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Optimisation polynomiale et variétés polaires : théorie, algorithmes, et implantations

Greuet, Aurélien 05 December 2013 (has links) (PDF)
Le calcul de l'infimum global $f^*$ d'un polynôme à $n$ variables sous contraintes est une question centrale qui apparaît dans de nombreux domaines des sciences de l'ingénieur. Pour certaines applications, il est important d'obtenir des résultats fiables. De nombreuses techniques ont été développées dans le cas où les contraintes sont données par des inéquations polynomiales. Dans cette thèse, on se concentre sur le problème d'optimisation d'un polynôme à $n$ variables sous des contraintes définies par des équations polynomiales à $n$ variables. Notre but est d'obtenir des outils, algorithmes et implémentations efficaces et fiables pour résoudre ces problèmes d'optimisation. Notre stratégie est de ramener le problème d'optimisation sous des contraintes qui définissent des ensembles algébriques de dimension quelconque à un problème équivalent, sous des nouvelles contraintes dont on maîtrise la dimension. La variété algébrique définie par ces nouvelles contraintes est l'union du lieu critique du polynôme objectif et d'un ensemble algébrique de dimension au plus 1. Pour cela, on utilise des objets géométriques définis comme lieux critiques de projections linéaires. Grâce au bon contrôle de la dimension, on prouve l'existence de certificats pour des bornes inférieures sur $f^*$ sur nos nouvelles variétés. Ces certificats sont donnés par des sommes de carrés et on ne suppose pas que $f^*$ est atteint. De même, on utilise les propriétés de nos objets géométriques pour concevoir un algorithme exact pour le calcul de $f^*$. S'il existe, l'algorithme renvoie aussi un minimiseur. Pour un problème avec $s$ contraintes et des polynômes de degrés au plus $D$, la complexité est essentiellement cubique en $(sD)^n$ et linéaire en la complexité d'évaluation des entrées. L'implantation, disponible sous forme de bibliothèque Maple, reflète cette complexité. Elle a permis de résoudre des problèmes inatteignables par les autres algorithmes exacts.

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