Le modèle de Poland-Scheraga (PS) est le modèle standard pour étudier la transition de dénaturation de deux brins d’ADN complémentaires et de même longueur. Ce modèle a fait l’objet d’une attention remarquable car il est exactement résoluble dans sa version homogène. Le caractère résoluble est lié au fait que le modèle PS homogène peut être mis en correspondance avec un processus de renouvellement discret. Dans la littérature biophysique une généralisation du modèle, obtenue en considérant des brins non complé- mentaires et de longueurs différentes, a été considérée et le caractère résoluble s’étend à cette généralisation substantielle. Dans cette thèse, nous présentons une analyse mathématique du modèle de Poland- Scheraga généralisé. Nous considérons d’abord le modèle homogène et nous exploitons que les deux brins de la chaîne peuvent être modélisés par un processus de renouvellement en deux dimensions. La distribution K(⋅) de l’emplacement (bidimensionnel) du premier contact entre les deux brins est supposée de la forme K(n+m) = (n+m)−α−2L(n+m) avec α ≥ 0 et L(⋅) à variation lente et correspond à une boucle avec n bases dans le premier brin et m dans le deuxième. Nous étudions la transition de localisation-délocalisation et nous montrons l’existence des transitions à l’intérieur de la phase localisée. Nous présentons ensuite des estimations précises sur les propriétés de chemin du modèle. Ensuite, nous étudions la version désordonnée du modèle en incluant une séquence de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées à deux indices. Nous nous concentrons sur l’influence du désordre sur la transition de dénaturation: nous voulons déterminer si la présence des inhomogénéités modifie les propriétés critiques du système par rapport au cas homogène. Nous prouvons que le désordre est non pertinent si α < 1 et nous montrons que pour α > 1, les points critiques gelés et recuits diffèrent (basant sur les techniques de coarse graining et la méthode des moments fractionnaires), ce qui prouve la présence d’un régime de désordre pertinent. / The Poland-Scheraga (PS) model is the standard basic model to study the denaturation transition of two complementary and equally long strands of DNA. This model has enjoyed a remarkable attention because it is exactly solvable in its homogeneous version. The solvable character is related to the fact that the homogeneous PS model can be mapped to a discrete renewal process. In the bio-physical literature a generalization of the model, allowing different length and non complementarity of the strands, has been considered and the solvable character extends to this substantial generalization. In this thesis we present a generalized version of the PS model that allows mismatches and non complementary strands (in particular, the two strands may be of different lengths). We consider first the homogeneous model and we exploit that this model can be mapped to a bivariate renewal process. The distribution K(⋅) of the location (in two dimensions) of the first contact between the two strands is assumed to be of the form K(n + m) = (n + m)−α−2L(n + m) with α ≥ 0 and L(⋅) slowly varying and corresponds to a loop with n bases in the first strand and m in the second. We study the localization-delocalization transition and we prove the existence of transitions inside the localized regime. We then present precise estimates on the path properties of the model. We then study the disordered version of the model by including a sequence of inde- pendent and identically distributed random variables with two indices. We focus on the influence of disorder on the denaturation transition: we want to determine whether the presence of randomness modifies the critical properties of the system with respect to the homogeneous case. We prove that the disorder is irrelevant if α < 1. We show also that for α > 1, the quenched and annealed critical points differ (basing on coarse graining techniques and fractional moment method), proving the presence of a relevant disorder regime.

Le modèle d'accrochage de polymère décrit le comportement d'une chaîne de Markov en interaction avec un état donné. Cette interaction peut attirer ou repousser la chaîne de Markov et elle est modulée par deux paramètres, h et β. Quand β = 0 on parle de modèle homogène, qui est complètement solvable. Le modèle désordonné, i.e. quand β > 0, est mathématiquement le plus intéressant. Dans ce cas, l'interaction dépend d'une source d'aléa extérieur indépendant de la chaîne de Markov, appelée désordre. L'interaction est réalisée en modifiant la loi originelle de la chaîne de Markov par une mesure de Gibbs et la probabilité obtenue définit le modèle d'accrochage de polymère. Le but principal est d'étudier et de comprendre la structure des trajectoires typiques de la chaîne de Markov sous cette nouvelle probabilité. Le premier sujet de recherche concerne le modèle d'accrochage de polymère où le désordre est à queues lourdes et où le temps de retour de la chaîne de Markov suit une distribution sous-exponentielle. Dans notre deuxième résultat nous étudions le modèle d'accrochage de polymère avec un désordre à queues légères et le temps de retour de la chaîne de Markov avec une distribution à queues polynomiales d'exposant α > 0. On peut démontrer qu'il existe un point critique, h(β). Notre but est comprendre le comportement du point critique quand β -> 0. La réponse dépend de la valeur de α. Dans la littérature on a des résultats précis pour α < ½ et α > 1. Nous montrons que α ∈ (1/2, 1) le comportement du modèle dans la limite du désordre faible est universel et le point critique, opportunément changé d'échelle, converge vers la même quantité donnée par un modèle continu / The pinning model describes the behavior of a Markov chain in interaction with a distinguished state. This interaction can attract or repel the Markov chain path with a force tuned by two parameters, h and β. If β = 0 we obtain the homogeneous pinning model, which is completely solvable. The disordered pinning model, i.e. when β > 0, is most challenging and mathematically interesting. In this case the interaction depends on an external source of randomness, independent of the Markov chain, called disorder. The interaction is realized by perturbing the original Markov chain law via a Gibbs measure, which defines the Pinning Model. Our main aim is to understand the structure of a typical Markov chain path under this new probability measure. The first research topic of this thesis is the pinning model in which the disorder is heavy-tailed and the return times of the Markov chain have a sub-exponential distribution. In our second result we consider a pinning model with a light-tailed disorder and the return times of the Markov chain with a polynomial tail distribution, with exponent α > 0. It is possible to show that there exists a critical point, h(β). Our goal is to understand the behavior of the critical point when β -> 0. The answer depends on the value of α and in the literature there are precise results only for the case α < ½ et α > 1. We show that for α ∈ (1/2, 1) the behavior of the pinning model in the weak disorder limit is universal and the critical point, suitably rescaled, converges to the related quantity of a continuum model

Cette thèse porte sur l'étude de modèles de polymère en milieu aléatoire: on se concentre sur le cas d'un polymère dirigé en dimension d+1 qui interagit avec un défaut unidimensionnel. Les interactions sont possiblement non-homogènes, et sont représentées par des variables aléatoires. Une question importante est celle de l'influence du désordre sur le phénomène de localisation: on veut déterminer si la présence d'inhomogénéités modifie les propriétés critiques du système, et notamment les caractéristiques de la transition de phase (auquel cas le désodre est dit pertinent). En particulier, nous prouvons que dans le cas où le défaut est une marche aléatoire, le désordre est pertinent en dimension d≥3. Ensuite, nous étudions le modèle d'accrochage sur une ligne de défauts possédant des inhomogénéités corrélées spatialement. Il existe un critère non rigoureux (dû à Weinrib et Halperin), que l'on applique à notre modèle, et qui prédit si le désordre est pertinent ou non en fonction de l'exposant critique du système homogène, noté νpur, et de l'exposant de décroissance des corrélations. Si le désordre est gaussien et les corrélations sommables, nous montrons la validité du critère de Weinrib-Halperin: nous le prouvons dans la version hiérarchique du modèle, et aussi, de manière partielle, dans le cadre (standard) non-hiérarchique. Nous avons de plus obtenu un résultat surprenant: lorsque les corrélations sont suffisamment fortes, et en particulier si elles sont non-sommables (dans le cadre gaussien), il apparaît un régime où le désordre devient toujours pertinent, l'ordre de la transition de phase étant toujours plus grand que νpur. La prédiction de Weinrib-Halperin ne s'applique alors pas à notre modèle. / This thesis studies models of polymers in random environment: we focus on the case of a directed polymer in dimension d+1 that interacts with a one-dimensional defect. The interactions are possibly inhomogeneous, and are represented by random variables. We deal with the question of the influence of disorder on the localization phenomenon: we want to determine if the presence of inhomogeneities modifies the critical properties of the system, and especially the characteristics of the phase transition (in that case disorder is said to be pertinent). In particular, we prove that if the defect is a random walk, disorder is relevant in dimension d≥3. We then study the pinning model in random correlated environment. There is a non-rigourous criterion (due to Weinrib and Halperin), that we can apply to our model, and that predicts disorder relevance/irrelevance, according to the value of the critical exponent of the homogeneous system, denoted νpur, and of the correlation decay exponent. When disorder is Gaussian and correlations are summable, we show that the Weinrib-Halperin criterion is valid: we prove this in the hierarchical version of the model, and also, partially, in the non-hierachical (standard) framework. Moreover, we obtained a surprising result: when correlations are sufficiently strong, and in particular when they are non-summable (in the gaussian framework), a new regime in which disorder is always relevant appears, the order of the phase transition being always larger than νpur. The Weinrib-Halperin prediction therefore does not apply to our model.

Cette thèse est consacrée à l’étude du modèle d’accrochage en environnementfaiblement corrélé. Le modèle d’accrochage s’applique à de multiples situationstelles que la localisation d’un polymère au voisinage d’une interface unidimensionnelle,la transition de mouillage ou encore la dénaturation de l’ADN, le pointcommun étant la présence d’une transition entre une phase localisée et une phasedélocalisée.Nous commençons par donner un aperçu des résultats disponibles sur lescourbes et exposants critiques pour le modèle homogène puis pour le modèledésordonné lorsque le désordre est une suite de variables aléatoires indépendanteset identiquement distribuées (i.i.d.). Dans ce dernier cas, nous donnons égalementune borne sur la courbe critique quenched à haute température, dans un régimeoù le désordre est dit pertinent.Nous étudions ensuite le modèle d’accrochage désordonné dans le cas où ledésordre est gaussien et les corrélations ont une portée finie, à l’aide de la théoriedes processus de renouvellement markoviens. Nous donnons dans ce cas une expressionde la courbe annealed à l’aide de la plus grande valeur propre d’une matricede transfert ainsi que l’exposant critique annealed. Nous généralisons ensuite lescritères de pertinence et de non pertinence du désordre prouvés dans le cas i.i.d.Nous nous intéressons ensuite à des désordres dont les corrélations ont uneportée de corrélation infinie. Dans un premier temps, nous généralisons la démarcheutilisée dans le cas d’une portée de corrélations finie et obtenons le comportementcritique annealed dans le cas d’un désordre gaussien sous des hypothèses dedécroissance forte des corrélations. Nous utilisons pour cela les propriétés spectralesdes opérateurs de transfert pour des décalages sur des suites d’entiers etdes potentiels à variations sommables. Dans un deuxième temps, nous donnonsquelques résultats dans le cas où le désordre est donné par une chaîne de Markov. / In this dissertation we study the pinning model with weakly correlated disorder.The pinning model applies to various situations such as localization of a polymernear a one-dimensional interface, wetting transition and DNA denaturation, whichall display a transition between a localized phase and a delocalized phase.We start by giving a survey of the available results concerning critical pointsand exponents, first for the homogeneous setup and then for the inhomogeneousone, in the case when disorder is given by a sequence of independent and identicallydistributed (i.i.d.) random variables. In the latter case, we also provide a hightemperaturebound on the quenched critical curve in a case of relevant disorder.We then study the random pinning model when disorder is gaussian and hascorrelations with finite range, using the theory of Markov renewal processes. Weexpress the annealed critical curve in terms of the largest eigenvalue of a transfermatrix and we give the annealed critical exponent. We then generalize the criteriafor disorder relevance/irrelevance that were proved for the i.i.d. case.Next we are interested in disorder sequences with infinite range correlations.At first we generalize the method used to deal with finite range correlations andobtain the annealed critical behaviour in the case of gaussian disorder assumingfast decay of correlations. We use to this end the spectral properties of transferoperators for shifts on integer sequences and potentials with summable variations.Secondly we provide some results when disorder is a Markov chain.

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