Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz

Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz / This thesis is meant to be a digest, adressed to the combinatorician community, of some tools developped to tackle the problem of Hurwitz, as well as an exhibition of the thus-harvested results. The problem of Hurwitz consists of computing, in a symmetric group, the (so-called Hurwitz) number of transitive factorisations of the identity permutation whose factors have prescribed cyclic types. We first describe the topological layout of this problem through the enumeration of the ramified coverings of the sphere. We also present a natural algebraic frame, the monoid of split permutations, which allows to describe Hurwitz numbers as structure coeffcients of the algebra of this monoid, more precisely of the subalgebra spanned by the conjugacy classes, whose natural basis is indexed by multipartitions (or split partitions). The representation theory of this algebra yields an algoithm to compute one-partition Hurwitz numbers whose complexity (minimal, uniform and exponential) is far better than that of a naive edging about. This algebraic frame yields a formula describing several-partition Hurwitz series as polynomials in one-partition Hurwitz series. We secondly present the geometric frame in which are been expressed on the one hand the ELSV formula, which describes one-partition Hurwitz numbers as functions of some integrals, one the other hand a theorem of M. Kazarian expressing one-partition Hurwitz series as polynomials in some formal power series whose asymptotics is completly understood. Once the using of this integration frame has been described, we derive the asymptotics of all Hurwitz numbers

Nous construisons l'espace des différentielles stables : un espace des modules de différentielles méromorphes avec des pôles d'ordres fixés. Cet espace est un cône au dessus de l'espace Mg,n des courbes stables. Si l'ensemble de poles est vide, il s'agit du fibré de Hodge. Nous introduisons l'anneau tautologique du projectivisé de l'espace des différentielles stables par analogie avec Mg,n. L'espace des différentielles stables est stratifié en fonction des ordres des zéros de la différentielle. Nous montrons que la classe de cohomologie Poincaré-duale de chaque strate est tautologique et peut être calculée explicitement, ce qui constitue le résultat principal de la thèse. Nous appliquons ces résultats pour calculer des nombres de Hurwitz et pour prouver plusieurs identités dans le groupe de Picard des strates. Ensuite, nous nous intéressons aux espaces des modules des différentielles d'ordre supérieur. Une courbe munie d'une k-différentielle holomorphe possède un revêtement naturel de groupe de Galois Z/kZ. Le fibré de Hodge sur la courbe revêtante se décompose en une somme directe de sous-fibrés en fonction du car- actère de Z/kZ. Nous calculons la première classe de Chern de chacun de ces sous-fibrés. Un dernier chapitre sera consacré à l'exposé des liens conjecturaux entre les classes des strates de différentielles, les espaces de courbes r-spin et les cycles de double ramification. / We construct the space of stable differentials: a moduli space of meromorphic differentials with poles of fixed order. This space is a cone over the moduli space Mg,n of stable curves. If the set of poles is empty, then this cone is the Hodge bundle. We introduce the tautological ring of the projectivized space of stable differentials by analogy with Mg,n. The space of stable differentials is stratified according to the orders of zeros of the differential. We show that the Poincaré-dual cohomology classes of these strata are tautological and can be explicitly computed, this constitutes the main result of this thesis. We apply this result to compute Hurwitz numbers and to show several identities in the Picard group of the strata. Then, we interest ourselves to moduli spaces of differentials of superior order. A curve endowed with a k-differential carry a natural ramified covering of Galois group Z/kZ. The Hodge bundle over the covering curve is decomposed into a direct sum of sub-vector bundles according to the character of Z/kZ. We compute the first Chern class of each of these sub-bundles. A last chapter will be dedicated to the presentation of conjectural relations between classes of strata of differentials, moduli of r-spin structures and double ramification cycles.