzierbarkeit vollständiger Mengen zumindest schwache Mitotizität impliziert.