Métodos tipo simplex são a base dos principais softwares utilizados na resolução de problemas de otimização linear. A implementação computacional direta destes métodos, assim como são descritos na teoria, leva a resultados indesejáveis na resolução de problemas reais de grande porte. Assim, a utilização de técnicas computacionais adequadas é fundamental para uma implementação eficiente e estável. Neste trabalho, as principais técnicas são discutidas, com enfoque naquelas que buscam proporcionar a estabilidade numérica do método: utilização de tolerâncias, estabilização do teste da razão, mudança de escala e representação da matriz básica. Para este último tópico, são apresentadas duas técnicas, a Forma Produto da Inversa e a Decomposição LU. A análise das abordagens é feita baseando-se na resolução dos problemas da biblioteca Netlib / Simplex-type methods are the basis of the main linear optimization solvers. The straightforward implementation of these methods as they are presented in theory yield unexpected results in solving reallife large-scale problems. Hence, it is essencial to use suitable computational techniques for an efficient and stable implementation. In this thesis, we address the main techniques focusing on those which aim for numerical stability of the method: use of tolerances, stable ratio test, scaling and representation of the basis matrix. For the latter topic, we present two techniques, the Product Form of Inverse and the LU decomposition. The Netlib problems are solved using the approaches addressed and the results are analyzed

Orientadores: Carlile Campos Lavor, Jose Mario Martinez / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-11T21:12:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Goncalves_MarcosRobertodaSilva_M.pdf: 1220561 bytes, checksum: e3b9dadf0b151f53d8a3e0e572b4c7ab (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho, abordamos o problema da determinação de pontos de intersecção de n esferas no Rn. Este problema, além de ser importante matematicamente, é um problema com muitas aplicações, que vão desde a localização de pontos no globo, pelo sistema GPS, até a posicionamento de átomos em estruturas moleculares. O problema de encontrar a intersecção de n esferas no Rn é, em geral, formulado como um conjunto de n equações não-lineares, onde se deseja determinar a sua solução através de um método eficiente e confiável. Mostramos que, com exceção de alguns casos, o problema é geralmente resolvido de forma eficaz, empregando técnicas de álgebra linear. Reformulamos o problema de forma a convertê-lo em um problema linear e apresentamos dois métodos baseados na decomposição de matrizes. Testamos os métodos para casos particulares de baixa dimensão, analisando o custo computacional e possíveis dificuldades que podem surgir devido a erros de medição. / Abstract: We consider the problem of determining the points of intersection of n spheres in R n. This problem has many applications, such as the location of points on the globe by the GPS system and problems related to molecular geometry optimization. The problem of finding the intersection of n spheres in R n is generally expressed as a set of nonlinear equations, where we want to establish an efficient and reliable method to find their solution. We show that, in general, the problem can be solved effectively employing techniques of linear algebra. We reformulate the problem in order to transform it into a linear problem and present two methods based on the decomposition of matrices. We also test the methods in small instances and analyze the computational cost and possible difficulties that may arise due to errors of measurement. / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientadores: Aurelio Ribeiro Leite de Oliveira, Christiano Lyra Filho / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-14T10:57:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cantane_DanielaRenata.pdf: 1253133 bytes, checksum: 870b16a2b9360f77ebd88f50491d181c (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: A solução eficiente de sistemas lineares é fundamental em problemas de otimização linear e o primeiro método a obter êxito nesta classe de problemas foi o método Simplex. Com o objetivo de desenvolver alternativas eficientes para sua implementação, são apresentadas nesta tese técnicas de atualização da decomposição LU da base para aperfeiçoar a solução dos sistemas lineares oriundos do método Simplex, utilizando um reordenamento estático nas colunas da matriz. Uma simulação do método Simplex é implementada, realizando troca de bases obtidas pelo MINOS e verificando sua esparsidade. Somente os elementos afetados pela mudança de base são considerados para obter uma atualização da decomposição LU eficaz. As colunas da matriz são reordenadas de acordo com três estratégias: mínimo grau; forma bloco triangular e estratégia de Björck. Assim, obtém-se uma decomposição esparsa para qualquer base sem esforço computacional para obter a ordem das colunas, pois o reordenamento da matriz é estático e as colunas da base obedecem esta ordem. A forma bloco triangular obteve os melhores resultados, para os maiores problemas testados, em relação ao mínimo grau e a estratégia de Björck. Resultados computacionais para problemas da Netlib mostram a robustez e um bom desempenho computacional do método de atualização da decomposição LU proposto, pois não são necessárias refatorações periódicas da base como nos métodos de atualização tradicionais. O método proposto obteve uma redução do número de elementos não nulos da base em relação ao MINOS. Esta abordagem foi aplicada em problemas de corte de estoque e a atualização da decomposição LU proposta obteve uma redução do tempo computacional na solução destes problemas em relação ao GPLK. / Abstract: Finding efficient solution of linear systems is fundamental in the linear programming problems and the first method to obtain success for this class of problems was the Simplex method. With the objective to develop efficient alternatives to its implementation, techniques of the simplex basis LU factorization update are developed in this thesis to improve the solution of the Simplex method linear systems towards a matrix columns static reordering. A simulation of the Simplex method is implemented, carrying through the change of basis obtained from MINOS and verifying its sparsity. Only the factored columns actually modified by the change of the base are carried through to obtain an efficient LU factorization update. The matrix columns are reordered according to three strategies: minimum degree; block triangular form and the Björck strategy. Thus, sparse factorizations are obtained for any base without computational effort to obtain the order of columns, since the reordering of the matrix is static and base columns follow this ordering. The application of the block triangular form achieved the best results, for larger scale problems tested, in comparison to minimum degree method and the Björck strategy. Computational results for Netlib problems show the robustness of this approach and good computational performance, since there is no need of periodical factorizations as used in traditional updating methods. The proposed method obtained a reduction of the nonzero entries of the basis with respect to MINOS. This approach was applied in the cutting stock problems and the proposed method achieved a reduction of the computational time in the solution of such problems with respect to the GLPK. / Universidade Estadual de Campi / Automação / Doutor em Engenharia Elétrica

Métodos tipo simplex são a base dos principais softwares utilizados na resolução de problemas de otimização linear. A implementação computacional direta destes métodos, assim como são descritos na teoria, leva a resultados indesejáveis na resolução de problemas reais de grande porte. Assim, a utilização de técnicas computacionais adequadas é fundamental para uma implementação eficiente e estável. Neste trabalho, as principais técnicas são discutidas, com enfoque naquelas que buscam proporcionar a estabilidade numérica do método: utilização de tolerâncias, estabilização do teste da razão, mudança de escala e representação da matriz básica. Para este último tópico, são apresentadas duas técnicas, a Forma Produto da Inversa e a Decomposição LU. A análise das abordagens é feita baseando-se na resolução dos problemas da biblioteca Netlib / Simplex-type methods are the basis of the main linear optimization solvers. The straightforward implementation of these methods as they are presented in theory yield unexpected results in solving reallife large-scale problems. Hence, it is essencial to use suitable computational techniques for an efficient and stable implementation. In this thesis, we address the main techniques focusing on those which aim for numerical stability of the method: use of tolerances, stable ratio test, scaling and representation of the basis matrix. For the latter topic, we present two techniques, the Product Form of Inverse and the LU decomposition. The Netlib problems are solved using the approaches addressed and the results are analyzed