Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / O decaimento radioativo é um fenômeno físico que pode ser modelado através de recursos computacionais simples, utilizando os aspectos das duas grandes escolas de modelagem matemática: a escola determinística e a escola probabilística. Neste trabalho, estaremos focados na escola determinística. A modelagem matemática caracteriza-se por um problema de valor inicial com uma cadeia simples ou composta de decaimentos radioativos de acordo com a história de um núcleo atômico-pai decair para um núcleo-filho, que é radioativamente estável ou não. Descrevemos nesta dissertação um aplicativo computacional (um software) que modela o decaimento radioativo simples, i.e. , decaimento para núcleos estáveis, e decaimento em cadeia diretamente acoplada. Implementamos neste aplicativo computacional um método analítico fundamentado na Transformada de Laplace usando uma plataforma computacional livre (Scilab). Para tanto, aplicamos uma formulação matricial e uma técnica de diagonalização por transformação de similaridade, onde propomos uma forma de construção ao da matriz diagonalizante e de sua inversa, que são necessárias. Apresentamos resultados numéricos para três problemas-modelos típicos. / Radioactive decay is a physical phenomenon that can be modeled by simple computational techniques, using aspects of the two main schools of mathematical modeling: the deterministic school and the probabilistic school. In this work, we focus on the deterministic school. The mathematical model is characterized by an initial value problem with a single or coupled chain of radioactive decays according to the history of an atomic nucleus to decay to a daughter-atomic nucleus, that is stable or not. In this dissertation we describe a computer software modeling simple radioactive decays, i.e., decays to stable nuclei and directly coupled decay chains that we developed on a free platform. To achieve this goal, we used a matrix formulation and a diagonalization technique by means of similarity transformation, where we introduced a general form of constructing the diagonalizer matrix and its inverse, that are needed. We present numerical results for three typical problems.

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / O decaimento radioativo é um fenômeno físico que pode ser modelado através de recursos computacionais simples, utilizando os aspectos das duas grandes escolas de modelagem matemática: a escola determinística e a escola probabilística. Neste trabalho, estaremos focados na escola determinística. A modelagem matemática caracteriza-se por um problema de valor inicial com uma cadeia simples ou composta de decaimentos radioativos de acordo com a história de um núcleo atômico-pai decair para um núcleo-filho, que é radioativamente estável ou não. Descrevemos nesta dissertação um aplicativo computacional (um software) que modela o decaimento radioativo simples, i.e. , decaimento para núcleos estáveis, e decaimento em cadeia diretamente acoplada. Implementamos neste aplicativo computacional um método analítico fundamentado na Transformada de Laplace usando uma plataforma computacional livre (Scilab). Para tanto, aplicamos uma formulação matricial e uma técnica de diagonalização por transformação de similaridade, onde propomos uma forma de construção ao da matriz diagonalizante e de sua inversa, que são necessárias. Apresentamos resultados numéricos para três problemas-modelos típicos. / Radioactive decay is a physical phenomenon that can be modeled by simple computational techniques, using aspects of the two main schools of mathematical modeling: the deterministic school and the probabilistic school. In this work, we focus on the deterministic school. The mathematical model is characterized by an initial value problem with a single or coupled chain of radioactive decays according to the history of an atomic nucleus to decay to a daughter-atomic nucleus, that is stable or not. In this dissertation we describe a computer software modeling simple radioactive decays, i.e., decays to stable nuclei and directly coupled decay chains that we developed on a free platform. To achieve this goal, we used a matrix formulation and a diagonalization technique by means of similarity transformation, where we introduced a general form of constructing the diagonalizer matrix and its inverse, that are needed. We present numerical results for three typical problems.

Os progressos computacionais nas últimas décadas e a teoria matemática cada vez mais sólida têm possibilitado a resolução de problemas de alta complexidade, permitindo uma modelagem cada vez mais detalhada da realidade. Tal verdade aplica-se inclusive para os sistemas rígidos de Equações Diferencias Ordinárias (EDOs): existem métodos numéricos altamente performáticos para este tipo de problema, que permitem uma grande variação no tamanho do passo de integração sem impactar na sua convergência. Este trabalho apresenta um estudo sobre o conceito de rigidez e técnicas numéricas para resolução de problemas rígidos de EDOs. O que nos motivou a estudar tais técnicas foram problemas oriundos da Física Nuclear que envolvem cadeias de decaimento radioativo. Estes problemas podem ser modelados por uma cadeia fechada de compartimentos que se traduz em um sistema de EDOs. Os elementos destas cadeias podem possuir constantes de decaimento com ordens de grandeza muito distintas, caracterizando a sua rigidez e exigindo cautela na resolução das equações que as modelam. Embora seja possível determinar a solução analítica para estes problemas, o uso de métodos numéricos facilita a obtenção da solução quando consideramos sistemas com um número elevado de equações. Além disso, soluções numéricas permitem adaptações na modelagem ou em ajustes de dados com mais facilidade. Métodos implícitos são indicados para a resolução deste tipo de problema, pois possuem uma região de estabilidade ilimitada. Neste trabalho, implementamos dois métodos numéricos que possuem esta característica: o método de Radau II e o método de Rosenbrock. Estes métodos foram utilizados para obtenção de soluções numéricas robustas para problemas rígidos de decaimento radioativo envolvendo cadeias naturais e artificiais, considerando retiradas de elementos das cadeias durante o processo de decaimento e quando queremos determinar qual era o estado inicial de uma cadeia que está em decaimento. Ambos os métodos foram implementados com estratégias de controle do tamanho do passo de integração e produziram resultados consistentes dentro de uma precisão pré-fixada. / The computational progress in the last decades and the increasingly solid mathematical theory have made possible the resolution of highly complex problems allowing an ever more detailed modelling of reality. This is true even for the systems of stiff Ordinary Differential Equations (ODEs): there are highly performative numerical methods for this kind of problem which allow a wide variation in the size of integration step without impacting on their convergence. This thesis presents a study about the concept of stiffness and numerical techniques to solve stiff problems of ODEs. What motivated us to study these techniques were problems from the Nuclear Physics involving radioactive decay chains. These problems could be modelled by a closed chain of compartments which is translated into a system of ODEs. The elements of these chains could have decay constants with very different orders of magnitude which characterizes the stiffness of the problem and requires caution in solving the model equations. Although it is possible to determine the analytical solution to these problems when we consider systems with a high number of equations, calculate the solution by numerical methods becomes easier. Furthermore, numerical solutions allow adaptations in modelling or data adjustments more easily. Implicit methods are indicated to solve this kind of problem because they have an unlimited region of stability. In this study, we implemented two numerical methods which have this feature: Radau II method and Rosenbrock method. These methods were used to obtain robust numerical solutions for stiff problems of radioactive decay involving natural and artificial chains, considering the removal of elements during the decay process and when we want to determine what was the initial state of a chain which is decaying. Both methods were implemented with control strategies for integration step size providing consistent results within a pre-established accuracy.

Em cumprimento aos requisitos normativos e regulatórios, considerados os padrões nacionais e internacionais de Boas Práticas de Fabricação (BPF) de medicamentos, o ambiente de produção de radiofármacos (célula) é determinante para a qualidade do medicamento, quanto aos limites estabelecidos na legislação vigente para níveis de contaminantes, discriminados como partículas não viáveis (partículas em geral) e microrganismos viáveis, corroborado, ainda, pelo fator de decaimento radioativo, uma vez que os radiofármacos devem ser liberados e administrados aos pacientes pouco tempo após sua produção. Tão importante quanto proteger o produto contra uma possível contaminação do meio ambiente é o operador estar protegido contra a contaminação pelo manuseio do produto. Assim, o estudo, concepção e desenvolvimento de uma célula nacional implicou em análises minuciosas de cada um dos elementos de composição do ambiente de produção e de sua operação, orientado pelo conceito de Quality by Design, metodologia que vem sendo aplicada, recentemente, na indústria farmacêutica. O conhecimento do produto, a configuração do espaço de operação por meio de mockup, a abordagem quanto aos atributos críticos da qualidade, com definições claras quanto aos parâmetros do processo produtivo, validados em experimentos, definiram uma célula multipropósito para produção de radiofármacos em acordo com BPF. / In order to fulfill the normative and regulations requirements under the national and international aspects of Good Manufacturing Practices (GMP), the radiopharmaceutical production environment (called \"hot cell\") is determinant for the quality of the medicinal product, within the limits established by the current legislation for levels of contaminants, split into non-viable particles (airborne general particles) and viable microorganisms; in addition to the radioactive decay (called \"half-life\") results radiopharmaceuticals to be released and administered to patients shortly after their production. It is not sufficient to protect the product against possible contamination from the environment, but the operator must be contamination protected when handling the product. Thus, the study, design and development of a national hot cell resulted in detailed analyzes of each single elements of the production environment and its operation, guided by the concept of Quality by Design, which is the methodology that has been applied recently at the pharmaceutical industry. The features such as the product conceptual knowledge, the configuration of the operating space (by mockups), the approaches regarding the quality critical attributes, the clear definitions regarding the parameters of the productive process, and finally the experimental validation, defined a multipurpose hot cell for the production of radiopharmaceuticals according to GMP requirements.

Em cumprimento aos requisitos normativos e regulatórios, considerados os padrões nacionais e internacionais de Boas Práticas de Fabricação (BPF) de medicamentos, o ambiente de produção de radiofármacos (célula) é determinante para a qualidade do medicamento, quanto aos limites estabelecidos na legislação vigente para níveis de contaminantes, discriminados como partículas não viáveis (partículas em geral) e microrganismos viáveis, corroborado, ainda, pelo fator de decaimento radioativo, uma vez que os radiofármacos devem ser liberados e administrados aos pacientes pouco tempo após sua produção. Tão importante quanto proteger o produto contra uma possível contaminação do meio ambiente é o operador estar protegido contra a contaminação pelo manuseio do produto. Assim, o estudo, concepção e desenvolvimento de uma célula nacional implicou em análises minuciosas de cada um dos elementos de composição do ambiente de produção e de sua operação, orientado pelo conceito de Quality by Design, metodologia que vem sendo aplicada, recentemente, na indústria farmacêutica. O conhecimento do produto, a configuração do espaço de operação por meio de mockup, a abordagem quanto aos atributos críticos da qualidade, com definições claras quanto aos parâmetros do processo produtivo, validados em experimentos, definiram uma célula multipropósito para produção de radiofármacos em acordo com BPF. / In order to fulfill the normative and regulations requirements under the national and international aspects of Good Manufacturing Practices (GMP), the radiopharmaceutical production environment (called \"hot cell\") is determinant for the quality of the medicinal product, within the limits established by the current legislation for levels of contaminants, split into non-viable particles (airborne general particles) and viable microorganisms; in addition to the radioactive decay (called \"half-life\") results radiopharmaceuticals to be released and administered to patients shortly after their production. It is not sufficient to protect the product against possible contamination from the environment, but the operator must be contamination protected when handling the product. Thus, the study, design and development of a national hot cell resulted in detailed analyzes of each single elements of the production environment and its operation, guided by the concept of Quality by Design, which is the methodology that has been applied recently at the pharmaceutical industry. The features such as the product conceptual knowledge, the configuration of the operating space (by mockups), the approaches regarding the quality critical attributes, the clear definitions regarding the parameters of the productive process, and finally the experimental validation, defined a multipurpose hot cell for the production of radiopharmaceuticals according to GMP requirements.

Os progressos computacionais nas últimas décadas e a teoria matemática cada vez mais sólida têm possibilitado a resolução de problemas de alta complexidade, permitindo uma modelagem cada vez mais detalhada da realidade. Tal verdade aplica-se inclusive para os sistemas rígidos de Equações Diferencias Ordinárias (EDOs): existem métodos numéricos altamente performáticos para este tipo de problema, que permitem uma grande variação no tamanho do passo de integração sem impactar na sua convergência. Este trabalho apresenta um estudo sobre o conceito de rigidez e técnicas numéricas para resolução de problemas rígidos de EDOs. O que nos motivou a estudar tais técnicas foram problemas oriundos da Física Nuclear que envolvem cadeias de decaimento radioativo. Estes problemas podem ser modelados por uma cadeia fechada de compartimentos que se traduz em um sistema de EDOs. Os elementos destas cadeias podem possuir constantes de decaimento com ordens de grandeza muito distintas, caracterizando a sua rigidez e exigindo cautela na resolução das equações que as modelam. Embora seja possível determinar a solução analítica para estes problemas, o uso de métodos numéricos facilita a obtenção da solução quando consideramos sistemas com um número elevado de equações. Além disso, soluções numéricas permitem adaptações na modelagem ou em ajustes de dados com mais facilidade. Métodos implícitos são indicados para a resolução deste tipo de problema, pois possuem uma região de estabilidade ilimitada. Neste trabalho, implementamos dois métodos numéricos que possuem esta característica: o método de Radau II e o método de Rosenbrock. Estes métodos foram utilizados para obtenção de soluções numéricas robustas para problemas rígidos de decaimento radioativo envolvendo cadeias naturais e artificiais, considerando retiradas de elementos das cadeias durante o processo de decaimento e quando queremos determinar qual era o estado inicial de uma cadeia que está em decaimento. Ambos os métodos foram implementados com estratégias de controle do tamanho do passo de integração e produziram resultados consistentes dentro de uma precisão pré-fixada. / The computational progress in the last decades and the increasingly solid mathematical theory have made possible the resolution of highly complex problems allowing an ever more detailed modelling of reality. This is true even for the systems of stiff Ordinary Differential Equations (ODEs): there are highly performative numerical methods for this kind of problem which allow a wide variation in the size of integration step without impacting on their convergence. This thesis presents a study about the concept of stiffness and numerical techniques to solve stiff problems of ODEs. What motivated us to study these techniques were problems from the Nuclear Physics involving radioactive decay chains. These problems could be modelled by a closed chain of compartments which is translated into a system of ODEs. The elements of these chains could have decay constants with very different orders of magnitude which characterizes the stiffness of the problem and requires caution in solving the model equations. Although it is possible to determine the analytical solution to these problems when we consider systems with a high number of equations, calculate the solution by numerical methods becomes easier. Furthermore, numerical solutions allow adaptations in modelling or data adjustments more easily. Implicit methods are indicated to solve this kind of problem because they have an unlimited region of stability. In this study, we implemented two numerical methods which have this feature: Radau II method and Rosenbrock method. These methods were used to obtain robust numerical solutions for stiff problems of radioactive decay involving natural and artificial chains, considering the removal of elements during the decay process and when we want to determine what was the initial state of a chain which is decaying. Both methods were implemented with control strategies for integration step size providing consistent results within a pre-established accuracy.