This dissertation examines properties and representations of several isotropic Gaussian random fields in the unit ball in d-dimensional Euclidean space. First we consider Lévy's Brownian motion. We use an integral representation for the covariance function to find a new expansion for Lévy's Brownian motion as an infinite linear combination of independent standard Gaussian random variables and orthogonal polynomials. Next we introduce a new family of isotropic Gaussian random fields, called the p-processes, of which Lévy's Brownian motion is a special case. Except for Lévy's Brownian motion the p-processes are not locally stationary. All p-processes also have a representation as an infinite linear combination of independent standard Gaussian random variables. We use these expansions of the random fields to simulate Lévy's Brownian motion and the p-processes along a ray from the origin using the Cholesky factorization of the covariance matrix. / Graduation date: 2013

Vaizdų analizė šiomis dienomis yra labai svarbi dėl plataus pritaikymo daugelyje mokslo ir pramonės sričių. Vienas iš vaizdų analizės įrankių – objekto atpažinimas (klasifikavimas) (angl. pattern recognition). Statistinis objekto atpažinimas, paremtas Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis – šio darbo objektas. Sprendžiama problema – optimalus klasifikavimas stacionaraus Gauso atsitiktinio lauko (GRF) stebinio, į vieną iš dviejų klasių, laikant, kad jis yra priklausomas nuo mokymo imties ir atsižvelgiant į jo ryšius su mokymo imtimi. Pateikta klasifikavimo procedūra, kuri Gauso atsitiktinio lauko stebinius klasifikuoja optimaliai. Yra pasiūlytas naujas klasifikavimo su mokymu metodas, kuris duoda geresnius rezultatus, lyginant su įprastai naudojamomis Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis. Metodas realizuotas R sistemos aplinkoje ir tikrinamas eksperimentų būdu, atstatant vaizdus, sugadintus erdvėje koreliuoto triukšmo. Tokia situacija pasitaiko natūraliai, pavyzdžiui, degant miškui dūmai uždengia nuotolinio stebėjimo vaizdą, gautą iš palydovo. Taip pat tokia situacija gana dažna esant debesuotumui. Esant tokiai situacijai erdvinės priklausomybės įvedimas į klasifikacijos problemą pasiteisina. Pateiktos (išvestos) analitinės klaidų tikimybių išraiškos Bajeso diskriminantinėms funkcijoms, kurios yra kaip šių funkcijų veikimo kriterijus. Ištirta klaidų tikimybių priklausomybė nuo statistinių parametrų reikšmių. / Image analysis is very important because of its usage in many different areas of science and industry. Pattern recognition (classification) is a tool used in image analysis. Statistical pattern recognition, based on Bayes discriminant functions is the object of this work. The main problem is to classify stationary Gaussian random field observation into one off two classes, considering, that it is dependant on training sample ant taking in to account the relationship with training sample. The new supervised classification method, based on Bayes discriminant functions, is proposed and it gives better results comparing with other commonly used Bayes discriminant functions. Method is programmed with R program and investigated experimentally, reconstructing images corrupted by spatially correlated noise. Such situation occurs naturally, for example, during the forest fire smoke covers the remotely sensed image, gathered from the satellite. Also such situation is often during cloudy days. During such situation the incorporation of the spatial dependences into the classification problem is useful. Analytical error rates of Bayes discriminant functions are presented (derived), which are the criterion of these functions. Also, the dependences on statistical parameters are investigated for these error rates.

Image analysis is very important because of its usage in many different areas of science and industry. Pattern recognition (classification) is a tool used in image analysis. Statistical pattern recognition, based on Bayes discriminant functions is the object of this work. The main problem is to classify stationary Gaussian random field observation into one off two classes, considering, that it is dependant on training sample ant taking in to account the relationship with training sample. The new supervised classification method, based on Bayes discriminant functions, is proposed and it gives better results comparing with other commonly used Bayes discriminant functions. Method is programmed with R program and investigated experimentally, reconstructing images corrupted by spatially correlated noise. Such situation occurs naturally, for example, during the forest fire smoke covers the remotely sensed image, gathered from the satellite. Also such situation is often during cloudy days. During such situation the incorporation of the spatial dependences into the classification problem is useful. Analytical error rates of Bayes discriminant functions are presented (derived), which are the criterion of these functions. Also, the dependences on statistical parameters are investigated for these error rates. / Vaizdų analizė šiomis dienomis yra labai svarbi dėl plataus pritaikymo daugelyje mokslo ir pramonės sričių. Vienas iš vaizdų analizės įrankių – objekto atpažinimas (klasifikavimas) (angl. pattern recognition). Statistinis objekto atpažinimas, paremtas Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis – šio darbo objektas. Sprendžiama problema – optimalus klasifikavimas stacionaraus Gauso atsitiktinio lauko (GRF) stebinio, į vieną iš dviejų klasių, laikant, kad jis yra priklausomas nuo mokymo imties ir atsižvelgiant į jo ryšius su mokymo imtimi. Pateikta klasifikavimo procedūra, kuri Gauso atsitiktinio lauko stebinius klasifikuoja optimaliai. Yra pasiūlytas naujas klasifikavimo su mokymu metodas, kuris duoda geresnius rezultatus, lyginant su įprastai naudojamomis Bajeso diskriminantinėmis funkcijomis. Metodas realizuotas R sistemos aplinkoje ir tikrinamas eksperimentų būdu, atstatant vaizdus, sugadintus erdvėje koreliuoto triukšmo. Tokia situacija pasitaiko natūraliai, pavyzdžiui, degant miškui dūmai uždengia nuotolinio stebėjimo vaizdą, gautą iš palydovo. Taip pat tokia situacija gana dažna esant debesuotumui. Esant tokiai situacijai erdvinės priklausomybės įvedimas į klasifikacijos problemą pasiteisina. Pateiktos (išvestos) analitinės klaidų tikimybių išraiškos Bajeso diskriminantinėms funkcijoms, kurios yra kaip šių funkcijų veikimo kriterijus. Ištirta klaidų tikimybių priklausomybė nuo statistinių parametrų reikšmių.

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Le but de cette thèse est de définir puis d'étudier différentes notions d'irrégularité uniforme ou ponctuelle permettant de traduire le fait qu'une fonction peut avoir des 'grands accroissements' à toutes les échelles. Pour cela on 'inverse' les notions de régularité Höldérienne usuelles. L'objectif principal du travail est ensuite de relier ces différentes notions à la théorie des ondelettes. Les critères ondelettes établis vont ainsi permettre de définir des fonctions ou des champs aléatoires dont le comportement est différent suivant la gamme d'échelles considérée. Par ailleurs, si on se place du point de vue ponctuel, une question naturelle est celle de la définition d'une analyse multifractale -dite faible- liée à la notion d'irrégularité ponctuelle. Les ondelettes vont alors permettre de définir des séries d'ondelettes multifractales pour l'irrégularité ponctuelle. Enfin, nous étudions des exemples de champs aléatoires où des propriétés de régularité directionelle apparaissent. Nous nous sommes ainsi centré sur l'étude d'un modèle de champ aléatoire gaussien particulier vérifiant une relation d'autosimilarité matricielle. Nous avons ensuite généralisé ce modèle et introduit des champs gaussiens autosimilaires par rapport à un groupe / The main purpose of this thesis is the definition and the study of different concepts of uniform or pointwise irregularity which enable one to account for the fact that a function may have 'large increments' at any scales. To this end, we 'invert' the usual notions of Hölderian regularity. The main goal is then to relate these different concepts to wavelet theory. The wavelet criteria supplied enable to define functions or random fields the behavior of which differ with respect the family of scales chosen. Moreover, if we consider the pointwise point of view, a natural question is that of the definition of a weak multifractal analysis related to pointwise irregularity. Finally, we study examples of random fields with some properties of directional regularity. Thus we focus on the study of a special model of operator scaling Gaussian field. We then extend this model and introduced group self-similar Gaussian fields

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Cette thèse est une contribution à la construction de l’Approche Locale de la rupture à l’échelle microscopique à l’aide de la modélisation d’agrégats polycristallins. Elle consiste à prendre en compte la variabilité spatiale de la microstructure du matériau. Pour ce faire, la modélisation micromécanique du matériau est réalisée par la simulation d’agrégats polycristallins par éléments finis. Les champs aléatoires de contrainte (principale maximale et de clivage) dans le matériau qui représentent la variabilité spatiale de la microstructure sont ensuite modélisés par un champ aléatoire gaussien stationnaire ergodique. Les propriétés de variabilité spatiale de ces champs sont identifiés par une méthode d’identification, e.g. méthode du périodogramme, méthode du variogramme, méthode du maximum de vraisemblance. Des réalisations synthétiques des champs de contraintes sont ensuite simulées par une méthode de simulation, e.g. méthode Karhunen-Loève discrète, méthode “Circulant Embedding”, méthode spectrale, sans nouveau calcul aux éléments finis. Enfin, le modèle d’Approche Locale de la rupture par simulation de champ de contrainte de clivage permettant d’y intégrer les réalisations simulées du champ est construit pour estimer la probabilité de rupture du matériau. / This thesis is a contribution to the construction of the Local Approach to fracture at the microscopic scale using polycrystalline aggregate modeling. It consists in taking into account the spatial variability of the microstructure of the material. To do this, the micromechanical modeling is carried out by finite element analysis of polycrystalline aggregates. The random stress fields (maximum principal et cleavage stress) in the material representing the spatial variability of the microstructure are then modeled by a stationary ergodic Gaussian random field. The properties of the spatial variability of these fields are identified by an identification method, e.g. periodogram method, variogram method, maximum likelihood method. The synthetic realizations of the stress fields are then simulated by a simulation method, e.g. discrete Karhunen-Loève method, circulant embedding method, spectral method, without additional finite element calculations. Finally, a Local Approach to fracture by simulation of the cleavage stress field using the simulated realizations is constructed to estimate the rupture probability of the material.

Les tessellations, aussi appelées mosaïques, permettent de modéliser de nombreuses structures, comme des assemblages de cellules en biologie ou de grains en science des matériaux. La tessellation aléatoire la plus connue est le diagramme de Voronoï qui à partir d'un ensemble de points, appelés germes, partitionne le plan. L'approche innovante de cette thèse est d'utiliser des champs aléatoires gaussiens pour générer des germes et des distances aléatoires, qui vont permettre de simuler une grande variété de tessellations en termes de formes et de tailles des cellules.Pour connaître les propriétés des tessellations simulées à partir de champs aléatoires gaussiens, celles-ci vont être caractérisées et comparées à d'autres tessellations. Tout d'abord par une approche ponctuelle en étudiant les germes, dont leur distribution spatiale. Puis par une approche par région, en étudiant la géométrie et la morphométrie des cellules.L'endothélium cornéen humain est une monocouche de cellules formant un pavage hexagonal régulier à la naissance, et perdant de sa régularité ensuite. La qualité du greffon cornéen est donnée par certaines observations, comme la densité, l'homogénéité de la forme et des tailles des cellules endothéliales.L'évolution avec l'âge de cette mosaïque cornéenne va être caractérisée à partir d’une base d’images de l’endothélium. L'originalité est ensuite d'effectuer une estimation de l'âge d’un endothélium à partir des différentes mesures permettant de caractériser les tessellations, et enfin de mettre en place une méthode prometteuse afin de savoir si une cornée a une évolution normale. / Tessellations, also called mosaics, are used to model many structures, for example cellular arrangements in biology or grains in material science. The most known tessellation is the Voronoï diagram which partitions the space from a set of points, called germs. The innovative approach of this thesis is to use Gaussian random fields to generate germs and random distances. The use of random fields allows to simulate a great variety of tessellations in terms of cells forms and sizes.To study the properties of each type of tessellation, they are characterized: first, by studying the germs, including their spatial distribution, and then by analyzing the cells geometry and morphometry. These tessellations are also compared to other known tessellations.The human corneal endothelium is a mono-layer of cells forming a regular hexagonal mosaic at birth, and losing his regularity later. The corneal graft quality is given by some observations made on the endothelial mosaic (cells density, the homogeneity of cells sizes and shapes).A database of endothelium images allows to characterize the evolution with age of the corneal mosaic. The originality is to estimate the age of an endothelium based on the measures computed to characterize the tessellations, and finally to set up a promising method to evaluate if a corneal evolution is normal.