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Artin's Primitive Root Conjecture and its Extension to Compositie ModuliCamire, Patrice January 2008 (has links)
If we fix an integer a not equal to -1 and which is not a perfect square, we are interested in estimating the quantity N_{a}(x) representing the number of prime integers p up to x such that a is a generator of the cyclic group (Z/pZ)*. We will first show how to obtain an aymptotic formula for N_{a}(x) under the assumption of the generalized Riemann hypothesis. We then investigate the average behaviour of N_{a}(x) and we provide an unconditional result. Finally, we discuss how to generalize the problem over (Z/mZ)*, where m > 0 is not necessarily a prime integer. We present an average result in this setting and prove the existence of oscillation.
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Artin's Primitive Root Conjecture and its Extension to Compositie ModuliCamire, Patrice January 2008 (has links)
If we fix an integer a not equal to -1 and which is not a perfect square, we are interested in estimating the quantity N_{a}(x) representing the number of prime integers p up to x such that a is a generator of the cyclic group (Z/pZ)*. We will first show how to obtain an aymptotic formula for N_{a}(x) under the assumption of the generalized Riemann hypothesis. We then investigate the average behaviour of N_{a}(x) and we provide an unconditional result. Finally, we discuss how to generalize the problem over (Z/mZ)*, where m > 0 is not necessarily a prime integer. We present an average result in this setting and prove the existence of oscillation.
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On Artin's primitive root conjectureAmbrose, Christopher Daniel 06 May 2014 (has links)
Artins Vermutung über Primitivwurzeln besagt, dass es zu jeder ganzen Zahl a, die weder 0, ±1 noch eine Quadratzahl ist, unendlich viele Primzahlen p gibt, sodass a eine Primitivwurzel modulo p ist, d.h. a erzeugt eine multiplikative Untergruppe von Q*, dessen Reduktion modulo p Index 1 in (Z/pZ)* hat. Dies wirft die Frage nach Verteilung von Index und Ordnung dieser Reduktion in (Z/pZ)* auf, wenn man p variiert. Diese Arbeit widmet sich verallgemeinerten Fragestellungen in Zahlkörpern: Ist K ein Zahlkörper und Gamma eine endlich erzeugte unendliche Untergruppe von K*, so werden Momente von Index und Ordnung der Reduktion von Gamma sowohl modulo bestimmter Familien von Primidealen von K als auch modulo aller Ideale von K untersucht. Ist Gamma die Gruppe der Einheiten von K, so steht diese Fragestellung in engem Zusammenhang mit der Ramanujan Vermutung in Zahlkörpern. Des Weiteren werden analoge Probleme für rationale elliptische Kurven E betrachtet: Bezeichnet Gamma die von einem rationalen Punkt von E erzeugte Gruppe, so wird untersucht, wie sich Index und Ordnung der Reduktion von Gamma modulo Primzahlen verhalten. Teilweise unter Voraussetzung gängiger zahlentheoretischer Vermutungen werden jeweils asymptotische Formeln in manchen Fällen bewiesen und generelle Schwierigkeiten geschildert, die solche in anderen Fällen verhindern. Darüber hinaus wird eine weitere verwandte Fragestellung betrachtet und bewiesen, dass zu jeder hinreichend großen Primzahl p stets eine Primitivwurzel modulo p existiert, die sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lässt und nach oben im Wesentlichen durch die Quadratwurzel von p beschränkt ist.
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