No description available.

We consider the numerical solution of discretised Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations with applications in finance. For the discrete linear complementarity problem arising in American option pricing, we study a policy iteration method. We show, analytically and numerically, that, in standard situations, the computational cost of this approach is comparable to that of European option pricing. We also characterise the shortcomings of policy iteration, providing a lower bound for the number of steps required when having inaccurate initial data. For discretised HJB equations with a finite control set, we propose a penalty approach. The accuracy of the penalty approximation is of first order in the penalty parameter, and we present a Newton-type iterative solver terminating after finitely many steps with a solution to the penalised equation. For discretised HJB equations and discretised HJB obstacle problems with compact control sets, we also introduce penalty approximations. In both cases, the approximation accuracy is of first order in the penalty parameter. We again design Newton-type methods for the solution of the penalised equations. For the penalised HJB equation, the iterative solver has monotone global convergence. For the penalised HJB obstacle problem, the iterative solver has local quadratic convergence. We carefully benchmark all our numerical schemes against current state-of-the-art techniques, demonstrating competitiveness.

- / -

Nous construisons l'espace des différentielles stables : un espace des modules de différentielles méromorphes avec des pôles d'ordres fixés. Cet espace est un cône au dessus de l'espace Mg,n des courbes stables. Si l'ensemble de poles est vide, il s'agit du fibré de Hodge. Nous introduisons l'anneau tautologique du projectivisé de l'espace des différentielles stables par analogie avec Mg,n. L'espace des différentielles stables est stratifié en fonction des ordres des zéros de la différentielle. Nous montrons que la classe de cohomologie Poincaré-duale de chaque strate est tautologique et peut être calculée explicitement, ce qui constitue le résultat principal de la thèse. Nous appliquons ces résultats pour calculer des nombres de Hurwitz et pour prouver plusieurs identités dans le groupe de Picard des strates. Ensuite, nous nous intéressons aux espaces des modules des différentielles d'ordre supérieur. Une courbe munie d'une k-différentielle holomorphe possède un revêtement naturel de groupe de Galois Z/kZ. Le fibré de Hodge sur la courbe revêtante se décompose en une somme directe de sous-fibrés en fonction du car- actère de Z/kZ. Nous calculons la première classe de Chern de chacun de ces sous-fibrés. Un dernier chapitre sera consacré à l'exposé des liens conjecturaux entre les classes des strates de différentielles, les espaces de courbes r-spin et les cycles de double ramification. / We construct the space of stable differentials: a moduli space of meromorphic differentials with poles of fixed order. This space is a cone over the moduli space Mg,n of stable curves. If the set of poles is empty, then this cone is the Hodge bundle. We introduce the tautological ring of the projectivized space of stable differentials by analogy with Mg,n. The space of stable differentials is stratified according to the orders of zeros of the differential. We show that the Poincaré-dual cohomology classes of these strata are tautological and can be explicitly computed, this constitutes the main result of this thesis. We apply this result to compute Hurwitz numbers and to show several identities in the Picard group of the strata. Then, we interest ourselves to moduli spaces of differentials of superior order. A curve endowed with a k-differential carry a natural ramified covering of Galois group Z/kZ. The Hodge bundle over the covering curve is decomposed into a direct sum of sub-vector bundles according to the character of Z/kZ. We compute the first Chern class of each of these sub-bundles. A last chapter will be dedicated to the presentation of conjectural relations between classes of strata of differentials, moduli of r-spin structures and double ramification cycles.

Cette thèse est consacrée à l'étude du contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires issues de la mécanique des fluides. On s'intéresse notamment à l'équation de Burgers et à l'équation de Navier-Stokes. L'objectif principal est de démontrer des résultats de contrôle globaux en temps petit y compris en présence de couches limites. On montre que cela est possible en introduisant une nouvelle méthode dite "de la dissipation bien préparée". Cette méthode consiste à procéder en deux phases : une phase très courte non visqueuse suivi d'une phase plus longue d'auto-dissipation de la couche limite. Aussi bien pour Burgers que pour Navier-Stokes avec des conditions au bord de glissement avec frottement, on démontre que cette dissipation est suffisante si elle a été bien préparée. De plus, on étudie une question de contrôlabilité locale pour l'équation de Burgers lorsqu'un seul contrôle scalaire est utilisé. On démontre en améliorant une technique de noyau quadratique que le système n'est pas localement contrôlable en temps petit. / This thesis is devoted to the study of the controllability of non linear partial differential equations in fluid mechanics. We are mostly interested in Burgers equation and Navier-Stokes equation. Our main goal is to prove small-time global results, even in the presence of boundary layers. We prove that it is possible to obtain such results by introducing a new method named: ``well prepared dissipation''. This method proceeds in two phases: first, a quick phase using the inviscid behavior of the system, then a longer phase during which the boundary layer dissipates all by itself. Both for Burgers and for Navier-Stokes with Navier slip-with-friction boundary conditions, we prove that this dissipation is sufficient if it has been well prepared. Moreover, we study a question of local null controllability for the Burgers equation with a single scalar control. We prove by enhancing a second order kernel approach that the system is not small time locally null controllable.

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de plusieurs équations aux dérivées partielles non linéaires qui apparaissent dans la modélisation de la séparation de phase et des micro-systèmes électro-mécaniques (MSEM). Dans la première partie, nous étudions des modèles d’ordre élevé en séparation de phase pour lesquels nous obtenons le caractère bien posé et la dissipativité, ainsi que l’existence de l’attracteur global et, dans certains cas, des simulations numériques. De manière plus précise, nous considérons dans cette première partie des modèles de type Allen-Cahn et Cahn-Hilliard d’ordre élevé avec un potentiel régulier et des modèles de type Allen-Cahn d’ordre élevé avec un potentiel logarithmique. En outre, nous étudions des modèles anisotropes d’ordre élevé et des généralisations d’ordre élevé de l’équation de Cahn-Hilliard avec des applications en biologie, traitement d’images, etc. Nous étudions également la relaxation hyperbolique d’équations de Cahn-Hilliard anisotropes d’ordre élevé. Dans la seconde partie, nous proposons des schémas semi-discrets semi-implicites et implicites et totalement discrétisés afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles non linéaire décrivant à la fois les effets élastiques et électrostatiques de condensateurs MSEM. Nous faisons une analyse théorique de ces schémas et de la convergence sous certaines conditions. De plus, plusieurs simulations numériques illustrent et appuient les résultats théoriques. / This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of several nonlinear partial differential equations, which occur in the mathematical modeling of phase separation and micro-electromechanical system (MEMS). In the first part, we study higher-order phase separation models for which we obtain well-posedness and dissipativity results, together with the existence of global attractors and, in certain cases, numerical simulations. More precisely, we consider in this first part higher-order Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations with a regular potential and higher-order Allen-Cahn equation with a logarithmic potential. Moreover, we study higher-order anisotropic models and higher-order generalized Cahn-Hilliard equations, which have applications in biology, image processing, etc. We also consider the hyperbolic relaxation of higher-order anisotropic Cahn-Hilliard equations. In the second part, we develop semi-implicit and implicit semi-discrete, as well as fully discrete, schemes for solving the nonlinear partial differential equation, which describes both the elastic and electrostatic effects in an idealized MEMS capacitor. We analyze theoretically the stability of these schemes and the convergence under certain assumptions. Furthermore, several numerical simulations illustrate and support the theoretical results.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται το θέμα της αποδοτικής και με βεβαιότητα εύρεσης όλων των ριζών της παραμετρικής εξίσωσης f(x;[p]) = 0, μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης f με [p] ένα διάνυσμα που περιγράφει όλες τις παραμέτρους της παραμετρικής εξίσωσης και τυποποιούνται με τη μορφή διαστημάτων. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν εργαλεία της Διαστηματικής Ανάλυσης. Το κίνητρο για την ερευνητική ενασχόληση με το παραπάνω πρόβλημα προέκυψε μέσα από ένα κλασικό πρόβλημα αριθμητικής ανάλυσης: την αριθμητική επίλυση συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων μέσω διαστηματικής ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε μια ευρετική τεχνική αναδιάταξης του αρχικού πολυωνυμικού συστήματος που φαίνεται να βελτιώνει σημαντικά, κάθε φορά, τον χρησιμοποιούμενο επιλυτή. Η ανάπτυξη, καθώς και τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας αποτυπώνονται στο Κεφάλαιο 2 της παρούσας διατριβής. Στο επόμενο Κεφάλαιο 3, προτείνεται μια μεθοδολογία για την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων με διαστηματικές παραμέτρους, δηλαδή την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση διαστηματικών εξισώσεων. Πρώτα, δίνεται μια νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής και αποδεικνύεται η ισοδυναμία της με τον κλασσικό ορισμό. Στη συνέχεια, χρησιμοποιείται η νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής ως θεωρητικό εργαλείο για την ανάπτυξη μιας επέκτασης της διαστηματικής μεθόδου Newton που δύναται να επιλύσει όχι μόνο κλασικές μη-παραμετρικές μη-γραμμικές εξισώσεις, αλλά και παραμετρικές (διαστηματικές) μη-γραμμικές εξισώσεις. Στο Κεφάλαιο 4 προτείνεται μια νέα προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Ολικής Βελτιστοποίησης με περιορισμούς διαστήματα, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 3. Το πρόβλημα της ολικής βελτιστοποίησης, ανάγεται σε πρόβλημα επίλυσης διαστηματικών εξισώσεων, και γίνεται εφικτή η επίλυσή του με τη βοήθεια των θεωρητικών αποτελεσμάτων και της αντίστοιχης μεθοδολογίας του Κεφαλαίου 3. Στο τελευταίο Κεφάλαιο δίνεται μια νέα αλγοριθμική προσέγγιση για το πρόβλημα της επίλυσης διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων. Η νέα αυτή προσέγγιση, βασίζεται και γενικεύει την εργασία των Hansen και Walster, οι οποίοι πρότειναν μια μέθοδο για την επίλυση διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων 2ου βαθμού. / In this dissertation the problem of finding reliably and with certainty all the zeros a pa-rameterized equation f(x;[p]) = 0, of a continuously differentiable function f is considered, where [p] is an interval vector describing all the parameters of the Equation, which are formed with interval numbers. For this kind of problem, methods of Interval Analysis are used. The incentive to this scientific research was emerged from a classic numerical analysis problem: the numerical solution of polynomial systems of equations using interval analysis. In particular, a heuristic reordering technique of the initial polynomial systems of equations is proposed. This approach seems to improve significantly the used solver. The proposed technique, as well as the results of this publication are presented in Chapter 2 of this dissertation. In the next Chapter 3, a methodology is proposed for solving reliably and efficiently parameterized (interval) equations. Firstly, a new formulation of interval arithmetic is given and the equivalence with the classic one is proved. Then, an extension of interval Newton method is proposed and developed, based on the new formulation of interval arithmetic. The new method is able to solve not only classic non-linear equations but, non-linear parameterized (interval) equation too. In Chapter 4 a new approach on solving the Box-Constrained Global Optimization problem is proposed, based on the results of Chapter 3. In details, the Box-Constrained Global Optimization problem is reduced to a problem of solving interval equations. The solution of this reduction is attainable through the methodology developed in Chapter 3. In the last Chapter of this dissertation a new algorithmic approach is given for the problem of solving reliably and with certainty an interval polynomial equation of degree $n$. This approach consists in a generalization of the work of Hansen and Walster. Hansen and Walster proposed a method for solving only quadratic interval polynomial equations