Infinite-Dimensional Systems (IDSs) which have been made possible by recent advances in mathematical and computational tools can be used to model complex real phenomena. However, due to physical, economic, or stringent non-invasive constraints on real systems, the underlying characteristics for mathematical models in general (and IDSs in particular) are often missing or subject to uncertainty. Therefore, developing efficient estimation techniques to extract missing pieces of information from available measurements is essential. The human brain is an example of IDSs with severe constraints on information collection from controlled experiments and invasive sensors. Investigating the intriguing modeling potential of the brain is, in fact, the main motivation for this work. Here, we will characterize the hemodynamic behavior of the brain using functional magnetic resonance imaging data. In this regard, we propose efficient estimation methods for two classes of IDSs, namely Partial Differential Equations (PDEs) and Fractional Differential Equations (FDEs). This work is divided into two parts. The first part addresses the joint estimation problem of the state, parameters, and input for a coupled second-order hyperbolic PDE and an infinite-dimensional ordinary differential equation using sampled-in-space measurements. Two estimation techniques are proposed: a Kalman-based algorithm that relies on a reduced finite-dimensional model of the IDS, and an infinite-dimensional adaptive estimator whose convergence proof is based on the Lyapunov approach. We study and discuss the identifiability of the unknown variables for both cases. The second part contributes to the development of estimation methods for FDEs where major challenges arise in estimating fractional differentiation orders and non-smooth pointwise inputs. First, we propose a fractional high-order sliding mode observer to jointly estimate the pseudo-state and input of commensurate FDEs. Second, we propose a modulating function-based algorithm for the joint estimation of the parameters and fractional differentiation orders of non-commensurate FDEs. Sufficient conditions ensuring the local convergence of the proposed algorithm are provided. Subsequently, we extend the latter technique to estimate smooth and non-smooth pointwise inputs. The performance of the proposed estimation techniques is illustrated on a neurovascular-hemodynamic response model. However, the formulations are efficiently generic to be applied to a wide set of additional applications.

L’objectif général de ce travail était d’évaluer l’effet du diabète de Type 1 et de l’hyperglycémie chronique (reflétée par un niveau élevé d’HbA1c), chez des patients indemnes de complications micro et macrovasculaires, sur la disponibilité en oxygène (O2) au niveau musculaire et cortical et ses répercussions sur l’aptitude physique aérobie. Dans un premier temps, nous nous sommes attardés à étudier l’effet du diabète et des niveaux élevés d’HbA1c sur les différentes étapes de la cascade d’oxygène (à savoir la diffusion alvéolo-capillaire, le transport artériel et la libération de l’O2 au niveau musculaire) ainsi que sur l’oxygénation musculaire estimée par la Spectroscopie dans le proche Infra-Rouge (NIRS) durant un exercice incrémental et voir les répercussions possibles sur la consommation maximale d’oxygène (〖V ̇O〗_2max). Nous avons montré que les patients DT1 présentent une capacité de diffusion alvéolo-capillaire ainsi qu’une capacité de transport artériel d’O2 comparable aux sujets sains. En revanche, les patients ayant un niveau élevé d’HbA1c présentent une altération de 〖V ̇O〗_2max ainsi qu’une réduction du volume sanguin musculaire (reflétée par une baisse de l’hémoglobine totale) et une nette baisse de la déoxyhémoglobine (HHb) au niveau du muscle actif aux intensités proches de l’exercice maximal. Ce dernier résultat pourrait s’expliquer par l’affinité plus importante de HbA1c pour l’O2 et/ou une altération de la redistribution de débit sanguin entre les vaisseaux nutritifs et non nutritifs. L’altération du volume sanguin au niveau musculaire chez les patients présentant un mauvais contrôle glycémique peut prévenir les cliniciens du dysfonctionnement de la microcirculation survenant avant même qu’une microangiopathie se manifeste à l’état clinique (Étude 1). Dans un second temps, nous nous sommes intéressés à la fonction cérébrale. Notre objectif étant d’évaluer l’hémodynamique cérébrale durant un exercice incrémental maximal. Nous avons trouvé une altération de l’hémodynamique cérébrale (baisse de l’hémoglobine totale) aux intensités proches de l’exercice maximal chez les patients DT1 qui présentent un mauvais contrôle glycémique (Étude 2). Ces deux travaux nous montrent bien que les sujets diabétiques de type 1 indemnes des complications micro et/ou marcovasculaires présentent une faible aptitude physique aérobie qui peut s’expliquer à la fois par une altération de l’oxygénation musculaire et cérébrale. Ces études mettent également en évidence l’intérêt d’associer la NIRS avec un exercice maximal. Ce dernier place les tissus en situation de besoin maximal en O2 ce qui permet de mettre en exergue des altérations fonctionnelles de la microcirculation avant même l’apparition de complications microvasculaires détectables par les tests cliniques habituels. / This study sought to investigate whether type 1 diabetes and high levels of glycated hemoglobin (HbA1c) influence oxygen supply including alveolar capillary diffusion, oxygen delivery and release, to active muscle and prefrontal cortex during maximal exercise. We first studied the effect of high level of HbA1c on oxyhemoglobin dissociation at the active muscle measured by Near Infra-Red Spectroscopy (NIRS) during maximal exercise. We found that alveolar capillary diffusion and arterial oxygen content was comparable between patients with type 1 diabetes and healthy subjects. However, patients with inadequate glycemic control but without any clinically detectable vascular complications displayed an impaired aerobic capacity as well as a reduction in blood volume and a dramatic impairment in deoxyhemoglobin (HHb) increase in active skeletal muscle during intense exercise. The latter supports the hypotheses of an increase in O2 affinity induced by hemoglobin glycation and/or of a disturbed balance between nutritive and nonnutritive muscle blood flow. Furthermore, reduced exercise muscle blood volume in poorly controlled patients may warn clinicians of microvascular dysfunction occurring even before overt microangiopathy (Study 1). Secondly, we aimed at investigating prefrontal cortex hemodynamic during an incremental maximal exercise in patients with uncomplicated type 1 diabetes, taking into account chronic glycemic control. We observed that levels and changes in regional cerebral blood volume – as reflected by change in total hemoglobin – were lower at high intensities of exercise in patients with inadequate glycemic control (Study 2).In summary, the physiological stimulus of maximal exercise coupled with NIRS measurement highlighted subclinical disorders of both cerebral hemodynamic and muscle oxygenation in poorly-controlled patients with type 1 diabetes albeit free from any clinical microangiopathy.