Darbe konstruojame bonus-malus sistemas, kurios yra finansiškai stabilios bėgant metams. Pasinaudodami sudėtiniu Puasono skirstiniu randame begalinės bonus-malus sistemos koeficientus. Išsprendę kvadratinio minimizavimo uždavinį randame baigtinės bonus-malus sistemos koeficientus. / Mixed Poisson fit is applied to a motor third party liability insurance portfolio in order to construct a bonus–malus system with finite number of classes. The premiums for a bonus-malus system which stays in financial equilibrium over the years are calculated. This is done by minimizing a quadratic function of the difference between the premiums for an optimal BMS with an infinite number of classes and the premiums for a BMS with finite number of classes, weighted by the stationary probability of being in a certain class, and by imposing various constraints on the system.

Darbo tyrimų objektas yra duomenų tyrybos empiriniai Bajeso metodai ir algoritmai, taikomi didelio matavimų skaičiaus didelių populiacijų duomenų analizei. Darbo tyrimų tikslas yra sudaryti metodus ir algoritmus didelių populiacijų neparametrinių hipotezių tikrinimui ir duomenų modelių parametrų vertinimui. Šiam tikslui pasiekti yra sprendžiami tokie uždaviniai: 1. Sudaryti didelio matavimo duomenų skaidymo algoritmą. 2. Pritaikyti didelio matavimo duomenų skaidymo algoritmą neparametrinėms hipotezėms tikrinti. 3. Pritaikyti empirinį Bajeso metodą daugiamačių duomenų komponenčių nepriklausomumo hipotezei tikrinti su skirtingais matematiniais modeliais, nustatant optimalų modelį ir atitinkamą empirinį Bajeso įvertinį. 4. Sudaryti didelių populiacijų retų įvykių dažnių vertinimo algoritmą panaudojant empirinį Bajeso metodą palyginant Puasono-gama ir Puasono-Gauso matematinius modelius. 5. Sudaryti retų įvykių logistinės regresijos algoritmą panaudojant empirinį Bajeso metodą. Darbo metu gauti nauji rezultatai įgalina atlikti didelio matavimo duomenų skaidymą; atlikti didelio matavimo nekoreliuotų duomenų pasirinktų komponenčių nepriklausomumo tikrinimą; parinkti didelių populiacijų retų įvykių optimalų modelį ir atitinkamą empirinį Bajeso įvertinį. Pateikta nesinguliarumo sąlyga Puasono-gama modelio atveju. / The research object is data mining empirical Bayes methods and algorithms applied in the analysis of large populations of large dimensions. The aim and objectives of the research are to create methods and algorithms for testing nonparametric hypotheses for large populations and for estimating the parameters of data models. The following problems are solved to reach these objectives: 1. To create an efficient data partitioning algorithm of large dimensional data. 2. To apply the data partitioning algorithm of large dimensional data in testing nonparametric hypotheses. 3. To apply the empirical Bayes method in testing the independence of components of large dimensional data vectors. 4. To develop an algorithm for estimating probabilities of rare events in large populations, using the empirical Bayes method and comparing Poisson-gamma and Poisson-Gaussian mathematical models, by selecting an optimal model and a respective empirical Bayes estimator. 5. To create an algorithm for logistic regression of rare events using the empirical Bayes method. The results obtained enables us to perform very fast and efficient partitioning of large dimensional data; testing the independence of selected components of large dimensional data; selecting the optimal model in the estimation of probabilities of rare events, using the Poisson-gamma and Poisson-Gaussian mathematical models and empirical Bayes estimators. The nonsingularity condition in the case of the Poisson-gamma model is presented.

The research object is data mining empirical Bayes methods and algorithms applied in the analysis of large populations of large dimensions. The aim and objectives of the research are to create methods and algorithms for testing nonparametric hypotheses for large populations and for estimating the parameters of data models. The following problems are solved to reach these objectives: 1. To create an efficient data partitioning algorithm of large dimensional data. 2. To apply the data partitioning algorithm of large dimensional data in testing nonparametric hypotheses. 3. To apply the empirical Bayes method in testing the independence of components of large dimensional data vectors. 4. To develop an algorithm for estimating probabilities of rare events in large populations, using the empirical Bayes method and comparing Poisson-gamma and Poisson-Gaussian mathematical models, by selecting an optimal model and a respective empirical Bayes estimator. 5. To create an algorithm for logistic regression of rare events using the empirical Bayes method. The results obtained enables us to perform very fast and efficient partitioning of large dimensional data; testing the independence of selected components of large dimensional data; selecting the optimal model in the estimation of probabilities of rare events, using the Poisson-gamma and Poisson-Gaussian mathematical models and empirical Bayes estimators. The nonsingularity condition in the case of the Poisson-gamma model is presented. / Darbo tyrimų objektas yra duomenų tyrybos empiriniai Bajeso metodai ir algoritmai, taikomi didelio matavimų skaičiaus didelių populiacijų duomenų analizei. Darbo tyrimų tikslas yra sudaryti metodus ir algoritmus didelių populiacijų neparametrinių hipotezių tikrinimui ir duomenų modelių parametrų vertinimui. Šiam tikslui pasiekti yra sprendžiami tokie uždaviniai: 1. Sudaryti didelio matavimo duomenų skaidymo algoritmą. 2. Pritaikyti didelio matavimo duomenų skaidymo algoritmą neparametrinėms hipotezėms tikrinti. 3. Pritaikyti empirinį Bajeso metodą daugiamačių duomenų komponenčių nepriklausomumo hipotezei tikrinti su skirtingais matematiniais modeliais, nustatant optimalų modelį ir atitinkamą empirinį Bajeso įvertinį. 4. Sudaryti didelių populiacijų retų įvykių dažnių vertinimo algoritmą panaudojant empirinį Bajeso metodą palyginant Puasono-gama ir Puasono-Gauso matematinius modelius. 5. Sudaryti retų įvykių logistinės regresijos algoritmą panaudojant empirinį Bajeso metodą. Darbo metu gauti nauji rezultatai įgalina atlikti didelio matavimo duomenų skaidymą; atlikti didelio matavimo nekoreliuotų duomenų pasirinktų komponenčių nepriklausomumo tikrinimą; parinkti didelių populiacijų retų įvykių optimalų modelį ir atitinkamą empirinį Bajeso įvertinį. Pateikta nesinguliarumo sąlyga Puasono-gama modelio atveju.

Bajeso metodo taikymas kreditų rizikos valdyme: atlikta įvairių egzistuojančių metodų rizikai valdyti tyrimas, pateiktas analitinėje dalyje, aprašyti kai kurie plačiau naudojami mašininio mokymo ir matematiniai modeliai. Paiūlytas modelis eksperimentui atlikti, atliktas empirinis tyrimas ir pateikti gauti rezultatai, pateiktos išvados ir ateities perspektyvos. / Baysan Method for a Credit Risk Management This paper presents a method combining popular machine learning technique for classification, genetic search as a feature selection method for relevant attribute selection and Altman Z-Score discriminant technique for credit risk evaluation. Bayesian method based classifiers (Naïve Bayes, Bayesian Networks) were explored and used in this article to train classifiers. This method was applied to different sectors in service and industry. Its performance was evaluated using weighted mean accuracy and weighted mean error techniques. In theoretical part several methods were analyzed and described, in the end conclusions and suggestions were pointed.

Įvairių sričių reiškinių matematiniai modeliai apima daug faktorių, kurie yra priklausomi nuo laiko, o taip pat pastebima jų tarpusavio priklausomybė. Vadinasi, norint nagrinėt šių reiškinių kitimo dėsnius, patartina sudaryti šių procesų dinaminį modelį. Šiame darbe dinaminio modelio sudarymui naudojami indikatoriai. Indikatorius tai specialus rodiklis, kuriuo pasinaudojus galima skaitiškai įvertinti svarbius analizuojamos srities faktorius. Indikatorių reikšmės gaunamos iš statistinių duomenų. Diferencialinių lygčių sistemos koeficientams skaičiuoti pristatomi du būdai: algebrinis ir mažiausių kvadratų metodai. Indikatorių išraiškas, gautas išsprendus diferencialinių lygčių sistemą, galima panaudoti prognozavimui. Tačiau įgyvendinant naujus projektus, šias indikatorių išraiškas reikia patikslinti, atsižvelgiant į naujus faktorius. Kadangi naujų faktorių reikšmės nėra tiksliai žinomos (gautos iš ekspertinio vertinimo), jų įtaka sistemai yra išreiškiama atsitiktiniu dydžiu su žinomu tikimybiniu skirstiniu. Naujų faktorių įtaka indikatoriams dinaminiame modelyje yra patikslinama Bajeso metodu. Kaip pavyzdys, sudarytas dinaminis modelis pritaikytas energijos tiekimo saugumo indikatorių modeliavimui. / In many areas mathematical models of processes take into acount variuos time dependent factors, they also can be dependent on each other. Thus, it is advisable to construct a dynamic model. In this master thesis we use indicators to describe dynamic model. An indicator is a special index, which provides numerical values to inportant factors for the investigated sector. The values of indicators are obtained from statistical data. There are presented two calculation ways of differential equations systems coefficients (using algebraic and least square methods). Furthermore created dynamic model enables us to forecast the dynamics of the indicators according to new factors. Since the parameters of different new factors are not exactly known (got from expert judgement), their influence on indicators are expressed as random variables with known probablistic distributions. Indicators model based on historical data is adjusted using a Bayesian approach. For practical demonstration of the proposed dynamic model energy security assessment indicators were chosen.

Pagrindinis darbo tikslas – pritaikyti matematinius ir statistinius metodus lietuvių kalbos analizėje, identifikuojant ir atsižvelgiant į lietuvių kalbos ypatumus, jos heterogeniškumą, sudėtingumą ir variabilumą. / The target of the work is to apply mathematical and statistical methods in the analysis of the Lithuanian language by identifying and taking into account peculiarities of the Lithuanian language, its heterogeneity, complexity and variability.

The target of the work is to apply mathematical and statistical methods in the analysis of the Lithuanian language by identifying and taking into account peculiarities of the Lithuanian language, its heterogeneity, complexity and variability. / Pagrindinis darbo tikslas – pritaikyti matematinius ir statistinius metodus lietuvių kalbos analizėje, identifikuojant ir atsižvelgiant į lietuvių kalbos ypatumus, jos heterogeniškumą, sudėtingumą ir variabilumą.

Vaizdų analizė šiomis dienomis yra labai svarbi dėl plataus pritaikymo daugelyje mokslo ir pramonės sričių. Vienas iš vaizdų analizės įrankių – objekto atpažinimas (klasifikavimas) (angl. pattern recognition). Statistinis objekto atpažinimas, paremtas Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis – šio darbo objektas. Sprendžiama problema – optimalus klasifikavimas stacionaraus Gauso atsitiktinio lauko (GRF) stebinio, į vieną iš dviejų klasių, laikant, kad jis yra priklausomas nuo mokymo imties ir atsižvelgiant į jo ryšius su mokymo imtimi. Pateikta klasifikavimo procedūra, kuri Gauso atsitiktinio lauko stebinius klasifikuoja optimaliai. Yra pasiūlytas naujas klasifikavimo su mokymu metodas, kuris duoda geresnius rezultatus, lyginant su įprastai naudojamomis Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis. Metodas realizuotas R sistemos aplinkoje ir tikrinamas eksperimentų būdu, atstatant vaizdus, sugadintus erdvėje koreliuoto triukšmo. Tokia situacija pasitaiko natūraliai, pavyzdžiui, degant miškui dūmai uždengia nuotolinio stebėjimo vaizdą, gautą iš palydovo. Taip pat tokia situacija gana dažna esant debesuotumui. Esant tokiai situacijai erdvinės priklausomybės įvedimas į klasifikacijos problemą pasiteisina. Pateiktos (išvestos) analitinės klaidų tikimybių išraiškos Bajeso diskriminantinėms funkcijoms, kurios yra kaip šių funkcijų veikimo kriterijus. Ištirta klaidų tikimybių priklausomybė nuo statistinių parametrų reikšmių. / Image analysis is very important because of its usage in many different areas of science and industry. Pattern recognition (classification) is a tool used in image analysis. Statistical pattern recognition, based on Bayes discriminant functions is the object of this work. The main problem is to classify stationary Gaussian random field observation into one off two classes, considering, that it is dependant on training sample ant taking in to account the relationship with training sample. The new supervised classification method, based on Bayes discriminant functions, is proposed and it gives better results comparing with other commonly used Bayes discriminant functions. Method is programmed with R program and investigated experimentally, reconstructing images corrupted by spatially correlated noise. Such situation occurs naturally, for example, during the forest fire smoke covers the remotely sensed image, gathered from the satellite. Also such situation is often during cloudy days. During such situation the incorporation of the spatial dependences into the classification problem is useful. Analytical error rates of Bayes discriminant functions are presented (derived), which are the criterion of these functions. Also, the dependences on statistical parameters are investigated for these error rates.

Image analysis is very important because of its usage in many different areas of science and industry. Pattern recognition (classification) is a tool used in image analysis. Statistical pattern recognition, based on Bayes discriminant functions is the object of this work. The main problem is to classify stationary Gaussian random field observation into one off two classes, considering, that it is dependant on training sample ant taking in to account the relationship with training sample. The new supervised classification method, based on Bayes discriminant functions, is proposed and it gives better results comparing with other commonly used Bayes discriminant functions. Method is programmed with R program and investigated experimentally, reconstructing images corrupted by spatially correlated noise. Such situation occurs naturally, for example, during the forest fire smoke covers the remotely sensed image, gathered from the satellite. Also such situation is often during cloudy days. During such situation the incorporation of the spatial dependences into the classification problem is useful. Analytical error rates of Bayes discriminant functions are presented (derived), which are the criterion of these functions. Also, the dependences on statistical parameters are investigated for these error rates. / Vaizdų analizė šiomis dienomis yra labai svarbi dėl plataus pritaikymo daugelyje mokslo ir pramonės sričių. Vienas iš vaizdų analizės įrankių – objekto atpažinimas (klasifikavimas) (angl. pattern recognition). Statistinis objekto atpažinimas, paremtas Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis – šio darbo objektas. Sprendžiama problema – optimalus klasifikavimas stacionaraus Gauso atsitiktinio lauko (GRF) stebinio, į vieną iš dviejų klasių, laikant, kad jis yra priklausomas nuo mokymo imties ir atsižvelgiant į jo ryšius su mokymo imtimi. Pateikta klasifikavimo procedūra, kuri Gauso atsitiktinio lauko stebinius klasifikuoja optimaliai. Yra pasiūlytas naujas klasifikavimo su mokymu metodas, kuris duoda geresnius rezultatus, lyginant su įprastai naudojamomis Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis. Metodas realizuotas R sistemos aplinkoje ir tikrinamas eksperimentų būdu, atstatant vaizdus, sugadintus erdvėje koreliuoto triukšmo. Tokia situacija pasitaiko natūraliai, pavyzdžiui, degant miškui dūmai uždengia nuotolinio stebėjimo vaizdą, gautą iš palydovo. Taip pat tokia situacija gana dažna esant debesuotumui. Esant tokiai situacijai erdvinės priklausomybės įvedimas į klasifikacijos problemą pasiteisina. Pateiktos (išvestos) analitinės klaidų tikimybių išraiškos Bajeso diskriminantinėms funkcijoms, kurios yra kaip šių funkcijų veikimo kriterijus. Ištirta klaidų tikimybių priklausomybė nuo statistinių parametrų reikšmių.