In this thesis, we study the Cauchy problem for an elliptic equation. We use Dirichlet-Robin iterations for solving the Cauchy problem. This allows us to include in our consideration elliptic equations with variable coefficient as well as Helmholtz type equations. The algorithm consists of solving mixed boundary value problems, which include the Dirichlet and Robin boundary conditions. Convergence is achieved by choice of parameters in the Robin conditions. We have also reformulated the Cauchy problem for the Helmholtz equation as an operator equation. We investigate the conditions under which this operator equation is well-defined. Furthermore, we have also discussed possible extensions to the case where the Helmholtz operator is replaced by non-symmetric differential operators by using similar operator equations and model problems which are used for symmetric differential operators. We have observed that the Dirichlet - Robin iterations are equivalent to the classical Landweber iterations. Having formulated the problem in terms of an operator equation is an advantage since it lets us to implement more sophisticated iterative methods based on Krylov subspaces. In particular, we consider the Conjugate gradient method (CG) and the Generalized minimal residual method (GMRES). The numerical results shows that all the methods work well. / <p>Funding agencies: ISP and the Eastern African UniversitiesMathematics Programme (EAUMP)</p>

We have studied examples of random walk methods (RWM) applied to electric problems, solving the Laplace equation. Especially we did calculationswith digital pictures as domains, and evaluated an improvement in calculation speed for the random walk method. The latter was done by varying thestep length depending on the distance to boundaries and obstructions in thedomain. Statistical numerical experiments have been used to see if the improved method had an effect on the accuracy of the solution. The results inthis work have been compared with the finite element method (FEM) usingthe commercial software Comsol. We have looked at four different geometrieswith varying complexity with respect to inner boundary conditions.

AbstractMaxwell’s laws state that the divergence of a magnetic field always remains zero. In thecontinuous setting this is true for the magnetohydrodynamics equations. However, in thediscrete setting, the solution does not always remain divergence-free. The goal of this project isto find two-dimensional finite element meshes for which the magnetic field solution to themagnetohydrodynamics equations remained divergence-free. The report includes the derivationfor a condition of a divergence-free mesh, examples of meshes for which this condition holdstrue, and lastly numerical results to confirm that the solutions using these meshes aredivergence-free.

A finite difference scheme for the incompressible Navier-Stokes equations in 2-dimensionalcurvilinear coordinates is derived. The scheme uses high-order Summation-By-Parts operatorsand boundaries are handled by the Projection method. Using the energy method, the scheme isproven stable and well-posed with Dirichlet boundary conditions for general curvilineartransforms. Numerical tests show convergence of the scheme for high-order operators on theTaylor-Green vortex problem using three different transformations. Furthermore, the Lid-drivencavity problem is tested and it shows that employing curvilinear transforms to create a densergrid near boundaries can achieve greater accuracy when observing boundary layer effects.

This thesis presents a vertex repositioning based boundary smoothing technique so that the finite element mesh, as refined, converges to the geometric shape of the domain. Adaptive mesh refinements based on a posteriori error estimates is already available within FEniCS, a free software for automated solution of differential equations. However, as the refinement process runs independently of theCAD (Computer-Aided Design) data, once the initial mesh is created the geometric shape is fixed and remains unchanged. The proposed technique removes this limitation enabling the mesh to be reshaped during the mesh refinement process according to the geometry. In the proposed technique, upon mesh refinements,the boundary vertices are repositioned to the orthogonal projection point on to the surface geometry. Newton iteration based iterative closest point algorithms have been used to search points projection on to the geometry represented as NURBS (Nonuniform Rational B-splines). For the new boundary vertices, old neighbor-nodes’ projection data have been used for obtaining an initial guess for the Newton’s iteration. Projection parameters for the boundary vertices of an initial coarse mesh is gathered using exhaustive search for points projection on the whole geometry. Once the mesh boundary vertices are repositioned, positions of the internal vertices are adjusted using mesh smoothing. Experimental results show that the method is sufficiently accurate and efficient for both 2D and 3D problems for some simple test cases. Inverted cells, which could invalidate the mesh, are not developed. Cell based mesh quality analysis and time performance analysis have been presented. Experimentally, it has been shown that using the proposed technique it is sufficient to start with a coarse mesh all over the domain and adaptively refine the mesh and the coarse mesh, as refined, captures the curved geometry more accurately. Since the proposed technique does not change the mesh topology and the finite element solver or mesh elements are not required to be changed, the developed tools can be plugged in to the finite element solver without much involvements. Although the tools are developed to become integrated parts of FEniCS, the parts representing geometric data manipulation can be used with other applications as well. Implementations in this thesis are limited for single NURBS patch geometry only and recommendations are given for future improvements to incorporate multiple patch NURBS geometry and trimmed NURBS.

This thesis addresses the problem with minimizing the cost of labor shifts for the workforce at an airport. The cost of idle time is specifically a difficulty for the employer. With idle time means time that it is not a break at the same time as there is no work task to be performed. This originates from big variations in the traffic flow which lead to the workload to be characterized by peaks and valleys. This situation has increased the demand among airport service companies for efficient staff schedules. Even small reductions of the idle time mean considerable savings for the employer. This thesis uses authentic data from an international airport in Europe. The method used to solve the task is an algorithm based on column generation. The mathematical model used has a high flexibility and handles breaks, multi-activity, such as boarding, and non-splittable tasks, in other words tasks that has to be performed by one employee in one shift. The subproblem is a binary integer program that generates feasible shifts following certain rules and is solved using a commercial solver. The results have shown possible improvements. In the best test scenario, the idle time is reduced to 4.7 percent of the total worktime. There is room for improvement of the model and the results. One possible improvement is to reduce the running time of the program which also could lead to improved results. / Det här arbetet adresserar problemet med att minimera skiftkostnaderna för arbetskraften på flygplatser. Speciellt är det tom arbetstid som innebär kostnader för arbetsgivaren. Med tom arbetstid menas att det inte är rast samtidigt som ingen arbetsuppgift finns att utföra. Detta är en följd av stora variationer i trafikflödet vilket leder till att arbetsbördan utmärks av toppar och dalar. Av den anledningen är efterfrågan hög på effektiva scheman för de anställda hos de aktörer som sysslar med service på flygplatser. Även en liten minskning av tomtiden innebär betydande besparingar för arbetsgivaren. Arbetet bygger på autentiska data om arbetsuppgifter och personal vid en europeisk storflygplats. Metoden som används för att lösa uppgiften är en algoritm baserad på kolumngenerering i en matematisk modell med hög flexibilitet. Den hanterar raster, flera aktiviteter, som boarding, samt odelbara uppgifter, det vill säga uppgifter som måste utföras av en person under ett skift. Underproblemet är skrivet som ett binärt heltalsprogram och genererar tillåtna skift enligt ett antal regler och löses med ett kommersiellt lösningsprogram. Resultaten har visat på möjliga effektiviseringar. I det bästa testscenariot reduceras tomtiden till 4,7 procent av den totala arbetstiden. Det finns utrymme att förbättra modellen och resultaten, bland annat genom att förkorta tiden att köra programmet vilket också i sin tur kan förbättra resultaten.

The aim of this thesis is to present and validate a boundary condition formulation for CFD problems that includes a friction parameter. In the first part of the thesis the incompressible Navier-Stokes system of equations and the friction boundary conditions are presented. Then the Finite Element methodology that is used to discretize the problem is given, with particular emphasis to the a-posteriori error estimate, the adaptive algorithm and the numerical tripping included in the flow. Moreover, since FEniCS-HPC is the software on which this thesis leans on, its framework is explained, together with its powerful parallelization strategy. Then the weak formulation of the Navier Stokes system of equation coupled with friction boundary conditions is presented, together with an initial theoretical derivation of the friction coefficient optimal values. Furthermore, in the last chapter, the preliminary results of a validation study for the lift coefficient of the NACA0012 airfoil benchmark model are included and commented in detail. Even if there still are some aspects to be elucidated, we believe that our preliminary results are very promising and that they open a new pathway for simulation development in aerodynamics-related models. / Målet med denna avhandling är att presentera och validera ett rand-villkor för CFD problem som inkluderar en friktionsparameter. I den första delen av avhandlingen presenterar vi det inkompressibla Navier-Stokes system av ekvationer och dess randvillkor för friktion. Sedan använder vi oss av Finita Elementmetoden som används för att diskretisera problemet som är presenterat, med en särskild betoning på a posteriori feluppskattningen, den adaptiva algoritmen och den numeriska trippingen som fanns med i flödet. Eftersom denna avhandling helt lutar sig mot FEniCS-HPC mjukvara, förklaras dess ramverk, tillsammans med dess kraftfulla parallelliseringsstrategi. Därefter pre-senterar vi den svaga formuleringen av Navier-Stokes system av ekvationer kopplad till friktionsgränserna, tillsammans med en initiell teoretisk härledning av friktionskoefficientens optimala värden. Vidare, i det sista kapitlet, presenteras de preliminära resultaten av en valide-ringsstudie av lyftkoefficienten för modellen som använts vid benchmarking av NACA0012:s bärytan, som är kommenterad i detalj. Även om det fortfarande finns aspekter som bör belysas tror vi att vårt preliminära resultat är väldigt lovande och att det öppnar en ny väg för simuleringsutveckling i aerodynamikrelaterade modeller.

Approximating a function from a few data points is of great importance in fields where data is scarce, like, for example, in robotics applications. Recently, scalable and expressive parametric models like deep neural networks have demonstrated superior performance on a wide variety of function approximation tasks when plenty of data is available –however, these methods tend to perform considerably worse in low-data regimes which calls for alternative approaches. One way to address such limitations is by leveraging prior information about the function class to be estimated when such data is available. Sometimes this prior may be known in closed mathematical form but in general it is not. This the-sis is concerned with the more general case where the prior can only be sampled from, such as a black-box forward simulator. To this end, we propose a simple and scalable approach to learning a prior over functions by training a neural network on data from a distribution of related functions. This steps amounts to building a so called latent task embedding where all related functions (tasks) reside and which later can be efficiently searched at task-inference time - a process called fine-tuning. The pro-posed method can be seen as a special type of auto-encoder and employs the same idea of encoding individual data points during training as the recently proposed Conditional Neural Processes. We extend this work by also incorporating an auxiliary task and by providing additional latent space search methods for increased performance after the initial training step. The task-embedding framework makes finding the right function from a family of related function quick and generally requires only a few informative data points from that function. We evaluate the method by regressing onto the harmonic family of curves and also by applying it to two robotic systems with the aim of quickly identifying and controlling those systems. / Att snabbt kunna approximera en funktion baserat på ett fåtal data-punkter är ett viktigt problem, speciellt inom områden där tillgängliga datamängder är relativt små, till exempel inom delar av robotikområdet. Under de senaste åren har flexibla och skalbara inlärningsmetoder, såsom exempelvis neurala nätverk, uppvisat framstående egenskaper i scenarion där en stor mängd data finns att tillgå. Dessa metoder tenderar dock att prestera betydligt sämre i låg-data regimer vilket motiverar sökandet efter alternativa metoder. Ett sätt att adressera denna begränsning är genom att utnyttja tidigare erfarenheter och antaganden (eng. prior information) om funktionsklassen som skall approximeras när sådan information finns tillgänglig. Ibland kan denna typ av information uttryckas i sluten matematisk form, men mer generellt är så inte fallet. Denna uppsats är fokuserad på det mer generella fallet där vi endast antar att vi kan sampla datapunkter från en databas av tidigare erfarenheter - exempelvis från en simulator där vi inte känner till de interna detaljerna. För detta ändamål föreslår vi en metod för att lära från dessa tidigare erfarenheter genom att i förväg träna på en större datamängd som utgör en familj av relaterade funktioner. I detta steg bygger vi upp ett så kallat latent funktionsrum (eng. latent task embeddings) som innesluter alla variationer av funktioner från träningsdatan och som sedan effektivt kan genomsökas i syfte av att hitta en specifik funktion - en process som vi kallar för finjustering (eng. fine-tuning). Den föreslagna metoden kan betraktas som ett specialfall av en auto-encoder och använder sig av samma ide som den nyligen publicerade Conditional Neural Processes metoden där individuella datapunkter enskilt kodas och grupperas. Vi utökar denna metod genom att inkorporera en sidofunktion (eng. auxiliary function) och genom att föreslå ytterligare metoder för att genomsöka det latenta funktionsrummet efter den initiala träningen. Den föreslagna metoden möjliggör att sökandet efter en specifik funktion typiskt kan göras med endast ett fåtal datapunkter. Vi utvärderar metoden genom att studera kurvanpassningsförmågan på sinuskurvor och genom att applicera den på två robotikproblem med syfte att snabbt kunna identifiera och styra dessa dynamiska system.

The main focus for this thesis is nonlinear dimensionality reduction. When analysing data of high dimension it is often vital to find a lower dimension representation of the data, while preserving as much information as possible. Dimension reduction is therefore used in many fields of science and in many industries. This thesis will deal with applications in finance, and hence financial data. The thesis was made in collaboration with the third national Swedish pension fund, AP3. They wanted a dimension reduction method that is efficient, noise robust and which preserves both linear and nonlinear patterns in the data. Consequently, the main purpose of this thesis is to develop such a method. The method proposed by this thesis is a combination of published and self-developed extensions of the Isomap method. For investigating different methods they are applied on both academic data sets in three dimensions, such as the Swiss-roll and the S-plane, and on specific financial data sets such as the S\&amp;P 500 and commodity prices. The results from the academic examples indicate that the proposed method manages to find nonlinear structures in noisy data in an efficient way. The results from the financial data sets are interesting but much harder to interpret. AP3s idea is to use our proposed method as a pre-processing step in their big data algorithms for trading and economic analysis, but that application is out of scope for this thesis. The last part of the thesis will make a brief introduction to Topological data analysis (TDA). It will cover the basic theory and will be used for some simple applications on financial data. / Det huvudsakliga fokuset för denna uppsats är ickelinjär dimensionsreducering. När data av hög dimensionalitet analyseras är det ofta viktigt att finna en representation med färre dimensioner som samtidigt bevarar så mycket information som möjligt. Dimensionsreducering har därför tillämpningar i många olika områden. Denna uppsats kommer att behandla tillämpningar inom finans, och därmed finansiell data. Uppsatsen gjordes i samarbete med den Tredje Allmänna Pensionsfonden, AP3. Deras önskan var en metod för dimensionsreducering som var effektiv, robust mot brus och som bevarade både linjära och icke-linjära datastrukturer. Huvudmålet med denna uppsats är därmed att ta fram en metod som uppfyller dessa krav.  Metoden denna uppsats kommer fram till är en kombination av redan publicerade och egenutvecklade utbyggnader av metoden Isomap. För att undersöka olika metoder testas de på både akademiska datamängder i tre dimensioner, med tydliga ickelinjära strukturer, och på specifika exempel av finansiell data, såsom S\&amp;P 500 och råvarupriser. Resultaten från de akademiska exemplen indikerar att den föreslagna metoden klarar av att finna icke linjära strukturer i brusiga datamängder effektivt. Resultaten från de finansiella exemplen är intressanta men mycket svårare att dra några slutsatser från. AP3s idé är att använda vår föreslagna metod som ett förbehandlingssteg till deras ”big data” algoritmer för värdepappershandel och ekonomisk analys, men den tillämpningen ligger utanför denna uppsats. Sista delen av denna uppsats är en introduktion av Topologisk data analys (TDA). Grundläggande teori täcks och enkla tillämpningar på finansiell data görs.

One of the tasks for the Swedish Transport Agency, Trafikverket, is to provide traffic forecasts. To do this, a number of different forecast models are used, where Samgods is a nationally estimated model, where the quality of the results gets more unstable the more disaggregated level you are looking at. For rail this is handled with a model called Bangods. However, in Bangods the difference in geographical growth within each commodity group is lost. This thesis examines whether it is possible to replace the national growth rates from Samgods with geographical disaggregated growth rates. The growth rates are calculated with a mathematical model based on the pivot point method (PPM). The model has been implemented in Python and is used to disaggregate the growth rates from Samgods to maintain the geographical growth. However, the data to the model comes from different systems and models that use different link formats. Therefore a link matching method is required that converts links from one system to another before using PPM. The growth rates from the PPM and the link matching-method has been modelled for twelve commodity groups, 8 or 1417 geographic regions and with or without a train division with four train types. The best result was to used 96 growth rates divided into twelve commodity groups and eight geographical regions. / En av Trafikverkets uppgifter är att ta fram trafikprognoser. För att göra detta används ett antal olika prognosmodeller, där Samgods är den huvudsakliga modellen för godstrafik som beskriver godstransporter med lastbil, järnväg, sjöfart och flyg. Samgods anses dock ge orealistiska resultat för delar av järnvägssystemet. För att lösa detta används en modell som heter Bangods. Bangods resultat blir dock för aggregerat och saknar en geografisk uppdelning för tillväxttalen. Detta examensarbete undersöker om det går att ersätta de nationella tillväxttalen från Samgods med mer dissaggregerade tillväxttal med en geografisk uppdelning. Tillväxttalen tas fram med en matematisk modell som utgår från pivot point-metoden (PPM). Modellen har implementerats i Python och används för att dissaggregera tillväxtalen från Samgods så att den geografiska tillväxten behålls. Data till modellen kommer dock från olika system och modeller som använder olika länkindelningar. Därför behövs det en länkmatchingsmetod som konverterar länkar från ett system till ett annat innan PPM kan användas. Tillväxtallen från PPM och länkmatchningen har tagits fram för tolv varugrupper, 8 eller 1417 geografiska regioner och med eller utan en tåg-indelning med fyra tågtyper. Bäst resultat blev det med 96 tillväxttal uppdelade i tolv varugrupper och åtta geografiska regioner. Det vill säga, tolv tillväxttal som appliceras på samtliga länkar inom en region.