Il existe de nombreux modèles de calcul sur les réels. Ces différents modèles<br />calculent diverses fonctions, certains sont plus puissants que d'autres,<br />certains sont deux à deux incomparables. Le calcul sur les réels est donc de<br />ce point de vue bien différent du calcul sur les entiers qui est unifié par la<br />thèse de Church-Turing qui affirme que tous les modèles raisonnables calculent<br />les mêmes fonctions.<br /><br />Les résultats de cette thèse sont de deux sortes. Premièrement, nous<br />montrons des équivalences entre les fonctions récursivement calculables et une<br />certaine classe de fonctions R-récursives et entre les fonctions<br />GPAC-calculables et les fonctions récursivement calculables. Ces deux<br />résultats ne sont cependant valables que si les fonctions présentent quelques<br />caractéristiques : elles doivent être définies sur un compact et dans le<br />premier cas être de classe C^2. Deuxièmement, nous montrons également une<br />hiérarchie de classes de fonctions R-récursives qui caractérisent les<br />fonctions élémentairement calculables, les fonctions<br />En-calculables pour n?3 (où les En sont les<br />fonctions de la hiérarchie de Grzegorczyk), et des fonctions récursivement<br />calculables. Ce résultat utilise un opérateur de limite dont nous avons prouvé<br />la généralité en montrant qu'il transfère une inclusion sur la partie discrète<br />des fonctions en une inclusion sur les fonctions sur les réels elles-mêmes.<br /><br />Ces résultats constituent donc une avancée vers une éventuelle<br />unification des modèles de calcul sur les réels.

Il existe de nombreux modèles de calcul sur les réels. Ces différents modèles calculent diverses fonctions, certains sont plus puissants que d'autres, certains sont deux à deux incomparables. Le calcul sur les réels est donc de ce point de vue bien différent du calcul sur les entiers qui est unifié par la thèse de Church-Turing affirmant que tous les modèles raisonnables calculent les mêmes fonctions. Nous montrons des équivalences entre les fonctions récursivement calculables et une certaine classe de fonctions R-récursives et entre les fonctions GPAC-calculables et les fonctions récursivement calculables. Nous montrons également une hiérarchie de classes de fonctions R-récursives qui caractérisent les fonctions élémentairement calculables, les fonctions de la hiérarchie de Grzegorczyk et les fonctions récursivement calculables à l'aide d'un opérateur de limite. Ces résultats constituent donc une avancée vers une éventuelle unification des modèles de calcul sur les réels / Computation on the real numbers can be modelised in several different ways. There indeed exist a lot of different computation models on the reals. However, there are few results for comparing those models, and most of these results are incomparability results. The case of computation over the reals hence is quite different from the classical case where Church thesis claims that all reasonable models compute exactly the same functions. We show that recursively computable functions (in the sense of computable analysis) can be shown equivalent to some adequately defined class of R-recursive functions, and also to GPAC-computable functions. More than an analog characterization of recursively enumerable functions, we show that the limit operator we defined can be used to provide an analog characterization of elementarily computable functions and functions from Grzegorczyk's hierarchy. Those results can be seen as a first step toward a unification of computable functions over the reals