Ce travail porte sur un système modèle permettant d'étudier l'ancrage d'un réseau élastique par un ensemble de pièges. Ce réseau 2D est constitué par des billes macroscopiques en interaction électrostatique auquel un potentiel électrique de piégeage peut être appliqué, une agitation mécanique maintenant l'ensemble à une température effective donnée. Tous les paramètres expérimentaux<br />étant contrôlables, il offre l'opportunité unique d'étudier le phénomène d'ancrage tout en ayant directement accès à la position des billes et à leur dynamique.<br /><br />Une première partie de ce travail détermine ses caractéristiques (interaction interparticules, détermination de la température effective, propriétés élastiques) et permet sa qualification comme "système élastique".<br /><br />La réponse de ce système lorsqu'il est soumis à un réseau périodique de pièges a ensuite été étudiée en détail. La dynamique de transition vers les configurations d'équilibre ainsi que les<br />mouvements autour des positions des billes ont également été abordés. À la lumière de ces premiers résultats, les possibilités d'étudier à terme des situations de piégeage aléatoire faible ont été discutées.<br /><br />Enfin, pour mieux comprendre les dynamiques globales de réseaux piégés, nous nous sommes intéressés à des problèmes locaux tels la<br />dynamique de systèmes confinés, ou la diffusion de particules dans un canal modulé.

Le modèle d'accrochage de polymère décrit le comportement d'une chaîne de Markov en interaction avec un état donné. Cette interaction peut attirer ou repousser la chaîne de Markov et elle est modulée par deux paramètres, h et β. Quand β = 0 on parle de modèle homogène, qui est complètement solvable. Le modèle désordonné, i.e. quand β > 0, est mathématiquement le plus intéressant. Dans ce cas, l'interaction dépend d'une source d'aléa extérieur indépendant de la chaîne de Markov, appelée désordre. L'interaction est réalisée en modifiant la loi originelle de la chaîne de Markov par une mesure de Gibbs et la probabilité obtenue définit le modèle d'accrochage de polymère. Le but principal est d'étudier et de comprendre la structure des trajectoires typiques de la chaîne de Markov sous cette nouvelle probabilité. Le premier sujet de recherche concerne le modèle d'accrochage de polymère où le désordre est à queues lourdes et où le temps de retour de la chaîne de Markov suit une distribution sous-exponentielle. Dans notre deuxième résultat nous étudions le modèle d'accrochage de polymère avec un désordre à queues légères et le temps de retour de la chaîne de Markov avec une distribution à queues polynomiales d'exposant α > 0. On peut démontrer qu'il existe un point critique, h(β). Notre but est comprendre le comportement du point critique quand β -> 0. La réponse dépend de la valeur de α. Dans la littérature on a des résultats précis pour α < ½ et α > 1. Nous montrons que α ∈ (1/2, 1) le comportement du modèle dans la limite du désordre faible est universel et le point critique, opportunément changé d'échelle, converge vers la même quantité donnée par un modèle continu / The pinning model describes the behavior of a Markov chain in interaction with a distinguished state. This interaction can attract or repel the Markov chain path with a force tuned by two parameters, h and β. If β = 0 we obtain the homogeneous pinning model, which is completely solvable. The disordered pinning model, i.e. when β > 0, is most challenging and mathematically interesting. In this case the interaction depends on an external source of randomness, independent of the Markov chain, called disorder. The interaction is realized by perturbing the original Markov chain law via a Gibbs measure, which defines the Pinning Model. Our main aim is to understand the structure of a typical Markov chain path under this new probability measure. The first research topic of this thesis is the pinning model in which the disorder is heavy-tailed and the return times of the Markov chain have a sub-exponential distribution. In our second result we consider a pinning model with a light-tailed disorder and the return times of the Markov chain with a polynomial tail distribution, with exponent α > 0. It is possible to show that there exists a critical point, h(β). Our goal is to understand the behavior of the critical point when β -> 0. The answer depends on the value of α and in the literature there are precise results only for the case α < ½ et α > 1. We show that for α ∈ (1/2, 1) the behavior of the pinning model in the weak disorder limit is universal and the critical point, suitably rescaled, converges to the related quantity of a continuum model