En mécanique des fluides numérique, un enjeu est le développement de méthodes d'approximation d'ordre élevé, comme celles de Galerkin Discontinues (GD). Si ces méthodes permettent d'envisager la simulation d'écoulements complexes en alternative aux méthodes usuelles d'ordre deux, elles souffrent cependant d'une forte restriction sur le pas de temps lorsqu'elles sont associées à une discrétisation explicite en temps. Ce travail de thèse consiste à mettre en œuvre une stratégie d'intégration temporelle explicite-implicite efficace, associée à une discrétisation spatiale GD d'ordre élevé, pour les écoulements instationnaires à convection dominante de fluides visqueux compressibles modélisés par le système des équations de Navier-Stokes. La discrétisation spatiale de la méthode GD est associée à des flux numériques de fluides parfaits et visqueux à stencil compact. En présence de frontières matérielles courbes, l'ordre élevé est garanti par la discrétisation du domaine de calcul à l'aide d'une représentation iso-paramétrique. La stratégie d'intégration temporelle repose sur une décomposition d'opérateurs de Strang, où les termes de convection sont résolus explicitement et ceux de diffusion implicitement. Son efficacité résulte d'une simplification du schéma implicite, où le calcul de la matrice implicite est approché avec une méthode sans jacobienne et où les degrés de liberté du schéma sont découplés. De fait, la taille du système linéaire à résoudre et le temps de calcul de la résolution sont significativement réduits. Enfin, la validation et l'évaluation des performances du schéma numérique sont réalisées à travers cinq cas tests bien référencés en deux dimensions d'espace.

Cette thèse se consacre aux garanties de reconstruction et de l'analyse de sensibilité de régularisation variationnelle pour des problèmes inverses linéaires bruités. Il s'agit d'un problème d'optimisation convexe combinant un terme d'attache aux données et un terme de régularisation promouvant des solutions vivant dans un espace dit de faible complexité. Notre approche, basée sur la notion de fonctions partiellement lisses, permet l'étude d'une grande variété de régularisations comme par exemple la parcimonie de type analyse ou structurée, l'antiparcimonie et la structure de faible rang. Nous analysons tout d'abord la robustesse au bruit, à la fois en termes de distance entre les solutions et l'objet original, ainsi que la stabilité de l'espace modèle promu. Ensuite, nous étudions la stabilité de ces problèmes d'optimisation à des perturbations des observations. À partir d'observations aléatoires, nous construisons un estimateur non biaisé du risque afin d'obtenir un schéma de sélection de paramètre.